精品解析：山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题

2025级高一（下）期末测试 数 学 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案题号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 3. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 已知向量与的夹角为，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分） 9. 如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（ ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为6 10. 已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 存在两个实数t，使得 C. 若，则 D. 以，为邻边的平行四边形面积的最小值为 11. 如图，棱长为4的正方体中，点为的中点，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成角为，则的取值范围是 C. 设平面，则三棱锥的体积为 D. 以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，则的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分） 12. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 13. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 14. 锐角的内角的对边分别为,,则的取值范围为__________. 四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知 ，i为虚数单位，复数 （1）当复数 为纯虚数时，求 的值； （2）已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 16. 江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）估计这组样本数据的众数和中位数． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有. （1）求； （2）若的面积为=，求，； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 18. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于垂心H． （1）求； （2）若点T为劣弧BHC上一动点，求的最小值； （3）若，求的值． 20. 半径为R的球内部装有4个半径相同的小球,则小球半径r的可能最大值为__________. 21. 将集合中的数从小到大排列.第100个数为_______（用数字作答）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一（下）期末测试 数 学 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案题号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用复数的除法和复数的定义求解. 【详解】由，得，则的虚部为. 2. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设从核心区抽取的人数为人， 因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300， 可得，解得，即从核心区抽取的人数为人. 故选：D. 3. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面、线线位置关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，，则或、相交，A错； 对于B选项，若，，，则或、异面，B错； 对于C选项，由于，，可得或， 若，因为，则， 若，过直线作平面，使得，则， 因为，则，，因此，，C对； 对于D选项，若，，，则或、相交（不一定垂直），D错. 故选：C. 4. 已知向量与的夹角为，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求得，再利用运算. 【详解】，故，解得， 则. 故选：A 5. 记的内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可求得角正弦和余弦，再根据三角变换公式求得，从而可求三角形的面积. 【详解】在中，由正弦定理得，即，解得， 而，故，， ， 所以． 则． 故选：C. 6. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果. 【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 7. 在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面的条件，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为的重心，所以 ， 又，，，， 所以， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立. 故选：D. 8. 已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面得到，由题中条件得到为的中点，从而得到三棱锥中和均为直角三角形，继而得到三棱锥的外接球是以为直径，为球心，利用三棱锥体积相等求解即可得到截面圆的半径，利用圆的面积求解即可. 【详解】平面，若直线与底面的夹角为，， ，， 为的中点，四边形是平行四边形，为的中点， ，，， ，，， 三棱锥中和均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径为， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， ， ，， ，， 截面半径，则截面面积为. 二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分） 9. 如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（ ） A. B. C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用斜二测画法的规则，逐个求解边长，根据选项可得答案. 【详解】由已知等腰梯形中，,, 所以， 由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中，．∠BAD=，易得， 所以四边形ABCD的周长为，面积为． 故选：ACD. 10. 已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 存在两个实数t，使得 C. 若，则 D. 以，为邻边的平行四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，直接利用向量模的定义，转化为关于的函数即可求解；对于选项B，，转化为关于的一元二次方程实根个数问题；对于选项C，即，转化为关于的一元二次方程进行求解；对选项D，以，为邻边的平行四边形面积，先使用数量积求出，再转化为关于的函数即可求解. 【详解】对于选项A， ，故选项A正确； 对于选项B，由，则， 即， 由于，故存在两个实数t，使得，选项B正确； 对于选项C，若，则，即， ， ，当时，方程不成立，故选项C错误； 对于选项D，以，为邻边的平行四边形，设，夹角为， 则， 由于，则 那么以，为邻边的平行四边形面积 ，故选项D正确. 11. 如图，棱长为4的正方体中，点为的中点，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成角为，则的取值范围是 C. 设平面，则三棱锥的体积为 D. 以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据题目条件得到在侧面（不含边界），作出辅助线，证明出⊥平面，从而得到⊥，同理可证⊥，得到线面垂直，面面垂直；B选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，求出，从而得到，故；C选项，作出辅助线，得到，利用等体积法和体积之比得到三棱锥的体积；D选项，作出辅助线，得到的轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而确定何时取得最小值和最大值，得到答案. 【详解】A选项，，故在侧面（不含边界）上， 连接，因为⊥平面，平面， 所以⊥， 因为四边形为正方形，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，同理可证⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面， 所以平面⊥平面，A正确； B选项，取的中点，连接，则⊥平面， 则即为直线与平面所成角， 因为点在侧面（不含边界）上，正方体棱长为4， 故， 由勾股定理得， 则，B正确； C选项，取的中点，连接， 可证≌，故，同理可知， 又与的交点为正方体的中心，故四点共面， 故， 因为，且，故 所以， 连接，则， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 其中到平面的距离为， 而四边形的面积为， 则三棱锥的体积为，C错误； D选项，取的中点，连接， 因为，所以⊥，且， 以的边所在直线为旋转轴将旋转， 的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 过点作⊥于点，则，， 连接交圆于点，连接，故当重合时，取得最小值， 最小值为， 取的中点，则， ， 又，故， 又，故， 由勾股定理得， 同理，的延长线交圆于点，当重合时，取得最大值， 其中， 由勾股定理得， 故取值范围是，D正确. 故选：ABD 【点睛】立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分） 12. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，设在基底下的坐标为，根据空间向量基本定理得到方程组，求出、、即可得解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 可得，故在基底下的坐标为. 故答案为： 13. 学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为________ 【答案】220 【解析】 【分析】先根据分层抽样的比例求出样本中男、女的人数，再结合已知条件，代入分层抽样的平均数与方差公式计算求解. 【详解】根据题意，由于男女生人数之比为，则样本中男女生人数之比为， 其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169， 则样本的平均数， 样本的方差， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220． 14. 锐角的内角的对边分别为,,则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，如果设，那么问题转化为求的取值范围，则要确定的取值范围，利用正弦定理，同时结合锐角三角形条件确定的取值范围，进而得到的取值范围，借助对勾函数的单调性，即可求解的取值范围. 【详解】由题意得，设，则原式可写为， 已知是锐角三角形，，为锐角，故. 由余弦定理得，化简得. 因为三角形三个角均为锐角，故余弦值均大于0： 对，由余弦定理得，代入， 得到，解得； 对，由余弦定理得，代入， 得到，解得，因此， 由对勾函数性质知在上单调递减 ， 在区间内，，故在上单调递减， 因此，即. 综上，的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知 ，i为虚数单位，复数 （1）当复数 为纯虚数时，求 的值； （2）已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 因为为纯虚数，所以且， 解得. 【小问2详解】 时，. 因为是方程的一个根，所以代入得： ， ， 解得，. 16. 江苏省阜宁中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的，试估计获奖分数线（精确到0.1）； （3）估计这组样本数据的众数和中位数． 【答案】（1），平均数为 ； （2）； （3）众数为，中位数为． 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形的面积之和为1求解的值，根据平均数公式求解即可； （2）由题意可得不获奖人数占参赛总人数的，设获奖分数线为，先判断出，再由，求解即可； （3）由众数的定义求解众数，由中位的公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得； 设平均数为， 则； 【小问2详解】 因为本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的， 所以不获奖人数占参赛总人数的， 设获奖分数线为， 因为分人数占总人数的；分人数占总人数的； 分人数占总人数的；分人数占总人数的； 而，， 所以， 所以， 解得； 【小问3详解】 由众数的定义可知：此组数据的众数为; 设中位数为， 由（2）可知， 所以. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有. （1）求； （2）若的面积为=，求，； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理角化边，再使用余弦定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （3）利用三角形的内角和及得到，使用二倍角公式与两角差的余弦公式得到，利用锐角三角形的条件得到角的范围，转化为三角函数的范围求解. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式，得①， 由余弦定理知，即，得②， 由①②解得，. 【小问3详解】 因为，，所以，则，即， ， 又 ，所以， 因为为锐角三角形，， 所以，解得，则， 所以，所以， 即的取值范围是. 18. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，平面平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. 【小问3详解】 设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 19. 如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于垂心H． （1）求； （2）若点T为劣弧BHC上一动点，求的最小值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得，得到，结合，即可求解； （2）设点为的边所对的外接圆的劣弧，点为边的中点，利用向量的运算，得到，转化为只需最小，结合，即可求解； （3）根据题意，求得，由，结合圆的性质，求得，再由正弦定理，求得，，在中，利用正弦定理分别求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：在锐角中，因为，其外接圆的半径为， 由正弦定理得，可得， 所以， 又由，所以. 【小问2详解】 解：设点为的边所对的外接圆的劣弧上的一点，点为边的中点， 由题意及对称性知：， 所以要使得取得最小值，只需最小， 在圆上，由三角形三边关系知， 当且仅当三点共线时，取等号， 此时， 所以，即的最小值. 【小问3详解】 解：由（1）知：，， 因为，可得， 又因为， 由圆的性质知：， 又因为， 所以，解得， 在锐角中，，， ， ， 由正弦定理得， 所以， ， 在中，点是的垂心，可得， 在中，由正弦定理得， 可得， 同理可得， ， 所以. 20. 半径为R的球内部装有4个半径相同的小球,则小球半径r的可能最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大.因此，以四个小球球心为顶点的四面体为正四面体，该正四面体的中心（外接球球心）就是与这四个小球都相切的大球的球心，由此可得到与的关系，从而求得小球的半径的最大值. 【详解】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最大， 如图，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r,该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心, 该正四面体的高为, 该正四面体的外接球半径为x,则, 解得,所以,所以． 21. 将集合中的数从小到大排列.第100个数为_______（用数字作答）. 【答案】577 【解析】 【详解】注意到，使得的（x，y，z）组合共有个. 因为，所以，第100个数满足. 再注意到，使得的（x，y）组合共有个. 因为，所以，第100个数满足， 即第100个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $