精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

石嘴山市第一中学24-25学年高二下期末考试 数学试题 一、单选题：共40分. 1. 若，，，则实数，，之间的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断三个数a、b、c与0，1的大小，即可得到结果． 【详解】∵，∴a=20.3＞20=1， ∵, ∴b=， 又，即0<c<1， 所以． 故选B． 【点睛】本题考查指对幂函数的单调性的应用及指对互化的运算，属于基础题． 2. 已知等差数列中，，，则其公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的性质运算求解即可. 【详解】因为在等差数列中，，， 所以公差． 故选：B. 3. 已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线以及垂直的坐标表示，列出关于的方程组，求解即可. 【详解】因为与共线，所以，解得. 又，所以，解得，所以，所以. 故选：C. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 30 B. 15 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得展开式的通项公式为，求解即可. 【详解】因为二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以， 所以的系数为. 故选：B. 5. 函数有且只有一个零点的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得函数的图象过点，把问题转化为：函数没有零点函数的图象与直线无交点，数形结合可得解． 【详解】因为时，，可知函数的图象过点， 所以函数有且只有一个零点 函数没有零点 函数的图象与直线无交点． 当时，， 由图可知，函数 的图象与直线无交点或． 即函数有且只有一个零点的充要条件是或． 故选：D． 6. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（ ） 光照时长 1 2 3 8 10 种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2 A. 相关系数r的绝对值变小 B. 相关变量具有负相关关系 C. 拟合误差变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，较其他的点偏离回归直线最大，去掉后，回归效果更好，结合相关系数、正负相关性、残差平方和以及相关性逐项分析判断. 【详解】观察图象知：较其他的点偏离回归直线最大，因此去掉后，回归效果更好， 对于A，相关系数越接近于1，线性相关性越强， 因此去掉后，相关系数的绝对值变大，A错误； 对于B，由表格数据可知越大，越大，所以相关变量具有正相关关系，B错误； 对于C，因为残差平方和越大，拟合效果越差，因此去掉后，残差平方和变小，拟合误差变小，C错误； 对于D，由选项A知，去掉后，相关系数的绝对值变大， 因此解释变量与响应变量的相关性变强，D正确. 故选：D 7. 已知，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论. 【详解】解法1：由得，， 又因为，所以，则或， 整理得或（舍去）. 故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则， 整理得. 故选：C． 8. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：D． 二、多选题：共18分 9. 对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据散点图分析数据的正（负）相关及相关性的强弱，即可判断相关系数的特征. 【详解】由图形特征可知，对应的样本数据都是负相关，所以，都是负数， 又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强，所以， ，对应的样本数据都是正相关，又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强， 所以，所以BD正确． 故选：BD． 10. 一袋中有5个大小相同的黑球，编号为，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（ ） A. 取出的最小号码服从超几何分布 B. 取出的白球个数服从超几何分布 C. 取出2个黑球的概率为 D. 若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据超几何分布的概念判断A，B；利用超几何分布的概率计算求解可判断C，D. 【详解】对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数， 即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误； 对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确； 对于，取出2个黑球的概率为，故C正确； 对于，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则取出三个白球的总得分最小， 总得分最大的概率为，故不正确. 故选：. 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. C. 的最大值为 D. 有唯一零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导判断函数的单调性可知A；利用结合函数单调性可知B；由单调性可知C；判断与特点可知D. 【详解】由，得，当时，在上单调递增，A正确． 当时，在上单调递减，所以， 因为，所以，B正确． 易得在处取得最大值，最大值为，C错误． 令0，得，函数与函数两函数的图象有唯一交点，所以有唯一零点，D正确． 故选：ABD 三、填空题：共15分 12. 5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 【答案】30 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算即可得解． 【详解】先选1名去新疆，再选2名去青海，剩下的2名去西藏，方法数为， 故答案为：30. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 14. 已知是函数图象上任意一点．若点的坐标满足：，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线不等式和不等式性质可得。结合条件可推得，从而可得点在直线上运动，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可. 【详解】易证，（）(后续提供证明)， 所以，， 由不等式的性质知，当且仅当时取等号， 结合已知可得，此时，即点在直线上运动. 设与平行的直线与相切于点，令得， 故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值． 下证：，（）. 证明：设，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故，即得证. 又设，则，当时，， 当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减. 故，即得证. 故答案为：. 四、解答题：共77分. 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】(1) [方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2) [方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积． 因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是． 【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度范围求解面积的范围是常规的做法； 方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围； 方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用. 16. 某种产品每吨成本6万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 7 7.5 8 8.5 9 10 9 8.5 7.5 5 （1）若与线性相关，求关于的经验回归方程； （2）根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到0.1） 附：（参考公式，） 【答案】（1） （2）预测销售价格是8.7万元/吨时，该产品销售利润最大 【解析】 分析】（1）根据给定条件，利用最小二乘法公式求出经验回归方程. （2）由（1）的结论，求出销售利润函数式，再借助二次函数最值求解. 【小问1详解】 依题意，，. . . 因此，. 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 销售利润为. 当时，取得最大值， 所以预测销售价格是8.7万元/吨时，该产品销售利润最大. 17. 已知等差数列，正项等比数列，其中的前n项和记为，满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式；（2）利用错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为； 利用基本量运算有， 因为为正项数列，可得， 所以； 即数列的通项公式为 数列的通项公式为 小问2详解】 由（1）可得， 所以 ① ② 得： 即数列的前n项和 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】（1）， （2）（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意列方程求得可得椭圆方程，进一步求得可得抛物线方程； （2）（i）由题意可设可设，分析得知直线的方程为，令即可得证；（ii）联立得，结合韦达定理，焦点弦公式表示出以及中点的坐标，只需证明即可. 【小问1详解】 由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 19. 已知函数与，若存在，使得，则称点为与的一个“关键点”． （1）请写出函数与的一个“关键点”的坐标（不需要证明）． （2）判断函数与是否存在“关键点”．若存在，求出该“关键点”的坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知函数和的一个“关键点”的坐标是，且，证明：． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，找出符合要求的一个点即可得； （2）借助导数与零点的存在性定理可得的单调性，从而可得其最小值，结合的值域即可判断； （3）由题意可得，，化简计算有，再构造函数，结合导数研究其单调性即可得解. 【小问1详解】 设，则有， 故满足由的点都是与的一个“关键点”， 对，有，故点符合要求； 【小问2详解】 由题意得的值域为，的定义域为， ． 令，则，所以在上单调递增． 因为， 所以在上存在唯一零点，且． 当时，，在上单调递减，当时，， 在上单调递增，所以， 由，得，得，即， 所以，得． 又，所以不存在，使得，故与不存在“关键点”； 【小问3详解】 设，则，得①，②， ①②得，①②得， 由，得，则， 得． 设，则， 设，则． 令函数，因为，所以在上单调递增． 由，得，得在上单调递增， 由，得在上单调递增， 所以，则． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学24-25学年高二下期末考试 数学试题 一、单选题：共40分. 1. 若，，，则实数，，之间大小关系为 A. B. C. D. 2. 已知等差数列中，，，则其公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知向量，向量，向量，若与共线，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 30 B. 15 C. D. 5. 函数有且只有一个零点的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 6. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（ ） 光照时长 1 2 3 8 10 种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2 A. 相关系数r的绝对值变小 B. 相关变量具有负相关关系 C. 拟合误差变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 7. 已知，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共18分 9. 对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 一袋中有5个大小相同的黑球，编号为，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（ ） A. 取出的最小号码服从超几何分布 B. 取出白球个数服从超几何分布 C. 取出2个黑球的概率为 D. 若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小概率为 11. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. C. 的最大值为 D. 有唯一零点 三、填空题：共15分 12. 5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为______． 14. 已知是函数图象上任意一点．若点坐标满足：，则的最小值为______． 四、解答题：共77分. 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 16. 某种产品每吨成本6万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 7 7.5 8 8.5 9 10 9 8.5 7.5 5 （1）若与线性相关，求关于的经验回归方程； （2）根据（1）结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到0.1） 附：（参考公式，） 17. 已知等差数列，正项等比数列，其中的前n项和记为，满足，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． （1）求椭圆C和抛物线E的方程； （2）设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 19. 已知函数与，若存在，使得，则称点为与的一个“关键点”． （1）请写出函数与的一个“关键点”的坐标（不需要证明）． （2）判断函数与是否存在“关键点”．若存在，求出该“关键点”的坐标；若不存在，请说明理由． （3）已知函数和的一个“关键点”的坐标是，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $