第09讲 角的平分线（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材人教版

第09讲 角的平分线（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 三角形全等的判定 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等．本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性,以及满足什么条件的点在角的平分线上． 【知识点1 作已知角的平分线】 已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【知识点2 角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 结论：PD=PE. 【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【知识点3 角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【题型1 角平分线的性质直接应用】 【例1】如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 【变式1-1】如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【变式1-2】如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1-3】如图，在中，为的平分线，于，于，面积是，，，求的长． 【题型2 利用角的平分线的性质作垂线解题（作一边的垂线）】 【例2】如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【变式2-1】如图，是的角平分线，，垂足为点F，，和的面积分别为50和38，则的面积为______． 【变式2-2】如图中，，平分交于，点在的延长线上，满足，若，，则线段的长为___________． 【变式2-3】如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 【题型3 利用角的平分线的性质作垂线解题（作两边的垂线）】 【例3】如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】在锐角三角形中，，、分别为的角平分线，、相交于点． （1）则的度数为________； （2）若平分，当，，的面积为时，则的面积为________． 【变式3-2】如图在中，为中点，，交于，，，则的长为___________． 【变式3-3】已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【题型4 尺规作角平分线】 【例4】如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【变式4-1】如图，在锐角中，为边上的高． (1)仅用无刻度的直尺与圆规，作的平分线交于点E，交于点F；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，，求证：． 【变式4-2】如图，是的外角． (1)分别作和的平分线，两条平分线的交点为E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求的度数． 【变式4-3】如图，在中，． (1)在图1中作的平分线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的面积． (3)如图2，平分，是线段上一点，延长交线段于点，，求证：． 【题型5 证角平分线】 【例5】如图，、两点分别在射线、上，点在的内部，已知，，，垂足分别为、，且，求证：平分． 【变式5-1】如图，，交的延长线于点，，于点，且．求证：是的平分线． 【变式5-2】如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【变式5-3】如图：，，，， (1)图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【题型6 角平分线的判定与性质综合】 【例6】如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 【变式6-1】如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【变式6-2】如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【变式6-3】如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 模块三 课后作业 1．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，则的面积是_______． 2．如图，在四边形中，，若平分，则的面积为__________．    3．如图，直线，点E，F分别是直线，上的点，和的平分线交于点G，于点H，若，则直线与之间的距离为________． 4．如图，中，点在边上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，连接．若，，，则______． 5．如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 6．如图，在四边形中，，且，．若，则的度数为_______． 7．已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 8．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放在上，使点与点重合，点，分别在边，上，沿画射线交于点，则是的角平分线．请你对“是的角平分线”说明理由； (2)在（1）的条件下，过点作于点．若，，求的长． 9．如图，的外角、的平分线交于点，过点作，，垂足分别为、． (1)若，，求的度数； (2)连接，证明：平分． 10．如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点．连接． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第09讲 角的平分线（暑假预习讲义) 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块一 知识框架 作已知角的平分线 (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC,射线OC即为所求， 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 结论：PD=PE 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B 如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于点P 结论：①点P到三边AB,BC,CA的距离相等：②△4BC的三条角平分线交于一点 模块二三角形全等的判定 情境导入> 第1页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相 等.本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角 的平分线上. 知识归纳 【知识点1作已知角的平分线】 己知：∠AOB,求作：∠AOB的平分线 作法： (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求. 如图所示： M ★作图依据：构造△OMC≌△ONC(SSS). 【知识点2角的平分线的性质】 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相簦， D 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 结论：PD=PE. 【提示】 (1)这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长： (2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形： (3)使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直： 第2页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导 其他结论， 【知识点3角的平分线的判定】 内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上· B 如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB,BC,CA的距离相等：②△ABC的三条角平分线交于一点 【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线 上，角的外部的点不会在角的平分线上： 典例精讲>… 【题型1角平分线的性质直接应用】 【例1】如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.点 R,G分别在OA,OB上，DF=EG,连接PP,PG.求证：∠DPF=∠EPG. p GB 【答案】证明：.PD⊥OA,PE⊥OB, ∴.∠PDF=90°，∠PEG=90°， .∠PDF=∠PEG, OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, .PD=PE, PD=PE 在△PDF和△PEG中∠PDF=∠PEG DF=EG ,△PDF△ PEGSAS, 第3页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠DPF=∠EPG」 【分析】先根据角平分线的性质证PD=PE,然后再证△PDF≌△PEG SAS,最后根据全等三角形的 性质即可求解 【变式1-I】如图，BD平分∠ABC,AB=BC,P为BD延长线上一点，PM⊥AD于点M,PN⊥CD 于点N,求证：PM=PN. 【答案】证明：·BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD AB=CB,BD=BD ∴.△ABD≌△CBD SAS, .∠ADB=∠CDB, ∴.∠MDP=∠NDP,即DP平分∠ADC, ·PM⊥AD,PN⊥CD, .'PM=PN. 【分析】先证明△ABD≌△CBD|SAS,得到∠MDP=∠NDP,即DP平分∠ADC,因为 PM⊥AD,PN⊥CD,根据角平分线的性质，可得PM=PN. 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上，且 CF=EB. (I)求证：BD=DF: (2)若BE=2,AE=7,求AF的长. 【答案】(1)见解析 第4页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)5 【分析】(I)由SAS证明Rt△CDF≌RtDB,即可得出结论； (2)证明Rt△ACD≌RtED(HL,可得AC=AE=7,即可求解. 【详解】(1)证明：，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB, ∴.CD=DE,∠C=∠DEB=90°， .CF=EB, .Rt△CDF≌RtEDB SAS, ..BD=DF (2)解：，AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB, .CD=DE,∠C=∠AED=90°， .AD=AD, .Rt△ACD≌RtAED HL, ∴，AC=AE=7, 根据题意得：CF=EB=2, ..AF=AC-CF=5. 【变式1-3】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积 是56cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的长. B 【答案】DE=4cm 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键. 根据角平分线的性质得出DE=DF,根据三角形面积公式推出S6ABc=S6AD+SAAm=DE(AB+AC) ,代入数据求解即可. 【详解】解：：AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF, .SAABC=S△ABD+S△ACD =号ABDE+AC-DF 第5页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =AB·DE+AC·DE -号DE(aB+AC), ,△ABC的面积是56cm2,AB=20cm,AC=8cm, 56号DE(20+8. 解得：DE=4cm. 【题型2利用角的平分线的性质作垂线解题（作一边的垂线）】 【例2】如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5, DE=2,则△BCE的面积等于 D E 【答案】5 【分析】作EF⊥BC于F,根据角平分线的性质定理得到EF=DE=2,根据三角形面积公式计算即可. 【详解】解：过E作EF⊥BC于F D E ◇ ,CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC, ..EF=DE=2, ,BC=5, “△BCE的面积为×BC×EF5×25, 【变式2-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为点F,∠BAC+∠EDG=180°， △ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为· 第6页共40页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D 【答案】6 【分析】过点D作DH⊥AC于点H,证明Rt△ADF≌RtADH HL得到S△ADF=S△ADH,根据四边形 的内角和及∠BAC+∠EDG=180°，得到∠AGD+∠AED=180°，根据同角的补角相等得到 ∠FED=∠HGD,从而证得△DEF≌△DGH(AAS,得到SADEF=S△DGH.设SADEF=SADGH=X,根 据SAADF=S△ADH列出方程，求解即可. 【详解】解：过点D作DH⊥AC于点H,则∠AHD=∠CHD=90°， E H G B D AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, .DF=DH,∠AFD=∠AHD=90, .AD=AD, ∴.Rt△ADF≌RtADH HL, ∴SAADF=SAADH, ,在四边形AEDG中，∠BAC+∠AGD+∠GDE+∠AED=360°， 又∠BAC+∠EDG=180°， ∴.∠AGD+∠AED=180°， ,∠FED+∠AED=180°， .∠FED=∠HGD DF=DH,∠EFD=∠GHD=90°， .△DEF≌△DGH AAS, ∴.SADEF=SADGH. 设S△DEF=S△DGH=X, 第7页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则SAADF=SAADE+S△DEF=38+X, SAADH=SAADG-SADGH=50-X, :S△ADF=S△ADH, .38+x=50-X, 解得x=6, SADEF=6. 【变式2-2】如图Rt△ACB中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于D,点E在AB的延长线上，满足 ∠ADE+∠CAB=18O,若AC=6,BE=号则线段AB的长为 B D 【答案】 19 【分析】过点D作DH⊥AE,证明Rt△ACD△Rt AHD,根据全等三角形的性质可知AC=AH=6, 根据四边形内角和定理可知∠BAC+∠CDH=180°，又因为∠BAC+∠ADE=180°，根据等角的补角 相等可证∠ADC=∠EDH,证明△ADC≌△EDH,根据全等三角形的性质可证AH=EH=6,可得 AE=12,再根据BE=可以求出AB的长度 【详解】解：如下图所示，过点D作DH⊥AE, D E ,'AD平分∠CAB交BC于D,∠ACB=90°， .∴.CD=DH, 第8页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ACD和Rt△AHD中， AD=AD CD=DH ∴.Rt△ACD≌RtAHD .'AC=AH=6, 在四边形ACDH中，∠ACD=∠AHD=90°， .∠BAC+∠CDH=360°-90°-90°=180°， 又'.∠BAC+∠ADE=180°， ∴.∠CDH=∠ADE, ∴.∠ADC=∠EDH, ∠ACD=∠EHD 在△ADC和△EDH中， CD=DH ∠ADC=∠EDH ∴△ADC2△EDH, ∴.EH=AC=6, ∴.AH=EH=6, ∴.AE=AH+EH=12, AB=AE-BE=12-5=19 22 【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠ADC+∠B=180°. E (1)求证：2AE=AB+AD (2)当AD=4,BE=3时，AB= (直接写出结果) 【答案】（①）见解析 (2)10 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出辅助线 是解题的关键： (1)过点C作CF⊥AD,根据角平分线的性质可得CF=CE,先根据HL证Rt△AFC≌Rt△AEC,再 第9页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据AAS证明△FDC≌△EBC,即可证明2AE=AB+AD: (2)由(1)可知DF=BE=3,则AE=AF=7,即可求出AB. 【详解】(1)证明：过点C作CF⊥AD, F AC ∠BAD,CE⊥ABCF⊥AD E B 平分 ∴.CF=CE,∠DFC=∠BEC=∠BEC=90°， .AC=AC, ∴.Rt△AFC≌Rt△AEC HL, .∴.AF=AE, .∠FDC+∠ADC=180°，∠ADC+∠B=180°， ∴.∠FDC=∠B, .·∠DFC=∠BEC,CF=CE, ∴.△FDC≌△EBC AAS, ∴，DF=BE, .AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AE+AF=2AE. .∴.2AE=AB+AD: (2)解：.'DF=BE,BE=3, .DF=3, .AE=AF=AD+DF=4+3=7, ∴.AB=AE+BE=7+3=10, 故答案为：10. 【题型3利用角的平分线的性质作垂线解题（作两边的垂线）】 【例3】如图，在四边形ABCD中，BD是它的对角线，AD=CD,若BD平分∠ABC,∠A=119°，则 ∠DCB的度数为() 第10页共40页 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.62 B.61 C.60° D.59° 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定 理是关键.过点D作DE⊥BA,DF⊥BC,垂足分别为E,F,证明Rt△ADE≌Rt△CDF HL,即可 得到答案。 【详解】解：过点D作DE⊥BA,DF⊥BC,垂足分别为E,F, B ,BD平分∠ABC, ..DE=DF. .∠BAD=119°， ,∠DAE=180°-∠BAD=61°； .AD=CD,DE=DF, ∴.Rt△ADE≌Rt△CDF HL, ∴.∠DCB=∠DAE=61°， 故选：B 【变式3-1】在锐角三角形ABC中，∠BAC=6O°，BE、CD分别为△ABC的角平分线，BE、CD相交 于点F D E G (1)则∠BFC的度数为 第11页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若FG平分∠BFC,当BD=3,CE=2,△BFC的面积为2.5时，则△BCD的面积为 【答案】 120°/120度 4 【分析】过点F作FM⊥AB于点M,过点F作FN⊥BC于点N,根据角平分线性质定理得FM=FN,结 合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出∠BFG=60°=∠BFD,再通过ASA证明 △BDF≌△BGF,△CEF≌△CGF,则BD=BG,CE=CG,BC=BG+CG=BD+CE=5,根据三 角形面积公式求出EN-=1FM,SaBD:专BD·FM-号.再根据△BCD的面积=5ABDr+S。sc求解即 可. 【详解】解：(1).'∠BAC=60°，BE,CD分别为△ABC的角平分线， ∠EBC+DCB-=2∠ABC+3∠ACB=3×(I80-∠BAC)片60， .∠BFC=180°-（∠EBC+∠DCB)=120°： (2)如图，过点F作FM⊥AB于点M,过点F作FN⊥BC于点N, GN :∠BFC=120°，FG平分∠BFC, ∴.∠BFD=180°-∠BFC=60°， ∠BEG-3∠BFC-60=∠BFD, 在△BDF和△BGF中， ∠BFD=∠BFG BF=BF ∠DBF=∠GBF △BDF≌△BGF ASA, ∴.BD=BG, 同理可得△CEF≌△CGF ASA, .∴.CE=CG, ∴.BC=BG+CG=BD+CE, 第12页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD=BG=3,CE=CG=2, .∴.BC=BD+CE=5, .∵△BFC的面积=2.5， 2cN-25, .FN=1, .BE为△ABC的角平分线，FN⊥BC,FM⊥AB, ∴.FM=FN=1, SRDF=号BD-FM=X3x1=3 _3+2.5=4. ∴.△BCD的面积=SABDF+S△BFCF 【变式3-2】如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC交BC于F ,AC=9,BC=15,则BF的长为 B D 【答案】12 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得到EF=EG, 证明Rt△EFC≌RtEGCHL,根据全等三角形的性质得到CF=CG,根据题意列式计算即可. 【详解】解：连接AE,过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G, B D E.'D AB DE⊥AB 为中点， ∴.EA=EB, .'∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECG=180°， 第13页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ECG=∠BCE, .EF⊥BC,EG⊥AC, ∴.EG=EF, .'EC=EC :.Rt△EFC≌RtEGC HL, ∴.CF=CG, 同理可得：BF=AG, ∴.15-CF=9+CF, 解得：CF=3, .∴.BF=15-3=12, 故答案为：12 【变式3-3】已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上一点，点C,D分别在射线OA,OB上，连接 PC,PD. 图① 图② (I)如图①，当PC⊥OA,PD⊥OB时，PC与PD的数量关系是 (2)如图②，点C,D分别在射线OA,OB上运动，且∠AOB=90°.当∠PCO+∠PDO=180时，PC 与PD在(1)问中的数量关系还成立吗？请说明理由. 【答案】(I)PC=PD (②)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定 理是解题的关键； (1)根据角平分线的性质定理即可作出判断： (2)过点P作PE⊥OB于E,PF⊥OC于F,如图，可得PF=PE,根据补角的性质得出 ∠PCO=∠PDE,证明△PFC≌△PED AAS,进而得到结论. 【详解】(1)解：PC⊥OA,PD⊥OB,OM是∠AOB的平分线， ∴.PC=PD: 第14页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：PC=PD; (2)解：成立，理由如下： 如图，过点P作PE⊥OB于E,PF⊥OC于F, A M ∴.∠PFC=∠PED=90 D E B :OM是∠AOB的平分线， ∴.PF=PE, .:∠PC0+∠PDO=180°，∠PDO+∠PDE=180°， ∴.∠PCO=∠PDE, 在△PFC和△PED中U ∴.△PFC≌△PED AAS, ∴PC=PD 【题型4尺规作角平分线】 【例4】如图，已知△ABC,∠B=90°. B (1)尺规作图：作∠A的平分线，交BC于D.(不写作法，保留作图痕迹)， (2)在第(1)题的前提下，若AC=8,SAADC=12,求BD的长. 【答案】（①）∠BAC的平分线AD如图所示： D (2)3 第15页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可： (2)作DE⊥AC于点E,如图，根据角平分线的性质可得DB=DE,再根据三角形的面积公式求出DE 即可 【详解】(1)略： (2)解：作DE⊥AC于点E,如图， AD平分∠BAC,∠B=90°， ..DB=DE, .AC=8,SAADC=12 号8DE=12, 解得DE=3, ,·DB=3 B 【变式4-1】如图，在锐角△ABC中，AD为BC边上的高. B D (1)仅用无刻度的直尺与圆规，作∠ABC的平分线交AD于点E,交AC于点F:(要求：保留作图痕迹， 不需写作法和证明) (2)在(1)的条件下，若BE=AC,∠ABC=45°，求证：∠BAC=∠C. 【答案】(1)如图BF即为所求： 第16页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：：∠ABC=45°，AD为BC边上的高 ∴∠BAD=∠ABC=45°，∠ADB=∠ADC=90°， ..BD=AD. ..BE=AC. :.Rt△BED≌RtACDHL, .∠DBE=∠DAC, ,∠BED=∠AEF, ∴∠AEF+∠DAC=∠BED+∠DBE=90°， .∠BFA=∠BFC=90°. 又，BF为∠ABC的平分线， ∴.∠ABF=∠CBF, ..BF=BF, ∴.△ABF≌△CBFASA, ∴.∠BAC=∠C 【分析】(1)使用直尺和圆规根据作角平分线的步骤作图即可： (2)先证明Rt△BED≌RtACD HL得∠DBE=∠DAC,再证明△ABF≌△CBFASA即可证 明结论成立 【详解】(1)略： (2)略。 【变式42】如图，∠ACD是△ABC的外角. (1)分别作∠ABC和∠ACD的平分线，两条平分线的交点为E.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写 作法) (2)若∠A=50°，求∠BEC的度数. 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】(1)根据尺规作角平分线的方法即可作图： 第17页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)先根据角平分线得到∠ABC=2∠EBC,∠ACD=2∠ECD,由外角得到 ∠ACD-∠ABC=∠A,代入即可得到∠ECD-∠EBC=25°，再由三角形的外角性质求解. 【详解】(1)解：如图即为所求： A (2)解：，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD, .∠ABC=2∠EBC,∠ACD=2∠ECD, ,∠ACD-∠ABC=∠A, .2∠ECD-2∠EBC=50°， ∴.∠ECD-∠EBC=25° :∠E+∠EBC=∠ECD」 ∴.∠E=∠ECD-∠EBC=25° 【变式43】如图，在△ABC中，∠C=90° B 图1 图2 (1)在图1中作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，若CD=4,AB+BC=20,求△ABC的面积. (3)如图2，CE平分∠ACB,F是线段CE上一点，延长BF交线段AC于H点，FG⊥BF,求证：FG=FH 【答案】（①）见解析 (2)40 (3)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题 关键。 (1)根据角平分线的作法作图即可： 第18页共40页 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)过点D作DH⊥AB于点H,由角平分线的性质得到DH=CD=4,再结合三角形面积公式求解即 可 (3)过F点分别作FM⊥BC于M,FN⊥AC于N,根据角平分线的性质可得FM=FN,再证明 △FMG≌△FNH AAS,即可得证. 【详解】(1)解：BD即为∠ABC的平分线，如图所示 B (2)解：如图，过点D作DH⊥AB于点H. B 因为BD平分∠ABC,DC⊥BC,DH⊥AB, 所以DH=CD=4, 所以SAac=SAn+SABD号BC-CD+号AB-DH BCx4+AB×4=×4×BC+A 2×4x20 =40 (3)证明：过F点分别作FM⊥BC于M,FN⊥AC于N. B E .CE ∠ACB 平分 ∴.FM=FN .FB⊥FG ∴.∠BGF+∠GBF=90° 同理∠GBF+∠FHC=90° 第19页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠BGF=∠FHC 在△FMG和△FNH中： i ∴.△FMG≌△FNH(AAS .'FG=FH 【题型5证角平分线】 【例5】如图，A、B两点分别在射线OM、ON上，点C在∠MON的内部，已知AC=BC,CD⊥OM ,CE⊥ON,垂足分别为D、E,且AD=BE,求证：OC平分∠MON. 4 B E 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定定理与直角三角形全等的判定HL.先通过HL证明直角三角形全等， 得到点C到∠MON两边的距离相等，再根据角平分线的判定定理证明OC平分∠MON. 【详解】证明：CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D、E, .∠ADC=∠BEC=90°， 在△ACD和△BCE中， AC=BC AD=BE' :.Rt△ACD≌R tECE HL, ∴CD=CE, :点C在∠MON的内部，且点C到OM、ON的距离相等， ∴.点C在∠MON的平分线上， ∴.OC平分∠MON 【变式5-I】如图，DE⊥AB,交AB的延长线于点E,BE=CF,DF⊥AC于点F,且DB=DC.求 证：AD是∠BAC的平分线. 第20页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，首先利用HL证明 Rt△BDE≌R tCDF,根据全等三角形的性质可证DE=DF,再根据到角两边距离相等的点在角平分线 上可证结论成立. 【详解】证明：.DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠E=∠DFC=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中， DB=DC BE=CF' ∴.Rt△BDE≌R tCpF HL, ∴DE=DF, AD是∠BAC的平分线 【变式5-2】如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD,AD=CD,过点P作 PM⊥AD,PN⊥CD,M,N分别是垂足，且PM=PN,求证：BP平分∠ABC 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理 是解题关键： 先由角平分线的性质定理得到∠ADP=∠CDP,再证明△ABD≌△CBD(SAS),得到 ∠ABP=∠CBP,即可证明结论， 【详解】证明：.'PM⊥AD,PN⊥CD,PM=PN, ∴.DP为∠ADC的角平分线， .∠ADP=∠CDP, 第21页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ADB=∠CDB, 在△ABD和△CBD中， AD=CD. ∠ADB=∠CDB, BD=BD ∴.△ABD≌△CBD(SAS), ∴.∠ABP=∠CBP, BP平分∠ABC. 【变式53】如图：AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC, (1)图中EC、BF有怎样的位置关系？试证明你的结论， (2)连接AM,求证：MA平分∠EMF」 【答案】(1)EC⊥BF,证明见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助线构造 全等三角形是解题关键。 (1)令AB与EC的交点为G,证明△ACE≌△AFB|SAS),得到∠AEC=∠ABF,进而得出 ∠BMG=∠EAG=90°，即可得到结论： (2)过点A作AP⊥CE于点P,AQ⊥BF于点Q,证明△ACP≌△AFQ AAS,得到AP=AQ,即可 证明结论， 【详解】(1)解：EC⊥BF,证明如下： 令AB与EC的交点为G,如图， .AE⊥AB,AF⊥AC, 第22页共40页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A ∴.∠BAE=∠CAF=90 G B .∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠CAE=∠FAB, 在△ACE和△AFB中， AC=AF ∠CAE=∠FAB, AE=AB ∴.△ACE≌△AFB|SAS, ∴.∠AEC=∠ABF, .∠AGE=∠BGM, ∴.∠BMG=∠EAG=90°， ∴.EC⊥BF; (2)证明：如图，过点A作AP⊥CE于点P,AQ⊥BF于点Q, F A .∴.∠APC=∠AQF=90° G M B C ,△ACE≌△AFB, ∴.∠ACP=∠AFQ, 在△ACP和AFQ中， ∠APC=∠AQF ∠ACP=∠AFQ, AF=AC ∴.△ACP≌△AFQ AAS, ∴.AP=AQ, 第23页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又AP⊥ME,AQ⊥MF, ∴.MA平分∠EMF 【题型6角平分线的判定与性质综合】 【例6】如图，在△ABC中，∠CAB=50°，点D在△ABC的外部，且AD平分∠BAC,过点D作 DE⊥AC,交AC的延长线于点E,DF⊥BC,交BC于点F,连接BD.若∠BCE=104°，DE=DF, 求∠DBC的度数 【答案】63° 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接CD,过点D作DG⊥AB,交AB 的延长线于点G,证明CD平分∠BCE,BD平分∠CBG,利用三角形的外角性质求得∠ABC=54°，进 一步计算即可求解。 【详解】解：如图，连接CD,过点D作DG⊥AB,交AB的延长线于点G, .DE⊥ACDF⊥BCDE=DF G .CD平分∠BCE, .'AD平分∠BAC, .∴.DE⊥AC,DG⊥AB, ∴.DE=DG, .DF=DG, ..BD平分∠CBG, .∴.∠ABC=∠BCE-CAB=104°-50°=54°， .∴.∠CBG=180°-∠ABC=126°， 第24页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DBc-7<CBG-632 【变式61】如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AD,垂足为E, BD=ED,求证：CD平分∠ACE 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键， 过点D作DP⊥AC于点F,根据DB⊥AB证得BD=FD,进而证得ED=FD,根据角平分线定理证明即 可. 【详解】证明：如图，过点D作DP⊥AC于点F, :∠B=90°，AD是∠BAC的平分线， ..BD=FD. ..BD=ED, ..ED=FD, CE⊥AD,DF⊥AC, ∴.CD平分∠ACE 【变式6-2】如图在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=40°，∠ABC的平分线交AC于点E,过点E 作EF⊥AB,交BA的延长线于点F,且∠AEF=20°，连接DE. 第25页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：DE平分∠ADC: (2)若AB=6,AD=5,CD=7,且S△AcD=12,求△ABE的面积. 【答案】(1)证明见解析： S=6' 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键 (I)过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H,由BE是∠ABC的平分线，得到EF=EH,再证明 AE是∠FAG的平分线，得到EF=EG,进而得到EG=EH,即可得出结论： (2)IS&ACD=12,得到号CD·EH+号AD·EG=12,求出EF=EH=EG=2,即可求解. 【详解】(1)证明：过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H,如图： ,BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB,EH⊥BC, ..EF=EH. ,∠AEF=20°，∠F=90°， ∴.∠FAE=90°-20°=70°， .∠GAE=180°-∠FAE-∠BAD=70°， ∴.∠GAE=∠FAE, ∴.AE是∠FAG的平分线， 又EG⊥AD,EF⊥AB, ..EF=EG, ..EG=EH, 又EG⊥AD,EH⊥BC, 第26页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE平分∠ADC: (2)解：如图： S△ACD=12 DEH+号ADEG=I2, .AD=5,CD=7.EH=EG. 号*7×EG+号5xEG=2, 解得：EH=EG=2, ∴EF=EH=2, 56E号ABE=6x=6 【变式63】如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=110°，BE平分∠ABC交AC于点E,过点 E作EF⊥AB交BA的延长线于点F,且∠AEF=55°，连接DE. (I)求∠CAD的度数： (2)求证：DE平分∠ADC: (3)若AD=4,CD=8,且S△AcD=15,求EF的长. 【答案】)35 (2)见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的 性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键 第27页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1根据垂直得到∠AFE=90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE=145°，再根据 ∠BAE=∠BAD+∠CAD,即可求出∠CAD的度数： 2过点E作EG⊥AD,EH⊥BC,根据角平分线的性质得到EF=EG,EF=EH,进而得到EG=EH, 再根据角平分线的判定定理即可证明结论： 3根据三角形的面积公式求出EH专，再根据角平分线的性质即可求得答案 【详解】(1)解：.EF⊥AB, ∴.∠F=90°， .'∠AEF=55°， ∴.∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°， .'∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=110°， .∴.∠CAD=∠BAE-∠BAD=145°-110°=35°： (2)证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G,EH⊥BC交BC于点H, .∠F=90°∠AEF=55 B DH ∴.∠EAF=90°-55°=35°， 由1可知，∠EAF=∠CAD=35°， .AE平分∠FAD .EF⊥AF,EG⊥AD, .'EF=EG, .BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC, ∴.EF=EH, ∴.EG=EH, .EG⊥AD,EH⊥BC, .DE平分∠ADC: (3)解：，S4AcD=15 ..SAADE+SACDE=15, 第28页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴2ADEG+3CD·EH=15, .AD=4,CD=8,EG=EH, 24EH+38H=15, ·EH=155 621 .EF=5 2 模块三课后作业 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N, 再分别以点M,N为圆心，大于号MN的长为半径回证，两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D.若 AB=7,CD=2,则△ABD的面积是 B D 【答案】7 【分析】作DE⊥AB于点E,根据尺规作图可得AD平分∠BAC,由角平分线的性质可得DE=CD=2, 直接计算△ABD的面积即可. 【详解】解：如图，作DE⊥AB于点E, B 由题意可得，AD平分∠BAC, 第29页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C=90°，DE⊥AB, ∴DE=CD=2, 5&aD号ABDE方7x2=7. 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，若AC平分∠BAD,AD=BC=4,则△ADC的面积为 D B 【答案】8 【分析】如图，过C作CH⊥AD于H,利用角平分线的性质证明CH=CB=4,进一步利用三角形的面积 公式计算即可. 【详解】解：如图，过C作CH⊥AD于H, H 0、 D :∠B=90°，AC平分∠BAD,BC=4, ..CH=CB=4, ,AD=4, △ADC的面积为号AD·CH×44=8 2 3.如图，直线ABCD,点E,F分别是直线AB,CD上的点，∠AEF和∠CFE的平分线交于点G, GH⊥EF于点H,若GH=3,则直线AB与CD之间的距离为 第30页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G 【答案】6 【分析】作GM⊥AB于点M,延长MG交CD于点N,由角平分线的性质定理可得GM=GH=3,由平行 线的性质得出GN⊥CD,再结合角平分线的性质得出GN=GH=3,即可得出结果. 【详解】解：如图，作GM⊥AB于点M,延长MG交CD于点N, 4 B D :GE平分∠AEF,GH⊥EF, ..GM=GH=3, ABCD,GM⊥AB, ∴.GN⊥CD GF平分∠CFE,GH⊥EF, ..GN=GH=3, .MN=GM+GN=3+3=6, ∴直线AB与CD之间的距离为6. 4.如图，△ABC中，点E在AB边上，连接CE,∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于点F,连 接CF.若AC=5,CE=3,S△AcF=10,则S△ECF=一· 【答案】6 【分析】过点F分别作AB,AC,EC的垂线，交AB延长线于点G,交AC延长线于点M,交EC于点N.证 明FN=FM,根据条件求出FN=FM=4,进而求出结论. 【详解】解：如图，过点F分别作AB,AC,EC的垂线，交AB延长线于点G,交AC延长线于点M,交 第31页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EC于点N. RG M ,∠BEC的角平分线与∠BAC的角平分线交于点F, ∴.FN=FG,FM=FG ∴.FN=FM, .AC=5,CE=3,SAACF=10 .5ACFM-x FM-10. ∴.FM=4, .∴.FN=FM=4, :.Saur-CE+FN-_x3x4-6. 5.如图，在△ABC中，AB=BC=2a,∠BAC和∠ABC的平分线AD,BE相交于点O,AD交BC于点 D,BE交AC于点E,CE=b,若△ABO的面积为ac,则△ABC的面积为 D 【答案】2ac+bc 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可知OE⊥AC ,AC=2CE=2b,根据角平分线的性质得到OF=OE=OG,再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】解：如图，连接OC,作OG⊥BC,OF⊥AB,垂足分别为G,F, A DG 第32页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,△ABO的面积为ac,AB=BC=2a, ABXOF=ac axOE=ac ∴.OF=c :AB=BC,BE平分∠ABC, .OE⊥AC,AC=2EC=2b, :∠BAC和∠ABC的平分线分别为AD,BE相交于点O,且OG⊥BC,OF⊥AB, ∴.OE=OF=OG=c, .S△ABC=S△AB0+SAACO+S△BCO ABxOF+-号BCx0G+号ACxOE =ac+号×2axc+号x2bxc 2 =ac+ac+bc =2ac+bc. 故答案为：2ac+bc 6.如图，在四边形AEDC中，∠EAC+∠EAD=180°，且∠ADE=30°，∠ADC=120°.若 ∠DAC=40°，则∠ECD的度数为 D 【答案】10°10度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质与判定，分别延长CD,CA,过点E作 EG⊥CD交CD于G,EH⊥CA交CA于H,EP⊥AD交AD于P,然后证明EA、ED、EC是△ADC内 角或外角的角平分线，再根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可。 【详解】解：分别延长CD,CA,过点E作EG⊥CD交CD于G,EH⊥CA交CA于H,EP⊥AD交AD 于P, 第33页共40页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'∠EAC+∠EAD=180°∠EAC+∠EAH=180° D .∠EAH=∠EAD,即EA平分∠HAD, EH⊥CA,EP⊥AD, ∴.EH=EP, :∠ADE=30°，∠ADC=120°， .∠EDG=180°-∠ADC-∠ADE=180°-120°-30°=30°， .∠EDG=∠ADE=30°，∠ADG=∠EDG+∠ADE=60°， ∴.ED平分∠ADG EG⊥CD,EP⊥AD, .EP=EG ∴.EP=EG=EH, ∴.EC平分∠ACD, ∠ECD=克∠ACD, :∠DAC=40°， ∴.∠ACD=∠ADG-∠DAC=60°-40°=20°， ..ECD=1 ∠ACD=10°， 2 故答案为：10° 7.已知：∠AOB=60°，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的 角尺来作∠AOB的角平分线。 D D 一B E\ 图1 图2 第34页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图1，她先在边OA和OB上分别取OD=OE,再移动角尺使PD=PE；然后她就说射线OP是∠AOB 的角平分线.试根据小惠的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线： (2)如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，OD≠OE,但仍然出现了PD=PE,此时OP是∠AOB的 角平分线吗？如果是，请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识. (1)根据SSS证明△OPD≌△OPE,可得结论： (2)过点P作PH⊥OA于H,PK⊥OB于K.证明△DPH≌△EPK AAS,可得结论. 【详解】(1)解：证明：如图1中， A P 图1 在△OPD和△OPE中， OD=OE PD=PE OP=OP ∴.△OPD≌△OPE SSS, ∴.∠POD=∠POE: (2)解：结论正确. 理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H,PK⊥OB于K. .∠PHO=∠PKB=90°∠AOB=60° 图2 .∴.∠HPK=120° .∠DPE=∠HPK=120°， 第35页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DPH=∠EPK, 在△DPH和△EPK中， ∠PHO=∠PKB=90° ∠DPH=∠EPK PD=PE ∴.△DPH≌△EPK(AAS, .'PH=PK. 则OP是∠AOB的角平分线. 8.图1是一个平分角的仪器，其中OM=ON,MP=NP A(O MS 图1 图2 (①)如图2，将仪器放在△ABC上，使点O与点A重合，点M,N分别在边AB,AC上，沿AP画射线交 BC于点D,则AD是△ABC的角平分线.请你对“AD是△ABC的角平分线”说明理由： (2)在(1)的条件下，过点D作DE⊥AB于点E.若AB+AC=19,SAABC=38,求DE的长， 【答案】()答案见解析 (2)DE=4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等面积法和角平分线的判定和性质的知识，掌握以上知识 是解答本题的关键： (1)根据全等三角形的判定边边边和性质，角平分线的判定知识进行作答，即可求解： (2)根据角平分线的性质的知识和等面积法进行作答，即可求解： 【详解】(1)解：理由：在△AMP和△ANP中， AM=AN MP=NP AP=AP ∴.△AMP≌△ANP|SSS, ∴.∠MAP=∠NAP, ∴.AP平分∠BAC, 第36页共40页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即AD是△ABC的角平分线： (2)解：过点D作DF⊥AC于点F,如图： A(O) .AD∠BAC DE⊥ACDE⊥AB B D 平分 DE=DF」 Sac=5ABD+5Ax号×AB×DE+2×ACxDE=号×DEx(AB+AC=38, 2 .AB+AC=19. ..DE=4. 9.如图，△ABC的外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点D,过点D作DE⊥AM,DF L AN,垂足 分别为E、F B (1)若∠A=60°，∠ABC=50°，求∠BDC的度数： (2)连接AD,证明：AD平分∠BAC. 【答案】(1)60° (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关 键. (I)根据三角形的外角可以得到∠CBM和∠BCN的度数，然后根据角平分线的定义得到∠CBM, ∠BCN,然后计算解题： (2)过D作DH⊥BC于H,根据角平分线的性质得到DF=DE,再根据角平分线的判定即可得到结论 【详解】(1)解：在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=50°， 根据三角形内角和定理，∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-50°=70°， 第37页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由三角形的外角性质， ∠CBM是△ABC的外角，则∠CBM=180°-∠ABC=180°-50°=130°， ∠BCN是△ABC的外角，则∠BCN=180°-∠ACB=180°-70°=110°， .'BD平分∠CBM,CD平分∠BCN, ∴.∠CBD 2∠CBM= ×130=65,∠BCD=3BCN=3×10r=5, 在△BDC中，根据三角形内角和定理有： ∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD=180°-65°-55°=60° 故∠BDC的度数为60°： (2)过点D作DH⊥BC于H, BD平分∠CBM,DE⊥AM,DH⊥BC, .'DE=DH: .CD平分∠BCN,DF⊥AN,DH⊥BC ∴.DF=DH, .'DF=DE, 又，'DE⊥AM,DF⊥AN, 根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上）， 可得点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC. D 10.如图，△ABC与△AED中，∠E=∠C,DE=BC,EA=CA,过A作AF⊥DE垂足为F,DE交 CB的延长线于点G.连接AG (I)求证：GA平分∠DGB: 第38页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)若S四边形口DcBA=20,AF=4,求FG的长. 【答案】()见解析 (2)5 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形的面积，熟练掌握以上知 识点是解题的关键。 (I)过点A作AH⊥BC于H,证明△ABC≌△ADE,得到SAADE=SAABC以及对应边上的高相等，结合 角平分线的判定即可证明： (2)证明Rt△ADF≌Rt△ABH和Rt△AFG≌Rt△AHG,推出S四边形DGBA=S四边形AFGH,转化成两个全 等三角形的面积和，进而求解. 【详解】(1)证明：过点A作AH⊥BC于H, G\B E 在△ABC与△ADE中， DE=BC ∠E=∠C, EA=CA ∴.△ABC≌△ADE SAS, :.SAADE=S△ABC, 又AF⊥DE, ∴.AF=AH, 又：AF⊥DE,AH⊥BC ∴.GA平分∠DGB: (2)解：，△ABC≌△ADE, ∴AD=AB, 在Rt△ADF和Rt△ABH中， AD=AB AF=AH .Rt△ADF≌Rt△ABH HL, 第39页共40页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.SAADF=SAABH ∴.S四边形DGBA=S四边形AFGH=20, 在Rt△AFG和Rt△AHG中， AG=AG AF=AH ∴.Rt△AFG≌Rt△AHG HL, ∴.S△AFG=S△AHG: ,.S四边形AFGH=2S△AFG=20, &SAAG5FG·AF=10y AF=4, 号FG40, 解得：FG=5. 第40页共40页