3.1二次根式的概念及性质 同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《3.1二次根式的概念及性质》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列选项中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．等式成立的条件是（   ） A．a、b同号 B．， C．， D．， 4．已知，则化简后为（ ） A． B． C． D． 5．若，则（   ） A． B． C． D． 6．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 7．实数，在数轴上对应的位置如图，化简等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 9．若是整数，则自然数的最小值是 ． 10．在实数范围内要使成立，则的取值范围是 ． 11．是实数，，则 ． 12．已知，化简 ． 13．已知：满足关系，则的立方根是 ． 14．已知：，，，，若符合上面的规律，则的值为 ． 三、解答题 15．求使下列各式有意义的字母x的取值范围： (1)； (2)； (3)． 16．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 17．若，化简． 18．（1）已知为实数，若满足，求的值． （2）若实数、满足等式，求的算术平方根． 19．观察下列各式： ；；；； (1)根据上述式子的规律填空： ______； ______； (2)计算：； (3)请用含自然数的代数式把上述规律表示出来． 20．（1）用“”“”或“”填空： ________；________；________． （2）由（1）中各式猜想与 的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题：某农户计划用篱笆围一个面积为，高度为2m的长方形菜园，若每平方米的篱笆造价为50元，求该农户至少要花多少钱？ 参考答案 1．A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的代数式叫做二次根式，其中．根据二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，所以是二次根式，故A选项符合题意． B、，所以不是二次根式，故B选项不符合题意． C、是三次方根不是二次根式，故C选项不符合题意． D、，所以不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，不含有分母，掌握最简二次根式的概念是解题的关键；根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：，，，这三个二次根式中含有开得尽方的因数或因式，或者含有分母，故它们都不是最简二次根式， 而，符合最简二次根式的概念，是最简二次根式； 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法运算和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：除法法则． 根据二次根式除法法则的条件求解． 【详解】解：根据题意可知在分子上，在分母上，所以． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 化简二次根式为绝对值后再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意可得： 原式 ， 故选：B． 8． 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查二次根式的定义，是整数，则一定是一个完全平方数，进而确定自然数的最小值即可．理解是非负整数的条件是解题的关键． 【详解】解：∵是整数，，， ∴自然数的最小值是． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查二次根式的化简，根据化简公式可得，从而可得答案． 【详解】， ， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次根式的非负性． 根据二次根式的非负性求出，进而计算即可． 【详解】∵， ∴， 即， ∴ 故答案为： 12．1 【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 13． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：由题意可得： 解得：， 所以，， 所以，， 故的立方根为， 故答案为：． 14．109 【分析】本题主要考查的是二次根式的混合运算以及归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题． 观察所给的等式，整理得出，，，则，再结合，列式，求得的值，从而求得结论． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴以此类推，得， ∵， ∴，， ∴ 故答案为：． 15．(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． （1）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； （3）根据二次根式有意义的条件可得不等式，再解不等式即可； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∴； （3）解：∵ ∴， ∴． 16．(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把32写成，然后化简； （2）分子分母都乘以，然后化简． （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以，然后化简； （4）分子分母都乘以，然后化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 17． 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（1）；（2） 【分析】（1）由二次根式定义可得，进而得到，代入代数式求值即可得到答案； （2）由绝对值非负性、二次根式非负性及非负数之和为的条件得到、的值，代入代数式求值进而得到该数的算术平方根即可得到答案． 【详解】解：（1）已知为实数，若满足， ，且， 则； 当时，则； ； （2）实数、满足等式，且、， 且， 解得，， ， 则的算术平方根为． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件、绝对值非负性、二次根式非负性、非负数之和为的条件、算术平方根等知识，熟记二次根式有意义的条件、非负数之和为的条件、算术平方根等知识是解决问题的关键． 19．(1) ； ； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意进行计算即可； （）结合题意和（）的结论，以此类推计算即可； （）结合（）和（）的结论，归纳规律表示代数式即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴；； 故答案为： ； ； （2）解：∵； ； ； ； ∴； （3）解：∵； ； ； ； ∴． 20．（1），，（2），理由见详解（3）4800元 【分析】本题考查了平方数的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题关键，同时注意已证明结论的迁移应用． （1）将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方式的非负性对猜想进行证明即可； （3）设长方形菜园的长和宽，根据面积列出等式，再根据篱笆的周长和高度求出篱笆的面积，从而表示出总费用，最后利用（2）的结论求出费用的最小值． 【详解】解：（1）， ． ． 同理得：；． 故答案为：，，； （2）猜想：． 理由是：，， ． ； （3）由题意，设长方形菜园的长为，宽为， ∴面积 ∴总费用为 由（2）可知， ∴总费用为（元）． 答：该农户至少要花4800元． 学科网（北京）股份有限公司 $