河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（A版）

高一数学参考答案、提示及评分细则 1.C:日得带--4计i则=4就放选C 2 2.D因为a∥b,所以(-2)×(x十4)-1×4=0，解得x=-6.故选D 3.A由统计表可知，共抽取了50名学生，每周使用手机的时长少于8小时有15人，所以随机抽取1名学生，其每周使用 手机的时长少于8小时的概率为品-0.放选A 4.A设该圆锥的底面圆半径为r,则高h=r,母线l=√2r,因为侧面积为42π，所以√2π产2=4√2π，解得r=2,所以圆锥 的体积V-了xh=经放选A 5.B当a∩B-l,mCa,nCB,m⊥l,m⊥n时，若l∥n,则不能推出m⊥，则不能进一步推出a⊥3，充分性不成立；当a∩B- l,mCa,C3,mLl,a⊥3时，由面面垂直的性质可得mLB,再由线面垂直的性质可得m⊥n,必要性成立.故选B. 6.D由余弦定理，得a2=16十c2-2×4cosA=c2-23c+16,所以c2-23c十16-a2=0,由题意可知该三角形有两解， 4=(-25)2-4(16-a2)>0, 所以关于c的一元二次方程有两个正实根，所以G十c2=2√5>0， 解得√13<a<4.故选D. lGc2=16-a2>0, 7.C设2个白球为a1,2,3个黑球为b,b2,b,则样本空间2={(a1,a2),(a1,b),(a,b),(a1,b),(a2,a),(a2,b), (a2,b2),(a2,b3),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,a),(b2,a2),(b2,b1),(b2,b3),(b3,a1),(b3,a2),(b3,b), (b,b2)},共20个基本事件.事件A={(a,a2),(a2,a1),(b,b2),(b,b3),(b2,b),(b2,b),(b,b),(b,b2)},共8个基 本事件：事件B={(b1,a),(b,a2),(b1,b2),(b1,b3),(b2,a1),(b2,2),(b2,b),(b2,b),(b3,a),(b3,a2),(b3,b), (b,b2)},共12个基本事件：事件C={(a1,a2),(a2,a),(b,a),(b,a2),(b2,a1),(b2,a2),(b,a),(b,a2)},共8个 基本事件：事件D={(a1,b),(a,b2),(a,b)(a2,b),(a2,b),(a2,b),(b,a),(b,a2),(b2,a),(b,a2）,(b,a), (b,a2)},共12个基本事件.因为A∩D=⑦，AUD=2,所以事件A与D对立，A正确：BC={(b,a),(b,a2), a,(,e),(:a)(,)小，共6个基本事作，所以P(BC=员=是B正确：CD 《a,a),a,a),(6,a,a),共6个基本事件，所以P(CD)=高又PC=景=号P(D) 号-号，PCD)≠P(CPD),C与D不相互孩立，C错误：PBUO=P(B)+PO-P(0)=号+号-是-， D正确.故选C. &.A因为弯，亮分别表示市与衣方向上的单位向量.所以向量变十二所在直线与∠MC的平分线重 1ABI'ACI IABI IACI 【高一数学参考答案第1页（共6页）】 HN 合，汉需斋胶6即需+斋与垂红，线合可如，AB y AC,如图，取BC的中点E,连接AE,则AE⊥BC,又AI2=(AB+AC)2=(A +2AB·AC+AC)=(A-2A店·AC+AC+4A店，AO=[(A店-AC)+ D 4A店·AC-子(C序+4A访.ACO)=子(2+32)=9，所以AE=3.以E为坐标原点， B E BC为x轴建立直角坐标系，则B-1,0),C(1,0),A(0,3)则BA=(1,3),C市=(-2,0)，则Bd=ABA=(A,3A),C市 C+Bi=(-2.0)+a,3x)=(X-2,3n),B筋.C市=x(a-2)+(3x)2=10x-2x=10(A-0）°-0，当0≤A<1 时，1o(x-六)-∈[-品8]，即励.Cd的取值范围为[一08]故选A 9.ACDz=2-i在复平面内对应的点为(2，一1)，位于第四象限，A正确；2=(2-i)2=3-4i,B错误；之-3+2i= |-1+i=√2，C正确：将=2-i代入方程，得(2-i)2一4(2-i)+5=0,D正确.故选ACD. 10.BD若1=8，则b=4飞，A错误；新数据中最大的数为3x,十，最小的数为3x十元，则新数据的极差为3x十元 2 (30十2)=3(x,一)=3a,B正确：设新数据的平均数为，则J=(3十x+3m十x+十3a十2)=（3mx+ 7)=4,C错误：设新数据的方差为，则号=[(30十7-4红)十(3a十x-4)+十(3x,十文-4z)]= [(3-3)+(3-3x)+…十(3x一3x)门=号[一2)+（-2)++(-z)门=9D正确放 选BD. 1.AC对于A.由题意，球O的半径为区-厅，则球O的休积为号x(后)=4Ex,A正确： 2 对于B,如图1，取BC中点G,连接EG,FG,因为E为AD中点，所以EG∥AB,又EG过平面ABCD,ABC平面 ABCD,所以EG∥平面ABCD,同理，EF∥平面ABCD,又EF∩EG=E,EF,EGC平面EFG,所以平面EFG∥平 面ABCD,当P在线段EG上运动时，易得FP∥平面ABCD,,即点P的轨迹为线段EG,长度为2，B错误； D D B C M 图1 图2 对于C,如图2，连接BE,由正方体的性质，易得BB⊥平面ABCD,因为CPC平面ABCD,所以BB⊥CP,又BE⊥ 【高一数学参考答案第2页（共6页）】 HN CP,BE∩BB=B1,BE,BB1C平面BEB,所以CP⊥平面BEB,因为BEC平面BEB,所以BE⊥CP,取AB的中 点M,连接CM,CM与BE相交于点N,易得△ABE≌△BCM,所以∠NMB+∠NBM=∠CMB+∠BCM=90°，即BE ⊥CM,当P在线段CM上运动时，BE⊥CP,即点P的轨迹为线段CM,长度为5，C正确： 对于D,如图3，延长EF,分别与直线AA,A,D,交于点K,T,连接B1K交AB于H, D 连接B,T交D1C于I,则过点E,F,B的平面截正方体所得的截面为五边形 B B HEFI,因为平面ABCD∥平面ABCD,平面ABCD∩平面EFB=EH,平面 F ABCD∩平面EFB,=B,T,所以EH∥B,T,易得△HKE∽△B1KT,易知AK=1, 能部号密号所以5x=号s同理，S5m号5m又BK H =月T=.kT=3E,5m=立X3E×√(B)-(要T=平 图3 S五边形B,HBFI=S△B,KT一S△H张一S△FT= Ss-7严，D错误枚选AC 6 1500 12.100女生应抽取的人数为240×300+1800+1500-10. 13.133 14 取AC的中点为O,连接OM,则OM∥AB,OM=1,所以∠PMO即为异面直 线AB与PM所成的角（或其补角）.PO=√PA-OA=√(22)-(5)=√5， PM=√PB-BMF=√(22)2-卫=7，cos∠PM0=PM+OM-P0_3E 2PMXOM ,所A 以sin∠PMO=33 14 14号 由正孩定理及如结C兰。得空乌所以-仿=所以十-=一2公，由余致定理得omC 4十C=一名所以cosC三部含，所以sin Beosc一mA=一in(B叶sin Beos C=cos Bsin C,整理 2ab 得2 sin Bcos C=-cos Bsin C,显然C为钝角，cosB≠0，cosC≠0，两边同除以cos Bcos C,得2tanB=-tanC,所以 tmA=-an(B+O=-mC=十B万又B为锐角，则mB>0所以mA= tan B tan B 1+2tan B 2出日仅当第=2tanB,即tanB=2时取等号. tan B+-2tan B 2 tan BX2tan B 15.解：(1)设c=a+b(m,n∈R), 则-3e+2e2=m(3e1-4e)+n(e1+2e2)=(3m十n)e十（-4m十2n)e2,…3分 3m+n=-3, m=-4 所以 解得 即c= 4 5a- 30 …7分 5 -4m+2=2, 3 n= 5 【高一数学参考答案第3页（共6页）】 HN (2)a+b=(3e1-4e2)+(e1+2e2)=4e1-2e2,… …8分 因为(a+b)·c=-9,所以(4e-2e)·(-3e+2e2)=-12|e|2+14e·e2-4|e2|2=-9, 即-12+14e·e2-4=-9,解得e1·e2=2, …11分 设6与e的夹角为，则ms0日。-号又9E[0,,所以0=音 13分 16.解：1)设事件A为甲答对第道题”，i=12,3,则P(A)=号，PA)=7,P(A)=子， 设事件A为“甲进人面试环节”，则A=AA2A, …2分 所以P(A)=PA)P(A)P(A)-号×2×3- …5分 (2)设事件B为乙答对第i道题”，i=1,23,则PB)=P(B)=P(B)=司， 设事件B为“乙进人面试环节”，则B=BB2Bg,…7分 则P(B)=P(B)P(B)P(B)=合×号X2=g,P(B)=1-P(B)=1-日-名， …10分 由(1D知P(A)=0,所以P(A)=1-P(A)-号 10' …11分 由题意可知，事件A,B相互独立，事件A,B相互独立， 设事件C为“甲、乙两人恰有一人进人面试环节”，则C=ABUAB,… …12分 所以P(CO=PAB)+P(aB)=PAPB)+PA)P(B)=bX号+品X号=吉 …15分 17.解：(1)由题意，10×(2a十0.015十0.020+0.025+0.030)=1，解得a=0.005. …3分 (2)设参赛者成绩的85%分位数为t, 由图知成绩在[40,80)内的频率为0.7，成绩在[40,90)内的频率为0.95，所以t在[80,90)内，…5分 所以0.7+(1-80)×0.025=0.85，解得t=86.…. …8分 (3)成绩在[80,90)内的人数为0.25×200=50，成绩在[90,100]内的人数为0.05×200=10， 所以这两组数据合并后的平均数云一00×87十090×93=63，… …11分 50 10 方差=50十06.2+(87-88)2门十50十0[9.2+(93-88)2门=11.7.… 15分 18.(1)sin2A-sin Asin B=cos2B-cos2 C=(1-sin2 B)-(1-sin2C)=sin2C-sin2 B, 由正弦定理，得a2一ab=c2-,即a2十6一c2=ab,… …3分 由余玻定理，得0sC-+。兰-鼎合 2ab 又0C元，所以C王.… …5分 (2)因为CD为角C的平分线，可得∠ACD=∠BCD-若， 因为S△AC=S△AD十S△D,且CD=2, 【高一数学参考答案第4页（共6页）】 HN 所以2asin号-3 bXCDXsin-吾+2 aXCDXsin晋，所W以5ah=2a+b),① …7分 由(1)知c2=a2+b2-ab,所以9=(a+b)2-3ab,②… …8分 联立①②，解得a十b=3√/5或a十b=-√5（舍去）， 所以△ABC的周长为a十b十c=3√5+3.… …10分 (3因为0为△ABC的内心C=音，所以∠A0B=号，设∠BA0-0∠0BA=号-0…11分 在△ABO中，由正弦定理得sin/AOB sin/OAB sin∠ABO:即3。、} BO AO BO AO =23, 2x sin 0 sin(0) 所以B0=25sin0,A0=2/5sim(号-0)，. 12分 所以，SaAm=专XA0xOn∠A0B=3/6snn(告-0）=号sns0-3号mr0 -m20+29s20-3-9n(9+）3 …………………………………………………………………………… 4 4 14分 0<20<受， 因为C=受，△ABC为锐角三角形，所以 即登<K， 15分 0<-20受 所以肾<29+吾<经，即号<sn(0+吾)31，则号-3<39n(29+吾）5<35， 3 4 2 4 49 所以△AB0的面积的取值范图为（号-3,3 17分 19.解：(1)连接CA交BD于点N,连接MN, 因为PA∥平面BDM,PAC平面PAC,平面BDM∩平面PAC=MN, 所以PA∥MN, 所以器》 …2分 因为AD/BC,-AD.所以X%-合，所以含CN子， 所以兴子 …4分 (2)取AD的中点O,连接PO,CO,过M作ME∥PO,ME与CO交于点E,过E 作EF⊥AB,垂足为F,连接MF,过E作EG⊥FM,垂足为G 因为△PAD是边长为4的等边三角形，所以PO⊥AD,PO=23, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 0 所以PO⊥平面ABCD, 所以ME⊥平面ABCD,又ABC平面ABCD,所以ME⊥AB, 因为EF⊥AB,ME∩EF=E,ME,EFC平面MEF,所以AB⊥平面MEF, 【高一数学参考答案第5页（共6页）】 HN 因为EGC平面MEF,所以AB⊥EG, 又AB∩FM=F,AB,FMC平面ABM,所以EG⊥平面ABM,…7分 因为6器号，所以ME=号P0,所以MF=EF+E√2+(-2 3 EG=M匹xEF43247 MF …8分 22I 7· 3 由题易知AO=BC,AO∥BC,所以四边形ABCO是平行四边形，所以CO∥AB, 又CO过平面ABM,ABC平面ABM,所以CO∥平面ABM, 所以点C到平面ABM的距离与点E到平面ABM的距离相等， 又PM=2CM,所以点P到平面ABM的距离为点C到平面ABM的距离的2， 即点P到平面ABM的距离为BG2只 7 10分 (3)取AD的中点O,连接CO,设CO与BD交于点I,过M作ME∥PO,ME与 CO交于点E,过E作EH⊥BD,垂足为H,连接MH, 由(2)知，ME⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD,所以ME⊥BD, 因为EH,MEC平面MEH,EH∩ME=E,所以BD⊥平面MEH,又MHC平面 MEH,所以BD⊥MH, 所以∠MHE为二面角M-BD-C的平面角或二面角M-BD-A的平面角， 即0=∠MHE,或0=x-∠MHE,所以sin0=sin∠MHE. …12分 因为器，所以ME=P0=2Bx.CE=X00-4 当点E在线段IO上时，IE=CE-CI=4一2， 2 为sn∠0ID900PODy2吃，所以EH=mZoD=E2 所以MH=√E+ME=√2(2λ-1)2+(231)=√202-8入+2， 23λ √6 6 所以sin∠MHE=M元/2oa2-8a+2 √10+京(-2)+6 当点E在线段IC上时，同理可得sin∠MHE √6 …15分 √-2)+6 5e小可不c 6 即me[g1] …17分 【高一数学参考答案第6页（共6页）】 HN高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第3节一第十章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数x=二则x的共轭复数云= A.3-4i B.3+4i C.4-3i D.4+3i 2.已知向量a=(一2,1)，b=(4,x十4)，若a∥b,则实数x= A.4 B.-2 C.-3 D.-6 3.长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能.某中学为了解学生使用手机的情况，随机 抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 C0,4) C4,8) C8,12) C12,16) [16,20] 学生人数 11 15 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为 A.0.3 B.0.22 C.0.15 D.0.08 4.已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为4√2π，则该圆锥的体积为 A号 Blom C.8π D.82π 5.已知a,B是不同的平面，m,n,l是不同的直线，若a∩B=l,mCa,nCβ，mLL,则“m⊥n”是“a⊥的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6,在△ABC中，角A,B,C的对边分别为abc,若满足b=4,cosA=5的△ABC有两个，则a的取值范 围为 A.(0,√13) B.(2√3,4) C.(23,+o∞) D.(13,4) 【高一数学第1页（共4页）】 HN CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件A=“取 出的2个球同色”，事件B=“第一次取出的是黑球”，事件C=“第二次取出的是白球”，事件D=“取出 的2个球不同色”，则下列结论错误的是 A.A与D对立 B.P(BC) C.C与D相互独立 D.P(BUC)- 8在△ABC中，BC-2.(霜十能)·t=0,且店.花=8，点D满足肺=A动(0≤A≤1，则 AB AC B).CD的取值范围为 A[-08] B.[0,8] c[-g4 D[品町 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z=2一i,则 A之在复平面内对应的点位于第四象限 B.z2=5-4i C.|x-3+2il=2 D.z是关于x的方程x2一4x十5=0的一个根 10.已知一组从小到大排列的数据，x2,x,…,xn的平均数为，方差为52，极差为a,中位数为6.由这 组数据得到一组新数据y1,y2,为，…，yn,其中y=3x十(i=1,2,3,…,n),则 A若n=8,则b=十x B.新数据的极差为3a 2 C.新数据的平均数为3元 D.新数据的方差为92 11.如图，正方体ABCD-A1B,CD1的棱长为2，E,F分别是棱AD,DD1的中点，点P是正方形ABCD 内一动点（含边界），则下列结论正确的是 C A若该正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的体积为4√3π R B.若FP∥平面ABCD,则点P的轨迹长度是2 C.若BE⊥CP,则点P的轨迹长度为⑤ 0 D.过点E,F,B的平面截正方体所得的截面图形的面积为 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2026年美加墨世界杯于北京时间2026年6月12日开幕，参赛球队首次从32支扩军至48支.某校有 老师300人，男学生1800人，女学生1500人，为了解师生对该届世界杯的评价，现用按比例分配的 分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则女生应抽取 人 13.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,AC=2W3,PA=PB=PC=2√2，M是BC的中点，则异面直线 AB与PM所成角的正弦值为 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为ab,c若血B时0C=。,则amA的最大值为 sin A 【高一数学第2页（共4页）】 HN CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知e1,e2是两个不共线的单位向量，且a=3e1一4e2,b=e1十2e2,c=一3e1十2e2. (1)用a,b表示c; (2)若(a+b)·c=一9，求e1与e2的夹角. 16.(本小题满分15分) 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有3道题，这3道题都解答正确才能 进人面试环节，已知甲答对这3道题的概率依次为号，分，号，乙答对每道题的概率均为分，且甲，乙两 人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进人面试环节也互不影响， (1)求甲进人面试环节的概率； (2)求甲、乙两人中恰有一人进人面试环节的概率. 17.(本小题满分15分) 某校举办益智类答题比赛，对报名参加初赛的学生进行了选拔性测试，为了解参赛者的成绩情况，随 机抽取了200名学生的成绩（满分100分），按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. 频串 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 V405060708090100成绩/分 (1)求图中a的值； (2)请根据直方图估计参赛者成绩的85%分位数； (3)已知样本数据落在[80,90)的平均数是87，方差是6.2，落在[90,100]的平均数是93，方差是9.2， 求这两组数据合并后的平均数元和方差s2. 【高一数学第3页（共4页）】 HN CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3,且sin2A-sin Asin B=cos2B-cos2C (1)求C; (2)若角C的平分线交AB于D,CD=2,求△ABC的周长； (3)若△ABC为锐角三角形，O为△ABC的内心，求△ABO的面积的取值范围. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD,△PAD是边长为4的等边三角形， AD,∥BC,AB1BC,BC=合AB=号AD,M是棱CP上的点，且器-X,AE(0,1). (1)若PA∥平面BDM,求λ的值； (2)若A=号，求点P到平面MAB的距离， (3)若A∈[号，号]，设二面角M-BD-C的大小为8，求sin9的取值 范围。 RG- 【高一数学第4页（共4页）】 HN CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP