专题 14.2 三角形全等的判定 基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学三角形全等的判定核心知识点，系统梳理“边角边（SAS）”“角边角/角角边（ASA/AAS）”“边边边（SSS）”“斜边直角边（HL）”四大判定方法，构建从基础定理到综合应用的学习支架，涵盖知识梳理、基础题型与综合培优的递进式内容。 资料亮点在于以数学思维培养为核心，通过定理图示与数学语言结合、反例辨析（如SSA不成立）强化推理意识，题型设计联系实际（如测量池塘距离）渗透应用意识，同步检测分层设题助力学生查漏补缺，课中辅助教师系统授课，课后支持学生自主巩固，提升几何直观与逻辑推理能力。

专题 14.2 三角形全等的判定（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形全等的判定（1） 1 【题型 1】利用“边角边”证明三角形全等 2 【题型 2】全等三角形（“边角边”）与全等性质综合 5 【知识点二】三角形全等的判定（2） 8 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明三角形全等 9 【题型 4】全等三角形（“角边角”或“角角边”）与全等性质综合 11 【知识点三】三角形全等的判定（3） 14 【题型 5】利用“边边边”证明三角形全等 14 【题型 6】全等三角形（“边边边”）与全等性质综合 17 【知识点四】三角形全等的判定（4） 20 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明三角形全等 21 【题型 8】全等三角形（“斜边、直角边”）与全等性质综合 23 二.综合培优题型精析 26 【题型 9】选择合适的方法证明三角形全等 26 【题型 10】全等三角形综合 30 三.同步检测 35 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 35 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 42 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 47 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形全等的判定（1） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 定理 图示 数学语言 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 在和中 【要点提示】两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。如图 类型 图示 举反便说明 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“边边角”或“SSA”不能用来证明三角形全等。 和满足两边和其中一边的对角分别相等。即但和显然不全等。 【题型 1】利用“边角边”证明三角形全等 【例题1】（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在和中，，，请添加一个条件___________，使． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】已知，，可根据、、三种判定定理补充条件，分别为边，角，角． 解：已知，， 若添加条件，在和中， ． 若添加条件，在和中， ． 若添加条件，在和中， ． 故答案为：或或（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，求证：平分． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键；由题意得，利用即可证明，得，即可得平分． 解：证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【题型 2】全等三角形（“边角边”）与全等性质综合 【例题2】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知：在中，点D在边上，点E在线段上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【分析】先证明可得，再证明，进一步求解即可. 解：略 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用“”得到，则，然后利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于和的关系式，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】由两三角形面积相等，得为的底边的中线，证明，得，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边就可以求解． 解：延长到E，使， ， 已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． （1）求证： ； （2）求 的度数． 【答案】（1）证明：∵ ， ． 在 和 中， ， ∴． （2） 【分析】（1）由 ， ， ，利用 ，即可判定 ； （2）由 ，可得 ，继而求得 ，则可求得 的度数． 解：（1）略 （2）解：设 与 交于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ． 【知识点二】三角形全等的判定（2） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 定理 图示 数学语言 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 在和中 【推论】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）. 推论 图示 数学语言 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 在和中 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明三角形全等 【例题3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴． 【分析】利用“”证明三角形全等即可． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，根据题意要求用“”判定，则需添加两个角相等的条件，或者添加即可． 解：，，根据题意要用“”判定， 若添加一个条件是则， 在和中， ， ， 若添加一个条件是， ， 故答案为或． 【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． 在和中 ， ∴． 【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可． 解：略 【题型 4】全等三角形（“角边角”或“角角边”）与全等性质综合 【例题4】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且满足，当，，在同一条直线上时，只需测量 的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】根据活动过程，是否能求出湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离．若能，请写出解答过程；若不能，请再添加一个条件，并写出解答过程． 【答案】根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”， ． 【分析】根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”，证明，得到，即可求出． 解：根据活动过程无法计算出长度，添加条件“”， 根据题意可知，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得，可证明，从而得到，即可解答． 解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∵ 的长度为， ∴， 即A、B两点间的距离为． 【变式2】（2026·山西长治·三模）如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，证明即可求解． 解：由题意得，， 过点作轴于点，则， 由题意得，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，在延长线上，连接，于点 ，交于点，求证：． 【答案】证明：∵， ， ， ，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ． 【分析】证明即可． 解：略 【知识点三】三角形全等的判定（3） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 定理 图示 数学语言 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 在和中 【题型 5】利用“边边边”证明三角形全等 【例题5】（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， （1）求证：， （2）猜想的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）证明，得到，则． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：，理由如下； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，． 【变式1】（22-23八年级上·新疆博尔塔拉·期末）如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 解：由题意可知， 又∵， ∴ ． 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明，即可证明． 解：证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型 6】全等三角形（“边边边”）与全等性质综合 【例题6】（2026·江苏淮安·二模）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】利用线段的和差可得，再运用证明可得，最后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 解：略 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：由作图可知， ，，， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点，且点是的中点，连接、，添加一个条件后可直接用“”证明，则所添加的条件是__________． 【答案】 【分析】根据垂直的定义可得 ，由线段中点的定义可得，根据直角三角形全等的判定定理“HL”可知，已知一条直角边对应相等，需添加斜边对应相等． 解： 和均为直角三角形 点是的中点 若利用“”证明 已知直角边对应相等根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等则需添加斜边． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在五边形中，是边上的点，连接，满足且． （1）证明：． （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）利用证明即可得到答案； （2）先证明是平分线．可得，结合，可得答案. 解：（1）证明：在和中， ， ， . （2）解：， ， ，， ， ， ， ， 即是平分线． 平分， ， 在中，， ，， . 【知识点四】三角形全等的判定（4） 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 定理 图示 数学语言 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 在和中， 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明三角形全等 【例题7】（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】利用证明即可． 解：证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 【答案】/61度 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，，于点，于点，求证． 【答案】证明见分析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定和线段的和差关系． 根据、以及，，证，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论． 解：于点，于点， ， 在和中，， ， ， ． 【题型 8】全等三角形（“斜边、直角边”）与全等性质综合 【例题8】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点是边的中点，连接，过点作于点，于点，且．求证：． 【答案】证明：∵点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由点是边的中点得，由，得，结合可证，即可得． 解：略 【变式1】（2026·辽宁大连·二模）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可求得，从而有对应角相等，即可求的度数． 解：，，且知，， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 【答案】/25度 解：在 与 中， ， 设 与 相交于点 ， 在 中， ， 在 中，， ， ， ， 【变式3】（2026·河北邢台·模拟预测）如图， ，直线与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，结合 ，利用即可证明结论； （2）根据，结合已知易证，可得 ，即可证明结论． 解：（1）证明：， ， ， 又， ； （2）证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． 二.综合培优题型精析 【题型 9】选择合适的方法证明三角形全等 【例题9】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． （1）请找出图中的全等三角形； （2）你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】（1）；；；（2），理由见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 解：（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·上海·期中）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括，，，，，但不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，属于，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点拨】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， （1）你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） （2）请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） （3）请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）①②③（答案不唯一）；（3）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 解：（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【题型 10】全等三角形综合 【例题10】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和都是等腰直角三角形，． （1）求证：，． （2）试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查了手拉手模型，熟练掌握手拉手模型的结论是解题的关键； （1）通过证明三角形全等得到线段相等和角的关系，进而证明垂直； （2）作垂线，利用全等三角形面积相等得到线段相等，再根据角平分线的判定证明角相等． 解：（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ，，， ， 即， 在和中， ， ，， ， ． 综上所述，，． （2）解：．证明如下： 过点分别作于点，于点，如图． 由（1）可知，，， ， ． ，， 平分， ． 【变式1】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； （3）如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）旋转的度数为，此时CN的长为 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，得到，再根据等腰三角形的内角和求解即可． （2）运用证明，即可解答． （3）在上截取，连接，延长交于点F，先推导出，得到，，继而证明，得到，，得到，，即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （3）解：如图，在上截取，连接，延长交于点F， ∵点N为BM的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 由旋转，得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 答：旋转的度数为，此时CN的长为． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·山西朔州·一模）如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C ． 2．（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 3．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形的内角和定理和外角的性质相结合是本题的关键． 由题意可证，则，再根据三角形内角和定理和外角的性质进行求解即可． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 解：由“”可以判定两个三角形全等， ，， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 6．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，RtRt，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由全等三角形可知，进一步证明，再利用性质求解即可． 解： RtRt，， ， ， ， ， 故选：A． 7．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，若，则添加不能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．已知条件中已经有一边一角，需要证明全等，可以添加角，也可以添加边．若添加边，只能添加，若添加角，另外两组角随便添加即可． 解：∵， ∴， ∴， A、根据，，不能推出，故本选项符合题意； B、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； C、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； D、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； 故选：A． 8．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 9．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，于点E，于点D．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直得出直角，根据余角定理得出，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在与中，，，，与交于点，与交于点，与交于点，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定（）与性质的综合运用，同时考查角的和差运算与等量代换、对顶角性质及三角形内角和定理的应用，先通过角的等量代换推出，用证得到边的等量关系；再依次用证多组三角形全等，逐一验证①②④⑤结论成立，根据已知条件排除③，结合选项确定最终答案为①④⑤． 解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， 如解图，连接 根据题目已知条件，无法判断和全等， 则不一定等于， ∴不一定等于， 故②不一定正确； ∵题目条件并未体现和和之间的角度关系， 故③不一定正确； 又∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，故④⑤正确， 综上所述，一定正确的是①④⑤． 故选：D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    【答案】/边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，增加一个条件______，使．（不添加辅助线且仅用图中已有字母表示） 【答案】（或或） 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，已知一组角相等和一组边相等，需补充一个条件使，可依据、、这三种全等判定定理来选取合适条件： （1）若补充边相等的条件，结合已知的一组角和一组边，可通过判定全等； （2）若补充角相等的条件，结合已知的两组角和一组边，可通过判定全等； （3）若补充角相等的条件，结合已知的一组边和两组角，可通过判定全等． 解：若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ； 若添加，在和中，， ． 故答案为：（或或）． 13．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点B，C，E三点在同一直线上，，，．若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，可证明，得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 连接，证明，即可求出的长度． 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·周测）如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在点A处，和第三根木棍BM摆出，木棍AB固定，木棍AC绕点A转动．得到．这个实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． 【答案】不一定 【分析】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 根据全等三角形的判定方法即可判断； 解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等， 故答案为：不一定． 16．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图， 中，是 边上的中线，，，那么边长度的取值范围是_________ 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，则，然后证明，再由三角形的三边关系建立不等式组求解即可． 解：∵，， ∴，， 延长至点，使得，连接，则 ∵是 边上的中线， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 解得． 17．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm． 【答案】7 【分析】由全等三角形的性质推出，，求出，得到的周长． 解：∵， ∴，， ∴， ∴的周长． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 19．（2026·云南玉溪·二模）如图：已知，．求证：． 【答案】见分析 【分析】根据已知由可得，故． 解：证明：在和中， ， ， ． 20．（2026·浙江台州·二模）课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 【答案】小丽，证明见分析 解：支持小丽的观点，证明如下： ∵，，， ∴ ∴． 21．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ， ． （2）102° 【分析】（1） 由利用等式的性质得，结合已知和，利用判定，得到对应角，再通过内错角相等证明． （2） 由全等性质得，结合求得，再利用三角形外角定理得． 解：（1）略 （2）解：， ，， ， ， ． 22．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在和中，，连接，，的延长线与交于点，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的度数； 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵ ∴ 又∵ ∴ （2） 【分析】（1）根据已知条件得出，根据等角对等边可得，进而根据，即可证明； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据三角形内角和定理可得，进而根据平角的定义得出，最后根据三角形的外角的性质，即可求解． 解：（1）略 （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 23．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接交于点，求证：． 【答案】（1）见分析 （2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及线段的和差关系，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质，并利用全等三角形的对应边、对应角相等进行推理论证是解题的关键。 （1）先由推出，再结合、证明，得到对应角相等，进而证明。 （2）利用（1）中得到的角相等和边相等，证明，得到，再通过线段的和差关系推出。 解：（1）证明：∵点、、、在同一条直线上，， ∴， 又∵，． ∴， ∴， ∴ （2）证明：∵连接交于点． ∴， ∵，． ∴， ∴， ∵ ∴，即：． 24．（25-26八年级上·四川乐山·期末）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图，在中，，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图，与为偏等积三角形，点在上，AB=2，AC=4，且线段的长度为正整数，过点作，交的延长线于点，求的长； 综合应用 （3）如图，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，为的中点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（）；（），见分析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线性质，同角的补角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“偏等积三角形”定义可得； （）根据“偏等积三角形”定义可得，然后证明，所以，，又，通过的长度为正整数，求得，从而求得；    （）作，交的延长线于， 证明，则，，又，所以，因为，，所以，证明，所以，因为，从而可得． 解：（）∵与为偏等积三角形， ∴当为中点时，， ∴， 故答案为：；     （）∵与为偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的长度为正整数， ∴， ∴； （）， 理由如下： 如图，作，交的延长线于，   ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14.2 三角形全等的判定（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形全等的判定（1） 1 【题型 1】利用“边角边”证明三角形全等 2 【题型 2】全等三角形（“边角边”）与全等性质综合 3 【知识点二】三角形全等的判定（2） 4 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明三角形全等 5 【题型 4】全等三角形（“角边角”或“角角边”）与全等性质综合 6 【知识点三】三角形全等的判定（3） 7 【题型 5】利用“边边边”证明三角形全等 7 【题型 6】全等三角形（“边边边”）与全等性质综合 8 【知识点四】三角形全等的判定（4） 9 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明三角形全等 10 【题型 8】全等三角形（“斜边、直角边”）与全等性质综合 11 二.综合培优题型精析 12 【题型 9】选择合适的方法证明三角形全等 12 【题型 10】全等三角形综合 13 三.同步检测 14 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 14 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 17 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 18 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形全等的判定（1） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 定理 图示 数学语言 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 在和中 【要点提示】两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。如图 类型 图示 举反便说明 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“边边角”或“SSA”不能用来证明三角形全等。 和满足两边和其中一边的对角分别相等。即但和显然不全等。 【题型 1】利用“边角边”证明三角形全等 【例题1】（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【变式1】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在和中，，，请添加一个条件___________，使． 【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，求证：平分． 【题型 2】全等三角形（“边角边”）与全等性质综合 【例题2】（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知：在中，点D在边上，点E在线段上，，．求证：． 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________． 【变式3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． （1）求证： ； （2）求 的度数． 【知识点二】三角形全等的判定（2） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 定理 图示 数学语言 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 在和中 【推论】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）. 推论 图示 数学语言 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 在和中 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明三角形全等 【例题3】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，与相交于点，，．求证：． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是_____． 【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【题型 4】全等三角形（“角边角”或“角角边”）与全等性质综合 【例题4】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）综合实践 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】某班数学小组根据湖岸地形状况，通过观测、汇报、交流、研讨、演示后，提出了一种方案：如图1，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且满足，当，，在同一条直线上时，只需测量 的长度，即可得出的长度．画出示意图，如图2． 【测量数据】． 【测量目的】根据活动过程，是否能求出湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点 之间的距离．若能，请写出解答过程；若不能，请再添加一个条件，并写出解答过程． 【变式1】（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西长治·三模）如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为________． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，在延长线上，连接，于点 ，交于点，求证：． 【知识点三】三角形全等的判定（3） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 定理 图示 数学语言 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 在和中 【题型 5】利用“边边边”证明三角形全等 【例题5】（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，， （1）求证：， （2）猜想的数量和位置关系，并说明理由． 【变式1】（22-23八年级上·新疆博尔塔拉·期末）如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式2】（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为______．    【变式3】（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【题型 6】全等三角形（“边边边”）与全等性质综合 【例题6】（2026·江苏淮安·二模）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点，且点是的中点，连接、，添加一个条件后可直接用“”证明，则所添加的条件是__________． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在五边形中，是边上的点，连接，满足且． （1）证明：． （2）若，，，求的度数． 【知识点四】三角形全等的判定（4） 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 定理 图示 数学语言 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 在和中， 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明三角形全等 【例题7】（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【变式1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，，于点，于点，求证． 【题型 8】全等三角形（“斜边、直角边”）与全等性质综合 【例题8】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点是边的中点，连接，过点作于点，于点，且．求证：． 【变式1】（2026·辽宁大连·二模）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 【变式3】（2026·河北邢台·模拟预测）如图， ，直线与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：平分． 二.综合培优题型精析 【题型 9】选择合适的方法证明三角形全等 【例题9】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，，与交于点F，连接、． （1）请找出图中的全等三角形； （2）你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·上海·期中）给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【变式3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， （1）你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） （2）请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） （3）请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【题型 10】全等三角形综合 【例题10】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和都是等腰直角三角形，． （1）求证：，． （2）试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【变式1】（2026·山西朔州·模拟预测）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【变式3】（25-26八年级上·河北唐山·期末）在中，于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，在DC上截取，连接BE，求证：； （3）如图3，若，，将CA绕点C顺时针旋转得到，连接BM交CD于点N，当点N为的中点时，求旋转的度数，并直接写出此时的长． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·山西朔州·一模）如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 3．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 5．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，RtRt，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，若，则添加不能使的条件是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，于点E，于点D．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在与中，，，，与交于点，与交于点，与交于点，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤ （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ________．    12．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，，增加一个条件______，使．（不添加辅助线且仅用图中已有字母表示） 13．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点B，C，E三点在同一直线上，，，．若，，则的度数为______． 14．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 15．（25-26八年级上·全国·周测）如图，把长短确定的两根木棍AB，AC的一端固定在点A处，和第三根木棍BM摆出，木棍AB固定，木棍AC绕点A转动．得到．这个实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． 16．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图， 中，是 边上的中线，，，那么边长度的取值范围是_________ 17．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm． 18．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 19．（2026·云南玉溪·二模）如图：已知，．求证：． 20．（2026·浙江台州·二模）课堂上，屏幕上呈现一题： 已知：如图，在四边形中，，__________． 求证：． 请在空格处添加条件并证明． 小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．” 你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程． 21．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 22．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在和中，，连接，，的延长线与交于点，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的度数； 23．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接交于点，求证：． 24．（25-26八年级上·四川乐山·期末）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试 （1）如图，在中，，，为上一点，当的长为_____时，与为偏等积三角形； 理解运用 （2）如图，与为偏等积三角形，点在上，AB=2，AC=4，且线段的长度为正整数，过点作，交的延长线于点，求的长； 综合应用 （3）如图，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，为的中点．试探究线段与的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $