河南济源市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以载人飞船质检、垃圾分类抽样等现实情境和正方体、三棱锥等空间模型为载体，分层考查数学抽象、逻辑推理与数据处理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|棱柱定义、抽样方法、复数方程|结合航天质检考全面调查，强化数学眼光| |多选|3/18|独立事件、复数性质、正方体线面|正四面体抛掷考事件独立性，体现逻辑思维| |填空|3/15|直观图周长、命中率、向量分解|斜二测画法还原周长，注重空间观念| |解答|5/77|圆锥表面积体积、概率样本空间、频率分布直方图、三棱锥面面垂直|分层抽样结合频率分布直方图分析成绩，突出数据语言表达；三棱锥体积与二面角综合，深化空间推理|

2025-2026学年下期期末学业质量调研 高一数学 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后, 将答题卡交回。 一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1. 等于 A. B. 0 C. D. 2. 下列四个选项中正确的是 A. 有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B. 棱长都相等的直四棱柱是正方体 C. 棱台的侧棱延长后交于同一点 D. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 3. 有以下说法:①对某载人飞船的零部件的质量检查适用全面调查. ②检查一条河流的水质情况适用抽样调查. ③某班共 45 名同学, 指定个子最高的 5 名同学参加某项活动用的是简单随机抽样. ④某人工智能公司为训练垃圾分类识别模型, 需对采集的一批图片进行人工标注, 图片分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类,已知四类图片的数量之比为 , 现按类别分层,采用分层抽样的方法抽取容量为 的样本对标注情况进行抽检,若抽到的厨余垃圾图片比有害垃圾图片多25 张,则 . 这些说法,正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知 是方程 的一个根,则 A. B. C. -2 D. 2 5. 已知两条不同的直线 及两个不同的平面 ,下列条件中,一定能推出 的是 A. B. C. D. 6. 已知向量 ,若 ,则 A. 2 B. -2 C. 18 D. -18 7. 某同学连续投掷一颗质地均匀的正方体骰子 5 次,记正面朝上的点数为 ,则 的取值一定不会出现 6 的是 A. 平均数为 3 , 中位数为 3 B. 众数为 2 , 中位数为 3 C. 平均数为 2 , 方差为 3 D. 中位数为 3 , 方差为 3.6 8. 如图, 是由 3 个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形,若 ,则下列结论错误的是 A. B. C. 与 夹角的余弦值为 D. 二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 在一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4. 连续抛掷这个正四面体两次, 并记录每次正四面体朝下的面上的数字,记事件 为 “两次记录的数字之和为奇数”,事件 为 “第一次记录的数字为奇数”,事件 为“第二次记录的数字为偶数”,则下列结论正确的是 A. 事件 与事件 是相互独立事件 B. C. 事件 与事件 是互斥事件 D. 10. 若复数 ,则 A. B. 在复平面内 对应的点位于第二象限 C. D. 是纯虚数 11. 在棱长为 2 的正方体 中, 分别为棱 的中点,过点 做与直线 垂直的平面 ,则下列说法正确的是 A. 点 到平面 的距离为 B. 直线 与 所成的角为 C. 三棱锥 的外接球的表面积为 D. 平面 截正方体所得截面多边形的面积为 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 12. 如右图, 是 的直观图 (斜二测题法). 其中 在 轴上,且 轴. . ,则 的周长为_. 13. 某篮球队员在比赛中每次持球的命中拿稻网、且在两次阗球中至多命中一次的概率为 ,则该队员每次符球的命中率为_. 14. 已知 是 内的一点, , , , ,则 _;若 ,则 _. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13 分) 如图,圆锥的底面半径 ,母线长为 5。 (1)求圆锥的表面积和体积; (2)过 的中点 作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个最大的圆柱. 求剩下的几何体的体积和表面积. 16.(15分) 在不透明的甲盒子里装有标号为 1,2 的两个红球和标号为 3,4,5 的三个白球, 在不透明的乙盒子里装有标号为 6,7 的两个红球和标号为 8,9 的两个白球. 现从甲、乙两个盒子中各随机取出 1 个球. 每个球被取出的可能性相等. (1)写出试验的样本空间; (2)求取出的 2 个球刚色相同的概率; (3)求取出的 2 个球中至少有 1 个红球的概率。 17. (15 分) 用分层随机抽样从某地高一年级 5200 名学生的体育测试成绩(满分为 100 分)中抽取一个样本量为 100 的样本, 其中男生成绩数据 40 个, 女生成绩数据 60 个. 再将 40 个男生成绩样本数据分为 6 组: ,绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)求 的值并估计男生成绩样本数据的上四分位数; (2)若成绩不低于 80 分的为“优秀”成绩,用样本的频率分布估计总体,估计高一年级男生中成绩优秀人数; (3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为 71 和 194, 女生成绩样本数据的平均数和方差分别为 73.5 和 109. 求总样本的平均数和方差. 18.(17分) 锐角 的内角 的对边分别为 ,已知 为 边的中点. (1)求 ; (2)若 ; (i) 求 的周长的取值范围; (ii)设点 在边 上 (含端点),当 的周长最大时,求 的最小值. 19. (17 分) 如图,在三棱锥 中, 为 的中点,平面 平面 , ,三棱锥 的体积为 . 分别是直线 上一点,且 平面 ,记平面 平面 . (1)证明:平面 平面 ; (2)求二面角 的平面角的正弦值; (3)若 与 所成角的余弦值为 ,求 的值. 学科网(北京)股份有限公司 $ 2025—2026学年下期期末学业质量调研 高一数学参考答案 一、单选题： 1---8 ACCBD BCD 二、多选题： 9．AB 10．BCD 11．ACD 三、填空题： 12． 12 13． 14． 四、解答题： 15.(1)解:设圆锥的高为h，由题意得：．所以． 所以圆锥侧面积，圆锥的底面积， 所以圆锥的表面积；圆锥的体积为． (2)圆柱的底面半径为，高（母线）为,所以圆柱的体积为 又圆锥的体积为，所以剩下几何体的体积为； 因为，圆锥的表面积； 所以剩下几何体的表面积 16．解：（1）用表示抽取小球的所有结果（其中x，y分别为从甲、乙盒子抽到的小球标号），则 ． （2）设事件A=“取出的2个球颜色相同”， 则事件， ， 所以． （3） 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2， 则，， “2个球至少有一个红球”的概率为． 17．解：（1）因为，所以． 在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此上四分位数一定在内．设为x,则，解得， 所以估计上四分位数约为82． （2）成绩不低于80分的频率为， 所以高一年级男生中成绩优秀人数估计为：， 所以估计高一年级男生中成绩优秀人数为1560人． （3）设男生成绩样本平均数为，方差为，女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和144.5． 18． 解：（1）因为.所以. 在中，因为，所以． 代入上式化简得：sinC． 因为，所以，即．因为A为锐角，所以． （2）（i）由正弦定理得． 所以 ． 因为是锐角三角形，所以． 所以，所以．即, 所以 ． 所以周长的取值范围为． （ii）当三角形周长最大时，三角形为等边三角形，以所在直线为轴， 过垂直于的直线为轴，建立直角坐标系． 由题意可知，设， 则所以． 当时，取最小值． 所以的最小值是． 19．解：（1）如图，过作，垂足为． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，为中点，所以． 因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． （2）因为平面，平面，所以． 因为，所以为二面角的平面角．因为三棱锥的体积为， 所以，解得． 所以二面角的正弦值为． （3） 因为平面，平面，平面平面， 所以，故与所成角等于与所成角． 由（2）知，所以． 由题意得，． ①如图，当在线段上时， 因为，， 所以 ． 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，故． ②如图，当在线段的延长线上时， 因为，， 所以， 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，． 综上得，或． ( 高一数学答案第 1 页（共 4页 ） ) 学科网（北京）股份有限公司 $