2026-2027学年高一上学期人教A版数学必修第一册课时分组练习：3.2.1.1分段函数及其应用

**基本信息** 分段函数及其应用同步练，分A组基础训练（5题）、B组拔高提升（4题），分层梯度清晰，从概念理解到综合应用，培养数学抽象、推理与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础训练|基础概念（求值、定义域值域）、简单应用（图像绘制、水费问题）|新定义符号函数（数学抽象）、图像与实际问题结合（几何直观）| |B组拔高提升|综合应用（图像解析式、分段函数方程）、拓展探究（不等式解集、几何动态问题）|多分段情境推理（逻辑推理）、几何动态建模（数学建模）|

3.2.1.1分段函数及其应用 A组基础训练 1．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　) A． B．3 C． D． 2．(新定义)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　) A　　　　B　　　 　C　 　　D 3．若函数f(x)＝则f(x)的定义域为　　　　，值域为　　　　. 4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水量超过10 m3的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月的用水量为　　　　m3. 5．已知函数f(x)＝ (1)画出函数f(x)的图象； (2)当f(x)≥2时，求实数x的取值范围． B组 拔高提升 1．如图所示的图象对应的函数的解析式为(　　) A．y＝|x－1|(0≤x≤2) B．y＝－|x－1|(0≤x≤2) C．y＝－|x－1|(0≤x≤2) D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2) 2．设函数f(x)＝若f(a)＝f(a＋2)，则f＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＋f(x－1)<3的解集为　　　. 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发沿A→B→C→D的路线移动．设点P移动的路线长为x，△PAD的面积为y. (1)写出y关于x的函数解析式． (2)当x＝4和x＝18时，求函数值y. (3)当x取何值时，y＝20？请说明此时点P在矩形的哪条边上． 3.2.1.1分段函数及其应用 A组基础训练 1．D　解析：因为f(3)＝<1，所以f(f(3))＝f＝2＋1＝. 2．C　解析：由题意知f(x)＝ 则f(x)的图象为C中图象所示． 3． (－∞，0)∪(0，＋∞)　(－1，＋∞)　解析：定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>－1，所以值域为(－1，＋∞)． 4． 13　解析：设该单位职工每月应缴水费为y元，实际用水量为x m3，则满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13. 5．解：(1)因为f(x)＝所以f(x)的图象如图所示． (2)由题可得或或 解得x≤－或0<x≤或x≥7， 所以实数x的取值范围为(－∞，－]∪∪[7，＋∞)． B组 拔高提升 1．B　解析：当0≤x≤1时，设y＝kx，由题图知过点，得k＝，所以y＝x，0≤x≤1； 当1<x≤2时，设y＝mx＋n，由题图知过点，(2，0)，代入得解得所以y＝－x＋3，1<x≤2. 故函数的解析式为y＝－|x－1|(0≤x≤2)．故选B． 2．B　解析：若0＜a＜2，则a＋2＞2. 由f(a)＝f(a＋2)，得＝2(a＋2)－4，解得a＝或a＝0(舍去)． 所以f＝f(4)＝2×4－4＝4. 若a≥2，则a＋2≥4. 由f(a)＝f(a＋2)，得2a－4＝2(a＋2)－4，无解． 综上，f＝4.故选B． 3． 　解析：当x≤1时，x－1≤0，f(x)＋f(x－1)＝2x＋2(x－1)＝4x－2<3，得x<，所以x≤1；当1<x≤2时，x－1≤1，f(x)＋f(x－1)＝3x－1＋2(x－1)＝5x－3<3，得x<，所以1<x<；当x>2时，x－1>1，f(x)＋f(x－1)＝3x－1＋3(x－1)－1＝6x－5<3，得x<，所以无解．综上所述，不等式f(x)＋f(x－1)<3的解集为. 4． 解：(1)当点P在线段AB上运动时， AP＝x. 根据三角形的面积公式可得y＝·AD·AP＝×8×x＝4x； 当点P在线段BC上运动时，面积不变，y＝·AD·AB＝×8×6＝24； 当点P在线段CD上运动时，DP＝6＋8＋6－x＝20－x，AD＝8. 根据三角形的面积公式可得y＝·AD·DP＝×8×(20－x)＝80－4x. 所以y与x之间的函数关系式为y＝ (2)当x＝4时，y＝4x＝4×4＝16； 当x＝18时，y＝80－4×18＝8. (3)由y＝4x＝20，解得x＝5，此时点P在线段AB上； 由y＝80－4x＝20，解得x＝15，此时点P在线段CD上． 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $