23.3.1 矩形的性质与判定 暑假专项提升练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过性质应用、判定证明及综合探究模块，系统整合折叠、动点、坐标系等考法，提炼中位线转化、勾股定理建模等解题方法，强化几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|单选1-5|矩形性质+平行四边形判定|矩形与平行四边形性质延伸| |判定证明|解答18-20|对角线相等+直角条件论证|判定定理推导应用| |综合探究|解答15-17/21-24|折叠变换+动点最值+坐标系建模|性质与几何变换综合|

暑假专项提升--矩形的性质与判定专项练 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级下学期 一、单选题 1．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 3．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 4．如图，矩形的对角线相交于点 O，，E是上的一点，且，连接，以为边在其右侧作等边三角形，过点 F作，垂足为点H，则的长为（     ） A． B． C． D．2 5．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 6．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 7．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①四边形是平行四边形；②垂直平分线段；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三条中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 10．重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形“L”形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 12．如图，在中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为____． 13．如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上的一点，连接，F为的中点，若，则的长为_______． 14．如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边的长为2，则的长为________ ． 三、解答题 15．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 16．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 17．【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 18．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 19．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 20．如图，在中，，分别为，的中点，是上一定点，按以下步骤尺规作图 ①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证，四边形是矩形． (2)若，，，求和的长． 21．在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．直线，交于点．过点作，垂足为点． (1)如图1，当为锐角时，猜想线段，，的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 (2)如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 (3)当，且时，若，，直接写出的长． 22．如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 23．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 24．综合与探究 问题情境： 如图，四边形是矩形，点为直线上一动点，点为的中点，连接，． (1)特例探究：如图，当点与点重合时，求证：； (2)深入探究：如图，当点在线段上时，与的数量关系是否发生变化，请说明理由； (3)拓展运用：点在直线上运动时，若，，，直接写出的长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B C B C B D C 1．B 根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 2．B 根据矩形的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可. 解：∵矩形， ∴， ∵，分别是，的中点，， ∴， ∴. 3．B 根据矩形的性质得到，证明，得到，结合题意得到阴影部分的面积为的面积，由此即可求解． 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 4．B 连接，证明是等边三角形得，，证明得，，求出，，然后根据求解即可． 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．C 由矩形的性质得，，由折叠的性质可得，，推出，，设，用勾股定理解求出，，作于点H，得矩形，最后用勾股定理解即可． 解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， 如图，作于点H，则四边形是矩形， ，， ， ． 6．B 本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 解：如图，连接，设与交于点，与交于点， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴分别为的垂直平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴四边形为矩形， ∴，故②正确； ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理得 ∵， ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故选：B． 7．C 根据，则，根据点是的中点，证明，得到，根据矩形的性质，得，，根据，证明四边形是平行四边形，根据，，得；根据，得，等量代换，得，垂直平分线段，，即可判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理，可判断②；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，得，，，等量代换，即可判断③；求出，，即可判断④． 解：在矩形中，， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段，故②正确； ∵，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴．故③不正确； ∴， ∵垂直平分线段，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②④，共3个． 8．B 连接、，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合矩形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 解：如图，连接、， ∵点是对角线的垂直平分线上的一动点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是． 9．D 本题考查了矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：D． 10．C 本题考查了矩形的性质，坐标与几何，中点坐标公式的相关知识点，根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，，然后代入重心坐标公式即可． 解：∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵， ∴，即， ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为， 故选：C． 11． 先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 12．14 根据三角形中位线定理得出，根据直角三角形的性质可得，即可得出答案． 解：， ， ，分别是，的中点， ，， 的周长为． 13． 三角形的中位线定理，求出的长，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可. 解：∵矩形的对角线相交于点O，， ∴，， ∵F为的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴. 14． 根据已知分别求出，，，找到规律即可解答． 解：在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时，则． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3)或 （1）延长与交点即为点，通过矩形的性质证明即可； （2）先证明，则，，再由线段的垂直平分线的性质得到，最后在中，运用勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，结合（2）的结论以及勾股定理求解即可． （1）解：如图1，点即为所求； （2）证明：延长交于点，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴； （3）解：当点在点右侧时，如图 ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在矩形中，， ∴ 由（2）可得，， ∴，解得； 当点在点左侧时，如图： 此时，， 同理可得， 由（2）可得，， ∴，解得， 综上：线段的长为或． 16．(1) (2)或 (3) （1）根据长方形的性质，坐标与图形性质解答即可； （2）分点在上和点在上两种情况，根据题意计算； （3）根据折叠可得，设，在中利用勾股定理列方程求解即可. （1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）解：当点在边上时，， ∵，， ∴， ∴， 即：； 当点在上时， ∵，，， ∴， ∴， 即：； 综上，或； （3）解：设， 由折叠可得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即：， 解得：， 即：. 17．(1) (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ②； (3)的长为1或9 （1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． （1）解：四边形是矩形， 、， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，； （2）①证明：略； ②解：∵, ∴, 设，则， ， 、， 在中，， ，解得：， ∴． （3）解：分两种情况讨论： 当点Q在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知， 、、， ， 设，则、， ， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为1或9． 18．(1)见解析 (2) （1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． （1）证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 19．(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． （1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． （1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 20．(1)证明：由条件可知，即， ∵． ∴四边形是平行四边形， ∵根据作图可知：， ∴四边形是矩形； (2)， （1）先证明四边形是平行四边形，根据作图痕迹可知，进而即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质得，结合中位线的性质可得，进而即可求解 （1）略； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 由条件可知， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 21．(1) (2)不成立，，证明见解析 (3)的长为或 （1）过点作于点，利用角平分线的性质证明，得到，证明四边形是矩形，得到，即可解答； （2）过点作于点，利用角平分线的性质证明，得到，证明四边形是矩形，得到，即可解答； （3）分类讨论的大小，由，设，，再利用勾股定理列式运算即可． （1）解：，理由如下： 过点作于点，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：由题意作图可得： （1）中的结论不成立，，理由如下： 过点作于点，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴（1）中的结论不成立； （3）①当时，如图所示： ∵，， ∴设，， 由（1）可得：， ∴在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴； ②当时，如图所示： ∵，， ∴设，， 由（2）可得：， ∴在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴； 综上，的长为或． 22．(1)见详解 (2)36 （1）先证明四边形为平行四边形，再证明，则 ，即可得到结论； （2）求出 ，，根据四边形的面积等于的面积求出答案． （1）解：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴ ∵D是的中点， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）得 ，，四边形为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴四边形的面积 ， ∵四边形的面积等于的面积， ∴的面积． 23．(1) (2) (3) （1）先根据矩形的性质得到，在中由推出，再利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求出的长； （2）连接，由矩形性质得并求出、的长，由是中点得，再根据折叠的性质得、，从而推出、，利用证明，得到，设，用含的式子表示出和，最后在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长； （3）由得出为定值，因此周长最小等价于最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，先在中用勾股定理求出的长，结合折叠得算出的长，再设，用含的式子表示出和，在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长． （1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点 ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， 即； （3）解：当的周长最小时，； ∵， ∴， 当最小时，的周长最小， ∵，当、、三点共线时，最小， 如图， 在中，， 由折叠得，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即． 24．(1)证明见解析； (2)不发生变化，理由见解析； (3)的长为或． （）由四边形是矩形，则，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证； （）延长交直线于点，由四边形是矩形，则，，，所以，，再证明，故有，即有，再由直角三角形的性质可得，从而求解； （）分当在延长线上时，当在线段上时两种情况，然后通过中位线定理，勾股定理分别求解即可． （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点为的中点，点与点重合， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：与的数量不会发生变化，理由如下， 如图，延长交直线于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴； （3）解：如图，当在延长线上时，取中点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段上时，取中点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的长为或． 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