3.1.2 函数的表示方法（9个题型归纳）讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.1.2 函数的表示方法】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的表示方法 __解析法____：用代数式表达y与x关系，优点：便于计算、研究性质； __图象法____：平面直角坐标系中曲线 / 折线，优点：直观看出增减、最值； __列表法___：表格罗列x、y对应值，优点：直接读取对应数值. 2．函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. _待定系数法_____：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； __换元法____：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； __配凑法____：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； __方程组法____：含与等式，联立方程消元求解. 3．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有___不同的对应方式___，则称其为分段函数． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：已知函数类型求解析式】 【练方法】 公式结论 1.一次函数：设，代入两组列方程组解$k、b$ 2.二次函数三种常设形式 ①一般式： ②顶点式：，为顶点坐标 ③交点式：，为函数零点 3.反比例函数：设，代入一组点求 方法技巧 1.已知顶点优先设顶点式已知与轴交点优先设交点式普通两点用一般式 2.待定系数核心：函数图像上点坐标全部满足解析式 3.解出系数后代回原式代入已知点验算等式成立 易错提醒 1.设二次函数遗漏限制 2.顶点式展开配方时常数符号计算出错 3.漏写导致一次、反比例函数变为常数函数 （23-24高一上·全国·课后作业）已知函数是一次函数，若，则______．经典例题1例题 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________．小试牛刀1 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． （24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则______.小试牛刀2 【答案】 【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. （24-25高一上·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________小试牛刀3 【答案】 【分析】设，待定系数法求解. 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【题型2：配凑法求函数解析式】 【练方法】 公式结论 1.已知，将右侧整体配凑成只含的代数式，直接替换得到 2.示例：，配凑为，得 3.配凑完成后同步确定新自变量取值范围，即的值域为定义域 方法技巧 1.观察左右两侧整体结构，把含的复合整体当作统一单元变形 2.平方、分式、根式类优先恒等变形凑出内层完整整体 3.配凑结束必须同步写出定义域，避免定义域缺失 易错提醒 1.配凑变形时符号、常数项计算出错 2.配凑后忽略复合内层的值域，直接默认自变量可取全体实数 若函数，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式. 【详解】，所以． 故选：D. （2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________．小试牛刀1 【答案】， 【分析】利用配凑法求抽象函数解析式即可． 【详解】，且， 所以，． 故答案为：，． （25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________.小试牛刀2 【答案】， 【分析】把看成一个整体，用配凑方法化简即可得出结果，再利用基本不等式求出定义域范围即可. 【详解】因为，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，. 故答案为：，. （25-26高一上·湖北襄阳·期中）若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】利用换元法求得解析式为，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 【题型3：换元法求函数解析式】 【练方法】 公式结论 1.已知，令，解出，代入右侧得 2.取值范围等于的值域，即为的定义域 3.最后统一替换字母，把改写为 方法技巧 1.内层为一次式优先换元，根式、分式复合函数换元简化结构 2.换元第一步立刻标注的取值范围，锁定新函数定义域 3.代回化简后整理成标准多项式/分式形式 易错提醒 1.换元后不写取值范围，丢失定义域限制 2.反解时变形出错，代入后解析式化简错误 3.最后忘记把换回，解析式自变量不统一 已知函数，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． （25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________.小试牛刀1 【答案】， 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 已知，求函数的解析式.小试牛刀2 【答案】， 【分析】用换元法即可求得解析式. 【详解】设，， ， ，， ，. （25-26高三·全国·一轮复习）若函数满足，求函数的解析式.小试牛刀3 【答案】 【分析】利用换元法求函数的解析式即可. 【详解】由题意，令，则，得，故. 【题型4：方程组法求函数解析式】 【练方法】 公式结论 1.核心适用：含与、与的对称复合等式 2.步骤：用或替换原式中全部，得到第二个方程，联立二元方程组消元解 3.例：已知，替换得，联立消去求 方法技巧 1.观察自变量对称结构，确定替换的形式（或） 2.联立二元一次方程组，采用加减消元法消去辅助函数 3.化简完成后标注函数定义域 易错提醒 1.替换时只替换部分项，漏换全部自变量 2.联立方程消元时系数、符号计算出错 3.混淆与，消元目标函数错误 （25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式．经典例题1例题 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． （25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． （25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______小试牛刀2 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式.小试牛刀3 【答案】 【分析】将已知式子中的换成，利用方程组法即可求得答案. 【详解】将已知式子中的换成得， 所以，消去得， 所以的解析式为. 【题型5：分段函数的求值】 【练方法】 公式结论 分段函数标准形式 1.给定，先判断所属区间，再代入对应计算 2.复合求值：由内向外分步，先算内层函数值，再判断内层结果所属区间代入外层 方法技巧 1.求值第一步先定位自变量对应的分段区间，严禁跨段代入解析式 2.多层复合分层计算，每一步都重新判断所属区间 3.端点同时属于两段时，两段解析式计算结果必须相等 易错提醒 1.自变量代错分段区间表达式 2.复合求值顺序颠倒，由外向内计算 3.区间端点分段解析式取值不相等，出现函数间断矛盾 （25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______.经典例题1例题 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. （25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则____________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算； 【详解】由题意可得：. （25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ）小试牛刀2 A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. （24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ）小试牛刀3 A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． 【题型6：分段函数的性质及其应用】 （25-26高二下·广东广州·期末）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的解析式，然后根据，分情况讨论求出对应的的范围即可. 【详解】因为函数， 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 当且时，. 解不等式组得，； 所以， ①当 时，， 若 ，即 ，则 ，不等式 恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意， 所以 符合题意； ②当 时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当 时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． （25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. （25-26高一下·江苏南京·开学考试）已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域要求，分四种情况分别讨论即可. 【详解】情况1: ，则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况2: ，则， 所以方程即为，所以， 两边平方得，值域为； 情况3: ，当 时，由于 ，则 ， 则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况4: ，不可能，因. 综上，a的取值范围是. （25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ）小试牛刀3 A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】分类讨论求分段函数值解方程即可求解. 【详解】第一种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第二种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第三种情况：时,,, ,, 故选：B. 【题型7：画出具体函数的图像】 【练方法】 公式结论 1.描点法通用步骤：确定定义域→选取关键点（顶点、零点、端点、极值点）→计算对应函数值→描点平滑连线 2.基础函数标准图像特征 一次函数：直线；二次函数：抛物线；反比例函数：双曲线；根式函数：半支曲线 方法技巧 1.优先标出零点、顶点、定义域边界端点、与坐标轴交点四类关键点 2.分段函数分段绘制，区间空心圈表示取不到端点，实心点表示可取端点 3.标注坐标轴、函数解析式、关键点坐标，区分实线与虚线 易错提醒 1.区间端点虚实点标记错误，取不到值画实心点 2.忽略定义域限制，画出超出取值范围的延伸图像 3.二次抛物线顶点开口方向绘制颠倒 （25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为经典例题1例题 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. （25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数．小试牛刀1 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知函数小试牛刀2 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【答案】(1)， (2)或4 (3)作图见解析，值域为 【分析】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图象，数形结合即可求出值域． 【详解】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． （25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数，记为它们中的最小者，则函数的大致图象是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先明确的性质，根据表达式画图象，再利用分段函数求解. 【详解】将，画在同一个直角坐标系中， 由函数的定义，取三个函数中的最小者，可得图象. 故选：A 【题型8：图像法表示函数】 【练方法】 公式结论 1.图像判定标准（竖线法则）：任意垂直轴的直线与图像最多只有一个交点 2.由图像求定义域：图像所有点横坐标取值范围；值域：图像所有点纵坐标取值范围 3.图像读取函数值：过作垂直轴直线，交点纵坐标即为 方法技巧 1.求定义域看图像最左、最右横坐标；求值域看图像最高、最低纵坐标 2.求零点找图像与轴交点横坐标 3.判断增减性从左向右观察图像上升、下降趋势 易错提醒 1.竖线与图像出现两个及以上交点仍判定为函数图像 2.读取值域时遗漏图像最高点、最低点边界 3.忽略空心端点，误将取不到的数值划入定义域、值域 如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 因此 由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数，故A选项符合. （25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.小试牛刀1    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. （25-26高一上·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足. （25-26高一上·山东烟台·期中）如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据下降的快慢，判断选项. 【详解】因为水的流速一样，所以相同时间内流出水的体积一样， 因为容器的特征是上下细，中间粗，使得关于的变化是:下降由快到慢，再变快，只有C选项符合. 故选：C 【题型9：分段函数的值域与最值】 【练方法】 公式结论 1.分段函数值域：分别求出每一段区间对应函数的值域，再取所有分段值域的并集 2.最值：对比每一段区间内最大值、最小值，整体最大/最小即为分段函数最值 3.二次分段区间最值：端点函数值与顶点纵坐标对比取极值 方法技巧 1.分段单独求解值域，每一段结合解析式与区间范围确定上下界 2.多段值域全部求出后合并，连续区间整合、间断区间保留多段 3.含二次函数分段，必须同时计算区间端点与顶点函数值再对比 易错提醒 1.各段值域取交集而非并集 2.二次分段只看顶点，忽略区间端点可能取得更大/更小值 3.区间空心端点误将取不到的数值纳入值域、最值 （25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D （25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据已知得，画出函数图象，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 由题意可得当或时，，当时，， 即，作出的图象如图所示： 当时，，令，解得，令，无解， 当时，，令，解得，令，解得， 当时，，令，解得，令，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 因为，所以的最大值为. 故答案为：. （25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： （24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，若当时，，则的最大值是_____________．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据给定条件，按和两种情况求出不等式的解集的并集即可求解. 【详解】当时，由，得，解得，因此； 当时，由，得，解得，因此， 因此等价于，依题意，， 所以的最大值为. 故答案为： 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】易知； 所以，可得. 2．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数作出其图象，分、和解不等式即可. 【详解】画出的图象，如图， 已知， 当时，且，即时，； 当，且时，即时，恒成立； 当，且时，即时，恒成立. 综上，. 故选：B 3．（25-26高一上·陕西汉中·期中）定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案； 法二：根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得. 【详解】法一：当时，，，， 根据二次函数的性质，当时，， 由此画出的图象如下图所示， 又，所以至少小于，此时， 令，得，解得或，结合图象，故. 法二：因为函数的定义域为，满足，则， 且当时，， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 当，时，， 则， 作出函数的大致图象， 对任意，都有，设的最大值为， 则，所以，解得或，     结合图象知m的最大值为，即的取值范围是. 故选：A. 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求函数解析式，注意变量的取值范围. 【详解】令，则，可得， 所以. 故选：B. 5．（25-26高一上·河南新乡·期中）下列关于函数的说法中，错误的是（   ） A．函数的图象恒过定点 B．函数的图象是两个孤立的点 C．函数，，则 D．函数，是同一个函数 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质及图像的平移变换分析判断A选项，根据函数的定义域判断B选项，根据分段函数的定义域代入求值判断C选项，根据相同函数的定义判断D选项. 【详解】对于A，因为函数的图象过定点，将图象向右平移1个单位， 向上平移3个单位得到的图象， 所以的图象过定点，故A正确； 对于B，函数有意义，需同时满足和，所以，解得， 当时，；当时，， 因此函数图象是点和，即两个孤立的点，故B正确； 对于C，因为，所以由题意可知，故C正确； 对于D，要使有意义，则，解得，要使函数有意义， 则，即或，两个函数的定义域不相同，故D错误． 故选：D 6．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或 解得或，所以的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则 ，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则 ，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 8．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 【答案】ABC 【分析】直接求出的表达式判断A；利用方程组法求解析式判断B；利用待定系数法判断C；利用换元法判断D. 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：定义在上的函数满足①，故有②， 将①式②式，可得，解得，故B正确； 对于C：设一次函数，则：， 由，得：， 若，则，解得，即； 若，则，解得，即. 综上，则或，故C正确； 对于D：若，令， 则，故有， 综上，故D错误. 故选：ABC. 9．（24-25高一上·四川宜宾·期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】本题为新定义分段函数值域问题，先化简函数，再利用数形结合分析自变量范围，即可确定区间长度的范围. 【详解】解：由， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图像，如下图： 因为函数在区间上的值域为， 则当时，区间的长度取最小值1； 当时，区间的长度取最大值3. 所以，区间的长度的取值范围是. 三、填空题 10．（25-26高一上·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 【答案】 【分析】首先运用换元法令，根据解出的范围，再数形结合解出的范围即可. 【详解】令，则， 若，则，解得； 若，恒成立，解得； 若，则，解得. 综上，或，即或. 若，解得；，解得； 结合的函数图象可知，若，则； 若，，解得. 综上所述，. 故答案为：. 11．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若，且，则__________． 【答案】 【分析】令，利用换元法求解. 【详解】令，则， 因为， 所以， 故. 故答案为：. 12．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 13．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，，令（即和中的较小者），则函数的值域为____________. 【答案】 【分析】化简函数的解析式，由此可作出该函数的图象，数形结合可得出函数的值域. 【详解】由，即，即，解得或， 由，即，即，解得， 所以， 在同一个坐标系中画出函数、的图象如图①.      由图①中函数取值的情况，结合函数的定义，得函数的图象如图②. 由图可知，函数的值域为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·河北保定·期中）设函数，若，则实数的取值范围是__________，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合图象求出时的取值范围，则等价于，再分段讨论，得到不等式，解得即可. 【详解】因为，所以函数的图象如下图所示： 由可得或，解得或， 即时实数的取值范围是（或由，结合图象可得）； 又，， 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以时实数的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 16．（25-26高一上·贵州·期中）已知是一次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先分离常数，再根据反比例函数的性质即可得解. 【详解】（1）设， 则， 所以，解得， 所以； （2）， 因为，所以，所以， 所以， 所以函数在上的值域为． 17．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 【答案】(1) 作出函数的图象如图所示：    (2)； (3) . 【分析】（1）分段作出函数图象即可； （2）利用分段函数求函数值即可； （3）利用范围求函数值，列方程组即可求解. 【详解】（1）略 （2）， （3）因为，所以， 即， 又因为，所以，即， 消元得：， 解得或， 因为，所以. 18．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）根据待定系数法求解即可. 【详解】（1）令，，则，代入可得： ， 整理可得：， 故； （2）设，， ， ， 整理得：，， 对比系数可得：， 故. 19．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【答案】(1)  ，最大值为 (2)或 【分析】（1）由解析式即可画出图象，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 20．（25-26高一上·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 【答案】（1）（2）；（3） 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用配凑法求出解析式. （3）根据给定条件，利用方程组法求出解析式. 【详解】（1）令，则。 代入已知等式可得， ， 所以. （2）依题意，，又的值域为， 所以. （3）由，得， 两式联立消去得，解得， 所以的解析式为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【3.1.2 函数的表示方法】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．函数的表示方法 __解析法____：用代数式表达y与x关系，优点：便于计算、研究性质； __图象法____：平面直角坐标系中曲线 / 折线，优点：直观看出增减、最值； __列表法___：表格罗列x、y对应值，优点：直接读取对应数值. 2．函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称. _待定系数法_____：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数； __换元法____：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为； __配凑法____：对代数式变形，配凑出整体，直接写出； __方程组法____：含与等式，联立方程消元求解. 3．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有___不同的对应方式___，则称其为分段函数． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：已知函数类型求解析式】 【练方法】 公式结论 1.一次函数：设，代入两组列方程组解$k、b$ 2.二次函数三种常设形式 ①一般式： ②顶点式：，为顶点坐标 ③交点式：，为函数零点 3.反比例函数：设，代入一组点求 方法技巧 1.已知顶点优先设顶点式已知与轴交点优先设交点式普通两点用一般式 2.待定系数核心：函数图像上点坐标全部满足解析式 3.解出系数后代回原式代入已知点验算等式成立 易错提醒 1.设二次函数遗漏限制 2.顶点式展开配方时常数符号计算出错 3.漏写导致一次、反比例函数变为常数函数 （23-24高一上·全国·课后作业）已知函数是一次函数，若，则______．经典例题1例题 已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________．小试牛刀1 （24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则______.小试牛刀2 （24-25高一上·广东惠州·阶段检测）已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________小试牛刀3 【题型2：配凑法求函数解析式】 【练方法】 公式结论 1.已知，将右侧整体配凑成只含的代数式，直接替换得到 2.示例：，配凑为，得 3.配凑完成后同步确定新自变量取值范围，即的值域为定义域 方法技巧 1.观察左右两侧整体结构，把含的复合整体当作统一单元变形 2.平方、分式、根式类优先恒等变形凑出内层完整整体 3.配凑结束必须同步写出定义域，避免定义域缺失 易错提醒 1.配凑变形时符号、常数项计算出错 2.配凑后忽略复合内层的值域，直接默认自变量可取全体实数 若函数，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________．小试牛刀1 （25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________.小试牛刀2 （25-26高一上·湖北襄阳·期中）若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．11 【题型3：换元法求函数解析式】 【练方法】 公式结论 1.已知，令，解出，代入右侧得 2.取值范围等于的值域，即为的定义域 3.最后统一替换字母，把改写为 方法技巧 1.内层为一次式优先换元，根式、分式复合函数换元简化结构 2.换元第一步立刻标注的取值范围，锁定新函数定义域 3.代回化简后整理成标准多项式/分式形式 易错提醒 1.换元后不写取值范围，丢失定义域限制 2.反解时变形出错，代入后解析式化简错误 3.最后忘记把换回，解析式自变量不统一 已知函数，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________.小试牛刀1 已知，求函数的解析式.小试牛刀2 （25-26高三·全国·一轮复习）若函数满足，求函数的解析式.小试牛刀3 【题型4：方程组法求函数解析式】 【练方法】 公式结论 1.核心适用：含与、与的对称复合等式 2.步骤：用或替换原式中全部，得到第二个方程，联立二元方程组消元解 3.例：已知，替换得，联立消去求 方法技巧 1.观察自变量对称结构，确定替换的形式（或） 2.联立二元一次方程组，采用加减消元法消去辅助函数 3.化简完成后标注函数定义域 易错提醒 1.替换时只替换部分项，漏换全部自变量 2.联立方程消元时系数、符号计算出错 3.混淆与，消元目标函数错误 （25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式．经典例题1例题 （25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________．小试牛刀1 （25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______小试牛刀2 （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，求的解析式.小试牛刀3 【题型5：分段函数的求值】 【练方法】 公式结论 分段函数标准形式 1.给定，先判断所属区间，再代入对应计算 2.复合求值：由内向外分步，先算内层函数值，再判断内层结果所属区间代入外层 方法技巧 1.求值第一步先定位自变量对应的分段区间，严禁跨段代入解析式 2.多层复合分层计算，每一步都重新判断所属区间 3.端点同时属于两段时，两段解析式计算结果必须相等 易错提醒 1.自变量代错分段区间表达式 2.复合求值顺序颠倒，由外向内计算 3.区间端点分段解析式取值不相等，出现函数间断矛盾 （25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______.经典例题1例题 （25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则____________．小试牛刀1 （25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ）小试牛刀2 A．—2 B． C． D． （24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ）小试牛刀3 A．2 B．5 C．3 D．1 【题型6：分段函数的性质及其应用】 （25-26高二下·广东广州·期末）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·江苏南京·开学考试）已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______．小试牛刀2 （25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ）小试牛刀3 A．-1 B．0 C． D．1 【题型7：画出具体函数的图像】 【练方法】 公式结论 1.描点法通用步骤：确定定义域→选取关键点（顶点、零点、端点、极值点）→计算对应函数值→描点平滑连线 2.基础函数标准图像特征 一次函数：直线；二次函数：抛物线；反比例函数：双曲线；根式函数：半支曲线 方法技巧 1.优先标出零点、顶点、定义域边界端点、与坐标轴交点四类关键点 2.分段函数分段绘制，区间空心圈表示取不到端点，实心点表示可取端点 3.标注坐标轴、函数解析式、关键点坐标，区分实线与虚线 易错提醒 1.区间端点虚实点标记错误，取不到值画实心点 2.忽略定义域限制，画出超出取值范围的延伸图像 3.二次抛物线顶点开口方向绘制颠倒 （25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为经典例题1例题 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 （25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数．小试牛刀1 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． （25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知函数小试牛刀2 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． （25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数，记为它们中的最小者，则函数的大致图象是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：图像法表示函数】 【练方法】 公式结论 1.图像判定标准（竖线法则）：任意垂直轴的直线与图像最多只有一个交点 2.由图像求定义域：图像所有点横坐标取值范围；值域：图像所有点纵坐标取值范围 3.图像读取函数值：过作垂直轴直线，交点纵坐标即为 方法技巧 1.求定义域看图像最左、最右横坐标；求值域看图像最高、最低纵坐标 2.求零点找图像与轴交点横坐标 3.判断增减性从左向右观察图像上升、下降趋势 易错提醒 1.竖线与图像出现两个及以上交点仍判定为函数图像 2.读取值域时遗漏图像最高点、最低点边界 3.忽略空心端点，误将取不到的数值划入定义域、值域 如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.小试牛刀1    （25-26高一上·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（     ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·山东烟台·期中）如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型9：分段函数的值域与最值】 【练方法】 公式结论 1.分段函数值域：分别求出每一段区间对应函数的值域，再取所有分段值域的并集 2.最值：对比每一段区间内最大值、最小值，整体最大/最小即为分段函数最值 3.二次分段区间最值：端点函数值与顶点纵坐标对比取极值 方法技巧 1.分段单独求解值域，每一段结合解析式与区间范围确定上下界 2.多段值域全部求出后合并，连续区间整合、间断区间保留多段 3.含二次函数分段，必须同时计算区间端点与顶点函数值再对比 易错提醒 1.各段值域取交集而非并集 2.二次分段只看顶点，忽略区间端点可能取得更大/更小值 3.区间空心端点误将取不到的数值纳入值域、最值 （25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________．小试牛刀1 （25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______.小试牛刀2 （24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，若当时，，则的最大值是_____________．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，则（   ） A．0 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，若，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西汉中·期中）定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）若函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南新乡·期中）下列关于函数的说法中，错误的是（   ） A．函数的图象恒过定点 B．函数的图象是两个孤立的点 C．函数，，则 D．函数，是同一个函数 6．（25-26高一上·安徽池州·期中）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 8．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 9．（24-25高一上·四川宜宾·期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（25-26高一上·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 11．（25-26高一上·辽宁大连·期中）若，且，则__________． 12．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 13．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，，令（即和中的较小者），则函数的值域为____________. 14．（25-26高一上·河北保定·期中）设函数，若，则实数的取值范围是__________，若，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 16．（25-26高一上·贵州·期中）已知是一次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数在上的值域． 17．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 18．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数是二次函数，且满足，，求的解析式. 19．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 20．（25-26高一上·广东揭阳·期中）(1)已知函数对任意的满足等式，求的解析式. （2）若函数，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $