精品解析：江西赣州市兴国县2025—2026学年第二学期期末考试初中七年级数学试卷

2025—2026学年第二学期期末考试初中七年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意； B、是无限不循环小数，属于无理数，该选项符合题意； C、是分数，属于有理数，该选项不符合题意； D、，是整数，属于有理数，该选项不符合题意． 2. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有C选项中的图案可以有平移得到， 故选：C． 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况． 全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全面调查的情况． 【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意； 选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意； 选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意； 选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 4. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：∵， ∴根据不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变，可得，，故选项A、D错误； 根据不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变；同时乘同一个正数，不等号方向不变；可得，，故选项B错误，选项C正确． 5. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2026秒时点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标求出四边形各边长及周长，计算出点P运动的总路程，利用总路程除以周长得到余数，根据余数确定点P的位置． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴四边形的周长为， ∵点P的速度为2个单位长度/秒，运动时间为2026秒， ∴点P运动的总路程为 ， ∵， ∴点P运动了253圈后又运动了4个单位长度， ∵，且点P从点A出发沿方向运动， ∴此时点P到达点B处， ∴点P的坐标为． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 化简：_______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 8. 命题“同位角相等，两直线平行”的题设是_____． 【答案】同位角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了命题，命题有题设和结论两部分，命题的题设部分是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，解题的关键是熟悉区分命题的两个部分． 由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题中已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分． 故答案为：同位角相等． 9. 若不等式是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：∵不等式是关于的一元一次不等式， ∴，且， 解得． 10. 光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则_____． 【答案】132 【解析】 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵光线在空气中平行，， ， ∵液面和底面平行，， ， ． 11. 如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”；请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为_______． 【答案】155杯 【解析】 【分析】观察趋势图，分析气温与冷饮杯数的变化规律，读取、时的数值，结合变化率进行推算． 【详解】解：观察统计图可知，卖出的冷饮杯数随气温的升高而增加，且呈线性趋势． 由图象可知，当最高气温为时，冷饮杯数约为140杯； 当最高气温为时，冷饮杯数约为150杯． 则气温每升高，冷饮杯数大约增加（杯）． 所以当最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为（杯）． 12. 在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算、解方程组 （1）计算：； （2）解二元一次方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得， ∴原方程组的解为． 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 解得， 解得， ∴不等式组解集为． 15. 在小正方形边长为1的的网格中，A，B，C三点为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法）： （1）在图1中，点是格点，找一格点，使； （2）在图2中，找一格点P，使． 【答案】（1） 如图，点即为所作， （2） 如图，点P即为所作， 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质： （1）根据平移的性质确定点即可； （2）根据平移的性质确定点P即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 完成下面的证明过程， 如图，已知，于点，于点，求证：． 证明：∵，（已知）， ∴， ∴（__________________________________）， ∴（__________________________________）， ∵，（已知）， ∴（__________________________________）， ∴___（_________________________________）， ∴（__________________________________）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行， 根据同旁内角互补，两直线平行可得，，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得，，由此即可求解． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 17. 已知一个正数x的两个不同的平方根分别为和，b的立方根是，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再根据立方根的定义求出的值，最后代入计算得到的结果． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和， ∴， 整理得， 解得， ∵的立方根是， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． （1）求的值； （2）求出原方程组的正确解． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】利用看错系数的解仍满足未看错的方程，代入计算即可求出和的值； 把的值代入原方程组，再利用加减法解答即可． 【小问1详解】 解： 小马看错方程①中的，得到的解满足方程②， 将代入②，得 ，  解得， 小虎看错方程②中的，得到的解满足方程①， 将代入①，得 ，  解得； 【小问2详解】 解：将，代入原方程组，得 ， ①②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的正确解为． 19. 为扎实推进劳动教育，某校把学生参与劳动教育情况纳入考核，随机抽取了部分学生的劳动教育成绩，并整理得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据所给信息，解答下列问题： （1）抽取的学生人数为________，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，求“”的扇形所对应的圆心角的度数； （4）若成绩高于分为考核优秀，则该校人中，优秀人数大约有多少？ 【答案】（1），， （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）根据“”有人，占调查人数的求出总人数，进而求出和的值即可； （2）求出“”的学生人数即可补全频数分布直方图； （3）用乘以“”的学生人数占比即可； （4）利用样本估计总体的方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抽取的学生人数为， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：“”的学生人数为，补全频数分布直方图略 【小问3详解】 解：∵， ∴“”的扇形所对应的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）， 答：优秀人数大约有人． 20. 在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“对角点”．例如：点，点，因为，所以点与点互为“对角点”． （1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“对角点”为点______； （2）若点的“对角点”在坐标轴上，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】根据“对角点”的定义逐个判断即可； 分点在轴上和点在轴上两种情况，根据“对角点”的定义解答即可． 【小问1详解】 解：对于，，，，故不是点的“对角点”；对于，，，，故是点的“对角点”；对于，，，，故不是点的“对角点”， 综上，点的“对角点”为； 【小问2详解】 解：∵点在坐标轴上， ∴分两种情况讨论： ① 若点在轴上，设， 根据定义得：，  解得，此时，符合条件， ∴； ② 若点在轴上，设， 根据定义得：，  解得，此时，符合条件， ∴； 综上，点的坐标为或． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元 问题二 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，新建一个地下充电桩需要0.3万元； 问题二：共有4种建造方案， 方案1：建造40个地下充电桩，20个地上充电桩； 方案2：建造41个地下充电桩，19个地上充电桩； 方案3：建造42个地下充电桩，18个地上充电桩； 方案4：建造43个地下充电桩，17个地上充电桩； 问题三：方案4占地面积最小． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（问题一）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（问题二）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（问题三）根据各数量之间的关系，求出各方案的占地面积． 问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 问题二：设建造m个地下充电桩，则建造（60-m）个地上充电桩，根据“该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； 问题三：利用占地面积=每个地下充电桩的占地面积×建造地下充电桩的数量+每个地上充电桩的占地面积×建造地上充电桩的数量，可求出各方案的占地面积，比较后即可得出结论． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，新建一个地下充电桩需要0.3万元； 问题二：设建造m个地下充电桩，则建造个地上充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42，43， ∴共有4种建造方案， 方案1：建造40个地下充电桩，20个地上充电桩； 方案2：建造41个地下充电桩，19个地上充电桩； 方案3：建造42个地下充电桩，18个地上充电桩； 方案4：建造43个地下充电桩，17个地上充电桩； 问题三：方案1的占地面积为（平方米）； 方案2的占地面积为（平方米）； 方案3的占地面积为（平方米）； 方案4的占地面积为（平方米）． ∵， ∴在问题二的条件下，方案4占地面积最小． 22. 二元一次方程有无数组解，如：，．如果将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． （1）表中列举出方程的部分解，请在图①中描出这些点并连接，观察所作图象，说出它的形状是________（填“直线”“射线”“线段”） x … 0 1 3 … y … 0 1 3 … （2）根据（1）中结论，在图②画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．根据图象，直接写出方程组的解_______． （3）若关于x，y的二元一次方程（）的图象与二元一次方程的图象交于点，求k的值． 【答案】（1）； 直线 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）在图中描点并连线，观察图象可得它的形状是直线． （2）分别代入，，结合图象为直线，可对坐标系描点连线，进而根据两直线交点可得方程组的解． （3）根据题意将代入中，求解即可． 【小问1详解】 解：在图①中描出这些点并连接，如图所示． 由图可得它的形状是直线． 【小问2详解】 解：对于，当时，；当时，； 对于，当时，；当时，； ∵由（1）中结论可得，上述方程的图象均为直线， 故在坐标中描点连线，如图所示： 由图象可得两直线交点为， ∴方程组的解为． 【小问3详解】 解：∵（）的图象与二元一次方程的图象交于点， 故将代入中，即， 解得：． 六、解答题（本大题共12分） 23. “非遗贺新春，寻味中国年——来赣州过客家年”暨“赣韵非遗·江右大集”启动仪式在兴国县将军公园广场举行．活动内容包括：“赣南非遗之夜”展演（采茶戏、兴国山歌、傩戏等） 【提出问题】图①是采茶戏演员表演时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠现有条件无法直接求得的度数，因此，需要添加辅助线，构造新图形求解． 【问题解决】 （1）解：如图②，过点作，过点作，则， 因为，所以， 因为，，所以， 所以， 因为，所以． 所以 ． 【迁移应用】 （2）图③是一款手推车的平面示意图，． ①若，，则 ． ②请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （3）如图④，，平分交于点，平分交于点，平分分别交、于点，，求与之间的数量关系． 【答案】（1） （2）①；②，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）将、的度数代入计算即可； （2）①过点作，再利用平行线的性质解答即可；②同理①解答即可； （3）过点作，设，由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，即得，得到，进而得到，再利用平行线的性质解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②略； 【小问3详解】 解：如图，过点作， 设， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试初中七年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 4. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2026秒时点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 7. 化简：_______． 8. 命题“同位角相等，两直线平行”的题设是_____． 9. 若不等式是关于x的一元一次不等式，则______． 10. 光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则_____． 11. 如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”；请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为_______． 12. 在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 三、解答题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算、解方程组 （1）计算：； （2）解二元一次方程组： 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 15. 在小正方形边长为1的的网格中，A，B，C三点为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法）： （1）在图1中，点是格点，找一格点，使； （2）在图2中，找一格点P，使． 16. 完成下面的证明过程， 如图，已知，于点，于点，求证：． 证明：∵，（已知）， ∴， ∴（__________________________________）， ∴（__________________________________）， ∵，（已知）， ∴（__________________________________）， ∴___（_________________________________）， ∴（__________________________________）． 17. 已知一个正数x的两个不同的平方根分别为和，b的立方根是，求的值． 四、解答题（本大题共3小题，每题8分，共24分） 18. 小马、小虎两人同时解方程组,小马由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，小虎看错了方程②中的，得到方程组的解为． （1）求的值； （2）求出原方程组的正确解． 19. 为扎实推进劳动教育，某校把学生参与劳动教育情况纳入考核，随机抽取了部分学生的劳动教育成绩，并整理得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据所给信息，解答下列问题： （1）抽取的学生人数为________，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，求“”的扇形所对应的圆心角的度数； （4）若成绩高于分为考核优秀，则该校人中，优秀人数大约有多少？ 20. 在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“对角点”．例如：点，点，因为，所以点与点互为“对角点”． （1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“对角点”为点______； （2）若点的“对角点”在坐标轴上，求点的坐标． 五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元 问题二 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，哪种方案占地面积最小． 22. 二元一次方程有无数组解，如：，．如果将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． （1）表中列举出方程的部分解，请在图①中描出这些点并连接，观察所作图象，说出它的形状是________（填“直线”“射线”“线段”） x … 0 1 3 … y … 0 1 3 … （2）根据（1）中结论，在图②画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．根据图象，直接写出方程组的解_______． （3）若关于x，y的二元一次方程（）的图象与二元一次方程的图象交于点，求k的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. “非遗贺新春，寻味中国年——来赣州过客家年”暨“赣韵非遗·江右大集”启动仪式在兴国县将军公园广场举行．活动内容包括：“赣南非遗之夜”展演（采茶戏、兴国山歌、傩戏等） 【提出问题】图①是采茶戏演员表演时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠现有条件无法直接求得的度数，因此，需要添加辅助线，构造新图形求解． 【问题解决】 （1）解：如图②，过点作，过点作，则， 因为，所以， 因为，，所以， 所以， 因为，所以． 所以 ． 【迁移应用】 （2）图③是一款手推车的平面示意图，． ①若，，则 ． ②请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （3）如图④，，平分交于点，平分交于点，平分分别交、于点，，求与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $