暑假作业05 矩形的性质与判定（12题型88题）（巩固培优）八年级数学新教材人教版

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 矩形的性质与判定12题型88题 【知识点1 矩形的定义】 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（俗称长方形）。 核心前提：矩形首先是平行四边形，附加一个直角条件，定义可直接用于判定矩形。 【知识点2 矩形的核心性质（通用性质+专属性质）】 矩形具备平行四边形全部性质（对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称），同时拥有专属特殊性质： 1.角的专属性质 矩形的四个角都是直角（90°），无钝角、锐角，所有内角均相等。 2.对角线专属性质 矩形的对角线相等且互相平分。 3.对称性专属性质 矩形既是中心对称图形（对称中心：对角线交点），又是轴对称图形（有2条对称轴，为对边中点连线）。 【知识点3 矩形核心推论（课内必考定理）】 直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何模型：在Rt△中，斜边中线将直角三角形分为两个等腰三角形，是矩形衍生最核心考点。 逆推论：若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形。 【知识点4 矩形三大判定定理（必考）】 1.定义判定（最基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。（先证平行四边形，再证一个直角） 2.角判定（四边形直接判定） 有三个角是直角的四边形是矩形。（无需先证平行四边形） 3.对角线判定（高频大题） 对角线相等的平行四边形是矩形。 重点易错前提：必须是平行四边形+对角线相等，普通四边形对角线相等不能判定为矩形。 【知识点5 基础计算与基础题型】 1.周长面积：矩形周长=2(a+b)，面积=长×宽； 2.角度计算：利用四角为直角，快速求解余角、补角； 3.对角线计算：结合勾股定理、对角线相等平分性质求线段长； 4.斜边中线基础计算：直接利用中线=斜边一半求线段长度。 【知识点6 基础题型高频易错点（必规避）】 判定定理误用：直接用“对角线相等的四边形是矩形”判定，缺少平行四边形前提，判定无效； 性质混淆：混淆平行四边形与矩形性质，误以为所有平行四边形对角线相等； 中线定理出错：斜边中线定理只适用于直角三角形，普通三角形不可套用； 对称轴记错：矩形只有2条对称轴，误记为4条（正方形为4条）； 证明逻辑混乱：证明矩形时，未先证平行四边形，直接用条件判定，步骤缺失扣分。 【知识点7 矩形四大经典培优模型】 1.矩形折叠模型（期末压轴高频） 题型特征：矩形沿对角线、边线、内部线段折叠，求折痕长、线段长、重叠面积、角度。 核心性质：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，结合矩形直角条件，构造直角三角形。 解题方法：设未知数+勾股定理列方程，是矩形最核心培优考法。 2.直角三角形斜边中线综合模型 题型特征：多直角三角形共斜边、多点共圆、多个中点组合题型。 核心结论：共斜边的直角三角形，斜边中线相等，可构造等腰三角形，实现边角转化。 3.矩形对角线夹角模型 矩形对角线相等且平分，因此对角线相交形成两对等腰三角形；若对角线夹角为60°/120°，则必然出现等边三角形，可快速求边长。 4.矩形动点存在性模型 题型特征：平面动点、线段平移，判定何时构成矩形，结合坐标几何、运动时间求解。 核心思路：依托“平行四边形+直角/对角线相等”判定矩形，分类讨论杜绝漏解。 【知识点8 综合拔高核心题型】 1.矩形与勾股定理综合计算 利用矩形直角特性，结合勾股定理、折叠性质、线段等量代换，求解复杂线段长度、图形面积、阴影部分面积。 2.矩形与全等、等腰三角形综合证明 结合矩形直角、边相等、对角线相等性质，搭配全等三角形判定、等腰三角形性质，完成复杂几何证明。 3.多结论正误判断（选择压轴） 综合折叠、角度、线段、面积关系，判断多个结论对错，考查几何综合推理能力。 4.坐标系中的矩形求解 平面直角坐标系中，已知定点、动点坐标，求矩形顶点坐标、周长面积、运动参数。 【知识点9 培优核心解题思想与方法】 方程思想：折叠问题、线段求值问题，设未知线段为x，勾股定理列方程求解； 转化思想：将矩形问题转化为直角三角形、等腰三角形、全等三角形基础模型； 分类讨论思想：动点构造矩形、坐标矩形存在性问题，分情况讨论，避免漏解； 模型思想：固化折叠模型、60°对角线模型、斜边中线模型，快速秒杀同类题型。 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 4．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（     ） A． B． C．1 D． 5．如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 6．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 7．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 9．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用矩形的性质证明】 10．如图，矩形的对角线相交于点 O，，E是上的一点，且，连接，以为边在其右侧作等边三角形，过点 F作，垂足为点H，则的长为（     ） A． B． C． D．2 11．如图，在中，，，点，在对角线上，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，到点时运动停止，运动时间为秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求为何值时，四边形为矩形． 12．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 15．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 【题型6 矩形与折叠问题】 16．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 17．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．如图，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． (1)证明：是等腰三角形． 将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴_____________． ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴_____________（____________________________） ∴__________________________ ∴（____________________________） ∴是等腰三角形． (2)若，求的面积． 18．【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【题型7 斜边的中线等于斜边的一半】 19．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 20．如图，在中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为____． 21．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【题型8 矩形的判定定理理解】 22．如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 23．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 24．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【题型9 证明四边形是矩形】 25．如图，在中，是边上一点，是的中点，过作的平行线交的延长线，且，连接． (1)求证：点是的中点； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形，并说明理由． 26．如图，在中，，D为的中点，E为外一点，，，连接，求证：四边形为矩形． 27．如图，在中，，分别为，的中点，是上一定点，按以下步骤尺规作图 ①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证，四边形是矩形． (2)若，，，求和的长． 【题型10 根据矩形的性质与判定求角度】 28．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 30．已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型11 根据矩形的性质与判定求线段长】 31．根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间 开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为米． ②测得牵线放风筝的手的位置处到地面的距离为米； （备注：点，，，在同一平面内．） 问题解决 (1)如图，根据手中余线长度，计算出段风筝线的长度为米，求风筝离地面的垂直高度（提示：过点作于点） (2)如图，在任务一的基础上，，若要使风筝沿射线方向再上升米，即米，线段的长度不变，手中剩余的风筝线是多少米时，才能成功？并说明理由． 32．如图，在矩形中，E是边上的一点．试说明的面积与矩形的面积之间的关系． 33．在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．直线，交于点．过点作，垂足为点． (1)如图1，当为锐角时，猜想线段，，的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 (2)如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 (3)当，且时，若，，直接写出的长． 【题型12 根据矩形的性质与判定求面积】 34．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 35．如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 36．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 1．如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（     ） A．6 B．8 C． D． 2．下列说法错误的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．四个内角都相等的四边形是矩形 3．战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．随后通过实用技术的不断进步，总结出了校验矩形的方法，如图，下列条件能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（     ）． A．3 B．3.5 C．4 D．5 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则矩形的周长为（） A．7 B．28 C．2 D． 7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 8．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①四边形是平行四边形；②垂直平分线段；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 11．已知矩形中，，，连接、交于点O，过A作，垂足为H，则的长为____． 12．两个全等的矩形，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 13．如图，在四边形中，，则的长是______． 14．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，与相交于点，过点作于点，连接，若，，则______． 15．如图，在矩形ABCD中，，，P是AD上一个动点，于E，于F，则的值为______． 16．如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边的长为2，则的长为________ ． 17．如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 18．如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上的一点，连接，F为的中点，若，则的长为_______． 19．如图，在中，对角线，交于点，，点为边上一点，且，若，则的长为______． 20．如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，连接，求的长． 21.如图，已知，，E为的中点，与交点为F， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 22．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 23．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 24．已知：在中，，，为边上一点，为边中点． (1)尺规作图：过点作直线的垂线，交于点；（保留作图痕迹） (2)猜想与的数量关系，并证明你的结论． (3)四边形的面积为______． 25．【综合与实践】问题情境： 勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百种．启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在的正方形网格中开展了数学活动，每个小正方形的顶点称为格点． (1)操作发现：在图1中，每个小正方形的边长均为1．所画出的四边形的顶点A，B，C，D都是格点，则边长分别是，，，；四边形的面积为________． (2)实践探究：在图2中，每个小正方形的边长均为1．在图2所示的正方形网格中画出矩形（顶点都在格点上），使，，并求出矩形的面积． (3)继续探究：若中有两边的长分别为，，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出所有符合题意的（顶点A，B，C，D都是格点且全等的平行四边形视为同一种情况），并求出它的面积． 26．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 27．【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．请在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：． (2)求线段长度的最小值． (3)方法应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米？ 28．综合与实践：主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．如常用的的纸张长与宽的比值都相等．A系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图1所示． 查阅资料知纸张的规格如表： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 m (1)在计算纸的长宽比m的过程中，小组同学通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比值接近一个无理数n．请你猜想这个无理数是______；若设纸的长为a，宽为b，试求证你的结论． (2)如图2所示，在（1）的条件下长方形中，，点P是上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 1．如图，在中，，为线段上动点，于，于，连接．当点从运动到的过程中不与、重合．下列关于线段长度变化的描述中，正确的是(  ) A．先变短后变长 B．变化没有规律 C．先变长后变短 D．始终保持不变 2．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，把一根长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（　） A． B． C． D． 4．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三条中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴，即； ，， ∴，， 5．数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深入思考问题．一次，数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使重合，展开后得折痕；又沿折叠使点落在处，展开后又得到折痕；再沿折叠使点落在上的处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究的值（    ）    A． B． C． D． 6．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B′FB＝70°，则∠AEF＝（    ） A．35° B．40° C．45° D．60° 7．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三角形中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成具有对称性、规则性的两部分，建立合适的平面直角坐标系，若原图形的重心坐标为，面积为，被分成两部分的重心坐标分别为，面积分别为，则有．如图，若，，若以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，分别以射线为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 8．重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形“L”形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在某探究课上，老师带领同学们做了一个实验：拿两块的三角板，将的直角顶点放在的斜边的中点处,设则此时重叠的部分四边形的面积为_____． 10．如图，在矩形中，P是边上一点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为E．再作点B关于直线的对称点F，连接．完成下列探究： （1）当点F与点D重合时， ______； （2）若，当点F恰好落在边上时，线段的长为______． 11．如图，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：    （1）若点F是的中点，则______； （2）点D，E之间距离的最大值是_____． 12．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______． 13．如图，四边形是矩形，点F是边的三等分点，，点是边的中点，连接，得到；点是的中点，连接得到；点是的中点，连接，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是______． 14．探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为________，已知，则的最大值是________．    15．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作： ①第一次折叠：在边上取点E，把翻折，使点A落在边上的点F处，折痕为； ②展开纸片：把纸片展开并铺平； ③第二次折叠：在边上取点G，把翻折，使点C落在直线上的点H处，折痕为． 若已知，则_________． 16．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题． 点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． (1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和 (2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． (3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 17．（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 18．规律：如图1，直线，，为直线上的点，，为直线上的点．如果，，为三个定点，点在直线上移动，那么无论点移动到何位置，与的面积始终相等，其理由是___． 应用： （1）如图，、、三点在同一条直线上，与都是等边三角形，连结，．若，，求的面积． （2）如图，已知，，，是矩形边上的点，且，，连结交于点，连结交于点，连结交于点，连结，若四边形的面积等于，求四边形的面积． 19．阅读与思考 认真阅读材料，并完成相应的任务． 勾股定理的拓展探究   勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中就有“勾三、股四、弦五”的记载．如图1，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． 在此基础上，同学们作了进一步探究： 佳琪同学的探究思路：如图2，在四边形中，，分别以，，，为边向外作正方形，其面积分别为，，，，探究这四个面积之间的等量关系． 知夏同学的探究思路：如图3，在如图1的基础上，分别以，为边向外作正方形，其面积分别为， ，探究，，的等量关系．为探究它们的关系，过点G作于点Q，结合全等三角形的有关知识和勾股定理，计算出，即可求出，…… 任务： (1)在图1中，直接写出，，之间的等量关系：_____； (2)在图2中，写出，，，之间的等量关系，并证明； (3)在图3中，直接写出，，之间的等量关系：_____． 20．综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： (3)连接，，若，，求四边形的周长． 21．综合与探究 问题情境： 如图，四边形是矩形，点为直线上一动点，点为的中点，连接，． (1)特例探究：如图，当点与点重合时，求证：； (2)深入探究：如图，当点在线段上时，与的数量关系是否发生变化，请说明理由； (3)拓展运用：点在直线上运动时，若，，，直接写出的长． 22．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3， 在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 23．请根据小鹿的“矩形的中心对称性”探究活动单，完成下列任务． 实践与探究 探究学习 问题情境 在矩形中，点在射线上，连接，过点作，交直线于点，连接． 实践操作 （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺在上画出点，使，（要求：保留画图痕迹，不写画法） 特例感知 （2）如图2，当是线段中点时，，．则的长为______． 规律探究 （3）如图3，当点在线段的延长线上时．探究之间的数量关系，并说明理由； 拓展运用 （4）如图4，中，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，是的中点，连接，若，且，则的最小值＝__________． 24．等腰三角形底边的中线有很多重要性质．数学活动课上，同学们围绕等腰三角形底边中线的性质开展了对以下系列问题的探究． 初步探究：如图，中，是边的中线，，， 为垂足．与是否相等呢？小明同学认为．他的理由如下： 因为，是的中点 所以也是的平分线， 因为，，所以． 这里运用了等腰三角形“三线合一”性质和角平分线性质．请运用相关知识继续完成对以下问题的探究： (1)类比探究 问题1：如图①，中，是边的中线，分别是和的中线．那么与相等吗？ 问题2：如图②，中，是边的中线，分别是和的角平分线．那么与相等吗？ 请你选择其中一个问题给出结论，并证明你的结论． (2)拓展探究 问题3：如图③，中，是边的中点．的边过点，且，，那么是线段的中点吗？请你说明理由． (3)综合探究 问题4：如图④，中，，，E是边的中点，、分别在、边上，且，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 矩形的性质与判定12题型88题 【知识点1 矩形的定义】 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（俗称长方形）。 核心前提：矩形首先是平行四边形，附加一个直角条件，定义可直接用于判定矩形。 【知识点2 矩形的核心性质（通用性质+专属性质）】 矩形具备平行四边形全部性质（对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称），同时拥有专属特殊性质： 1.角的专属性质 矩形的四个角都是直角（90°），无钝角、锐角，所有内角均相等。 2.对角线专属性质 矩形的对角线相等且互相平分。 3.对称性专属性质 矩形既是中心对称图形（对称中心：对角线交点），又是轴对称图形（有2条对称轴，为对边中点连线）。 【知识点3 矩形核心推论（课内必考定理）】 直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何模型：在Rt△中，斜边中线将直角三角形分为两个等腰三角形，是矩形衍生最核心考点。 逆推论：若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形为直角三角形。 【知识点4 矩形三大判定定理（必考）】 1.定义判定（最基础） 有一个角是直角的平行四边形是矩形。（先证平行四边形，再证一个直角） 2.角判定（四边形直接判定） 有三个角是直角的四边形是矩形。（无需先证平行四边形） 3.对角线判定（高频大题） 对角线相等的平行四边形是矩形。 重点易错前提：必须是平行四边形+对角线相等，普通四边形对角线相等不能判定为矩形。 【知识点5 基础计算与基础题型】 1.周长面积：矩形周长=2(a+b)，面积=长×宽； 2.角度计算：利用四角为直角，快速求解余角、补角； 3.对角线计算：结合勾股定理、对角线相等平分性质求线段长； 4.斜边中线基础计算：直接利用中线=斜边一半求线段长度。 【知识点6 基础题型高频易错点（必规避）】 判定定理误用：直接用“对角线相等的四边形是矩形”判定，缺少平行四边形前提，判定无效； 性质混淆：混淆平行四边形与矩形性质，误以为所有平行四边形对角线相等； 中线定理出错：斜边中线定理只适用于直角三角形，普通三角形不可套用； 对称轴记错：矩形只有2条对称轴，误记为4条（正方形为4条）； 证明逻辑混乱：证明矩形时，未先证平行四边形，直接用条件判定，步骤缺失扣分。 【知识点7 矩形四大经典培优模型】 1.矩形折叠模型（期末压轴高频） 题型特征：矩形沿对角线、边线、内部线段折叠，求折痕长、线段长、重叠面积、角度。 核心性质：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，结合矩形直角条件，构造直角三角形。 解题方法：设未知数+勾股定理列方程，是矩形最核心培优考法。 2.直角三角形斜边中线综合模型 题型特征：多直角三角形共斜边、多点共圆、多个中点组合题型。 核心结论：共斜边的直角三角形，斜边中线相等，可构造等腰三角形，实现边角转化。 3.矩形对角线夹角模型 矩形对角线相等且平分，因此对角线相交形成两对等腰三角形；若对角线夹角为60°/120°，则必然出现等边三角形，可快速求边长。 4.矩形动点存在性模型 题型特征：平面动点、线段平移，判定何时构成矩形，结合坐标几何、运动时间求解。 核心思路：依托“平行四边形+直角/对角线相等”判定矩形，分类讨论杜绝漏解。 【知识点8 综合拔高核心题型】 1.矩形与勾股定理综合计算 利用矩形直角特性，结合勾股定理、折叠性质、线段等量代换，求解复杂线段长度、图形面积、阴影部分面积。 2.矩形与全等、等腰三角形综合证明 结合矩形直角、边相等、对角线相等性质，搭配全等三角形判定、等腰三角形性质，完成复杂几何证明。 3.多结论正误判断（选择压轴） 综合折叠、角度、线段、面积关系，判断多个结论对错，考查几何综合推理能力。 4.坐标系中的矩形求解 平面直角坐标系中，已知定点、动点坐标，求矩形顶点坐标、周长面积、运动参数。 【知识点9 培优核心解题思想与方法】 方程思想：折叠问题、线段求值问题，设未知线段为x，勾股定理列方程求解； 转化思想：将矩形问题转化为直角三角形、等腰三角形、全等三角形基础模型； 分类讨论思想：动点构造矩形、坐标矩形存在性问题，分情况讨论，避免漏解； 模型思想：固化折叠模型、60°对角线模型、斜边中线模型，快速秒杀同类题型。 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．如图，点在矩形的边的延长线上，连接，若则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于O，由得，则可得；由矩形性质即可求得结果． 【详解】解：如图，连接交于O， 在矩形中，，； ∵， ， ， ， ∵， ． 3．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 4．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】连接，由矩形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 5．如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，分别是，的中点，， ∴， ∴. 6．如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】容易判断是等腰直角三角形，则，，由平行线的性质和角平分线的定义可得，因此． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 7．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先根据，判定四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，最后利用平行四边形的性质得出即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 与互相平分， ， 四边形是平行四边形， ． 8．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，证明，得到，结合题意得到阴影部分的面积为的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 9．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决此题的关键． 由题意可得四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形． ∵是对角线，且点在上， ∴，，，故A，B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； 只有当时，， ∴当点位置变化时，和不一定相等，故D选项符合题意． 故选：D． 【题型4 利用矩形的性质证明】 10．如图，矩形的对角线相交于点 O，，E是上的一点，且，连接，以为边在其右侧作等边三角形，过点 F作，垂足为点H，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】连接，证明是等边三角形得，，证明得，，求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在中，，，点，在对角线上，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，到点时运动停止，运动时间为秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求为何值时，四边形为矩形． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， 点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，， ， ， 四边形为平行四边形； (2)当时，四边形为矩形 【分析】（1）利用平行四边形的性质推出，根据同时同速得到，即可得证结论； （2）要使四边形为矩形，只需要，求出即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：当，四边形为矩形， 理由：要使四边形为矩形，只需要， 当点在的下方时，如图所示， 此时四边形为矩形，， ， ． 12．在矩形中，对角线相交于点，点分别是上的动点，连接． (1)在图1中，仅用无刻度的直尺在上找一点，使得（不写作法，保留痕迹）； (2)如图2，连接，求证：； (3)如图3，若，点是的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）延长与交点即为点，通过矩形的性质证明即可； （2）先证明，则，，再由线段的垂直平分线的性质得到，最后在中，运用勾股定理求解即可； （3）分两种情况讨论，结合（2）的结论以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）证明：延长交于点，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵ ∴； （3）解：当点在点右侧时，如图 ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在矩形中，， ∴ 由（2）可得，， ∴，解得； 当点在点左侧时，如图： 此时，， 同理可得， 由（2）可得，， ∴，解得， 综上：线段的长为或． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：连接， 点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 15．如图①，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限．点沿着在长方形边上运动． (1)点的坐标为______． (2)当、两点的距离为7时，求点的坐标． (3)如图②，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据长方形的性质，坐标与图形性质解答即可； （2）分点在上和点在上两种情况，根据题意计算； （3）根据折叠可得，设，在中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴； （2）解：当点在边上时，， ∵，， ∴， ∴， 即：； 当点在上时， ∵，，， ∴， ∴， 即：； 综上，或； （3）解：设， 由折叠可得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即：， 解得：， 即：. 【题型6 矩形与折叠问题】 16．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，，由折叠的性质可得，，推出，，设，用勾股定理解求出，，作于点H，得矩形，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠得，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ，， 如图，作于点H，则四边形是矩形， ，， ， ． 17．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．如图，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． (1)证明：是等腰三角形． 将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠 ∴_____________． ∵四边形是矩形 ∴（矩形的对边平行） ∴_____________（____________________________） ∴__________________________ ∴（____________________________） ∴是等腰三角形． (2)若，求的面积． 【答案】(1)；；两直线平行，内错角相等；；；等角对等边； (2) 【分析】（1）根据折叠的性质推出，结合矩形性质与平行线性质推出，再利用等量代换，以及等腰三角形判定方法分析证明即可； （2）设，则，利用勾股定理建立方程求出，再根据三角形面积公式求解，即可解题． 熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴． ∵四边形是矩形， ∴（矩形的对边平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴（等角对等边） ∴是等腰三角形． （2）解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 解得， 的面积为． 18．【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ②； (3)的长为1或9 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，； （2）①证明：略； ②解：∵, ∴, 设，则， ， 、， 在中，， ，解得：， ∴． （3）解：分两种情况讨论： 当点Q在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知， 、、， ， 设，则、， ， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为1或9． 【题型7 斜边的中线等于斜边的一半】 19．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求出的长，再结合及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的中点 ∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∵， ∴ ∵点在上 ∴ 20．如图，在中，、分别为、的中点，，，，，则的周长为____． 【答案】14 【分析】根据三角形中位线定理得出，根据直角三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：， ， ，分别是，的中点， ，， 的周长为． 21．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 【题型8 矩形的判定定理理解】 22．如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 【答案】(1)四个角都是直角的四边形是矩形 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，尺规作图，熟知矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的判定定理结合作图方法即可得到答案； （2）如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形（四个角都是直角的四边形是矩形）； （2）解：如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 23．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，再根据推得，即可得证； （2）由可推得，则平行四边形是矩形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， 则，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． 24．如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【分析】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【题型9 证明四边形是矩形】 25．如图，在中，是边上一点，是的中点，过作的平行线交的延长线，且，连接． (1)求证：点是的中点； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）突破口是为中点且，因为，所以可得内错角相等，结合对顶角相等和，可证明，得到，再结合已知，即可推出； （2）首先由且，可判定四边形是平行四边形，要使其为矩形，根据矩形判定定理，需添加一个角为直角的条件，结合是中点，考虑等腰三角形三线合一定理推导需满足的条件． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中： ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴点是的中点． （2）当 ，四边形为矩形，理由如下： ∵ ，且 ， ∴ 四边形是平行四边形, ∵， 且由（1）得是中点， 得 ， 即 ， ∴ 平行四边形是矩形． 26．如图，在中，，D为的中点，E为外一点，，，连接，求证：四边形为矩形． 【答案】证明：∵，D为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，，再结合得到，最后根据和得到四边形为矩形． 【详解】略 27．如图，在中，，分别为，的中点，是上一定点，按以下步骤尺规作图 ①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证，四边形是矩形． (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)证明：由条件可知，即， ∵． ∴四边形是平行四边形， ∵根据作图可知：， ∴四边形是矩形； (2)， 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据作图痕迹可知，进而即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质得，结合中位线的性质可得，进而即可求解 【详解】（1）略； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 由条件可知， ∴， ∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【题型10 根据矩形的性质与判定求角度】 28．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 29．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，与交于点， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴分别为的垂直平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴四边形为矩形， ∴，故②正确； ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理得 ∵， ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故选：B． 30．已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，即可证得，延长至，使得，连接，，过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，，可证，得，则，则，由，知，可知，则，得，可证，在上取，可知，得，，则，过点作交于，则为等腰直角三角形，易证，再结合，，得，可证得，可得，类比此法，在取，则为等腰直角三角形，可证得，进而可得． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，则，故①正确； 延长至，使得，连接，， 过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，则， ∴为等腰直角三角，则， 又∵， ∴， ∴，则， 即：， ∴，故③正确； 由上可知，则， 在上取，可知， ∴，，则， 过点作交于，则为等腰直角三角形， ∴，，则， 又∵，， ∴， ∴，则， ∴，故②正确； 在取，则为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键． 【题型11 根据矩形的性质与判定求线段长】 31．根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间 开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为米． ②测得牵线放风筝的手的位置处到地面的距离为米； （备注：点，，，在同一平面内．） 问题解决 (1)如图，根据手中余线长度，计算出段风筝线的长度为米，求风筝离地面的垂直高度（提示：过点作于点） (2)如图，在任务一的基础上，，若要使风筝沿射线方向再上升米，即米，线段的长度不变，手中剩余的风筝线是多少米时，才能成功？并说明理由． 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)剩余线等于或者多于米能成功，见解析 【分析】（1）过点作于点，先证明四边形是矩形，再结合矩形性质，以及勾股定理求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意求出的长，再利用勾股定理求出的长，再与的长进行比较判断，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握相关知识点． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， 四边形是矩形， 则米，米，． （米） （米）； 所以，风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：剩余线等于或者多于米能成功． 理由如下： 米， （米）． 在中，（米）， 米， 余线（米）， 剩余线等于或者多于米能成功． 32．如图，在矩形中，E是边上的一点．试说明的面积与矩形的面积之间的关系． 【答案】；理由见解析 【分析】过点E作于点F，证明四边形为矩形，得出，根据，，即可得出答案． 【详解】解：；理由如下： 过点E作于点F，如图所示： 则， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴． 33．在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．直线，交于点．过点作，垂足为点． (1)如图1，当为锐角时，猜想线段，，的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 (2)如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 (3)当，且时，若，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)不成立，，证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）过点作于点，利用角平分线的性质证明，得到，证明四边形是矩形，得到，即可解答； （2）过点作于点，利用角平分线的性质证明，得到，证明四边形是矩形，得到，即可解答； （3）分类讨论的大小，由，设，，再利用勾股定理列式运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作于点，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：由题意作图可得： （1）中的结论不成立，，理由如下： 过点作于点，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴（1）中的结论不成立； （3）①当时，如图所示： ∵，， ∴设，， 由（1）可得：， ∴在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴； ②当时，如图所示： ∵，， ∴设，， 由（2）可得：， ∴在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴； 综上，的长为或． 【题型12 根据矩形的性质与判定求面积】 34．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据的性质以及线段中点的意义证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一得到，即可证明四边形是矩形； （2）先证明为等边三角形，结合三线合一得到，再由勾股定理求解，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E、F分别是的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E为中点， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴在中， ∴矩形的面积． 35．如图，在中， D，E分别是的中点，连接，过点 A 作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使 ，连接，易知四边形的面积等于的面积． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，请你利用上述结论求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)36 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明，则 ，即可得到结论； （2）求出 ，，根据四边形的面积等于的面积求出答案． 【详解】（1）解：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴ ∵D是的中点， ∴， ∵ ， ∴ ∴ ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）得 ，，四边形为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴四边形的面积 ， ∵四边形的面积等于的面积， ∴的面积． 36．如图，在平面直角坐标系中，，，且． (1)求的面积； (2)为轴负半轴上一动点，过作的垂线，交的垂线于，为垂足，求的度数； (3)过作，当在轴负半轴上运动时，在（）的条件下，试判断的值是否改变，若不改变，请求出它的值． 【答案】(1) (2) (3)不变，它的值为 【分析】（）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （）过点作，交轴于，可证，再由等腰直角三角形的性质解答即可求解； （）过点作，交的延长线于点，可证，得到，即得，再由矩形的性质得，即得，即可判断求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作，交轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：不变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的值不变，它的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 1．如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（     ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，可知是等边三角形，是含角的直角三角形，解得，，再由勾股定理计算的值． 【详解】解：因为矩形的对角线，交于点， 所以，， 因为，， 所以， 所以， 因为是直角三角形，， 所以， 所以． 2．下列说法错误的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．四个内角都相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据矩形的定义和判定规则逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：选项A ∵对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，∴该说法错误． 选项B 有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴该说法正确． 选项C ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该说法正确． 选项D ∵四边形内角和为，四个内角都相等，每个内角为 ，四个角都是直角的四边形是矩形，∴该说法正确． 3．战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．随后通过实用技术的不断进步，总结出了校验矩形的方法，如图，下列条件能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形， 在中，，可得四边形是矩形， 故选：D． 4．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折的性质以及勾股定理，先求，再求出，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折可知：，， ， ， ， 在中， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ． 5．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（     ）． A．3 B．3.5 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再根据折叠的性质得到、、，设，用表示出、，最后在中由勾股定理列方程求解． 【详解】解：由四边形是矩形，， 则，，， 在中，由勾股定理得，， 由折叠性质可得：，，，， 设，则，故， 在中，根据勾股定理， 代入得：， 解得， ． 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则矩形的周长为（） A．7 B．28 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴矩形的周长． 7．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 【答案】D 【分析】设，则，在中根据勾股定理得得数，进一步根据三角形面积即可求解． 【详解】解：设，则， 将矩形沿折叠， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 解得，，即， ． 8．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 9．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①四边形是平行四边形；②垂直平分线段；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据，则，根据点是的中点，证明，得到，根据矩形的性质，得，，根据，证明四边形是平行四边形，根据，，得；根据，得，等量代换，得，垂直平分线段，，即可判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理，可判断②；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，得，，，等量代换，即可判断③；求出，，即可判断④． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段，故②正确； ∵，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴．故③不正确； ∴， ∵垂直平分线段，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②④，共3个． 10．如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合矩形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵点是对角线的垂直平分线上的一动点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是． 11．已知矩形中，，，连接、交于点O，过A作，垂足为H，则的长为____． 【答案】/ 【分析】先利用矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再用勾股定理求出对角线的长，通过等面积法求得的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∵， ∴在中，由勾股定理得． 12．两个全等的矩形，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】设交于点G，先证，得到．设，在中，根据勾股定理求出的长度，可得的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点G， 四边形和四边形是全等的矩形， ，，， 在和中 ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：， ∴， 阴影部分的面积：． 13．如图，在四边形中，，则的长是______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据平行线的性质和矩形的判定定理证明四边形是矩形，从而得到，，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 四边形是矩形 在中，由勾股定理得 14．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，与相交于点，过点作于点，连接，若，，则______． 【答案】/66度 【分析】根据角平分线的判定定理得出平分，求出的度数，利用矩形性质和等腰三角形性质求出，通过证明 得出 ，利用三角形内角和定理求出 ，最后利用平角定义求解． 【详解】 四边形是矩形 ， ， ， ，， ， 平分， ． ， ， ． 在中，． 平分， ． 在 中， ， ． 在和中 ， ． 在 中，， ， ． 15．如图，在矩形ABCD中，，，P是AD上一个动点，于E，于F，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得到，，则可求出，利用勾股定理求出，则可得到，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边的长为2，则的长为________ ． 【答案】 【分析】根据已知分别求出，，，找到规律即可解答． 【详解】解：在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时，则． 17．如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当时，根据翻折变换的性质求出，判断出是等腰直角三角形，从而求出；②当时，判断出、、在同一直线上，利用勾股定理求出，再设，在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，，，， 分两种情况讨论： ①当时，如图1， ， ， 由翻折变换的性质得， 在中，， 是等腰直角三角形， ； ②当时，如图2， ，， ， 、、三点在同一直线上， 在中，由勾股定理得， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 综上所述，的长为或． 18．如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上的一点，连接，F为的中点，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】三角形的中位线定理，求出的长，勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可. 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O，， ∴，， ∵F为的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴. 19．如图，在中，对角线，交于点，，点为边上一点，且，若，则的长为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，可知，根据平行四边形的性质得到是的中点，根据三角形中位线定理得到，可知，证明是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：如图，取的中点，连接，可知， 在中，对角线，交于点， 是的中点， 是中位线， ， ， ， ，即是的中点， ． 20．如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得出答案； （2）先根据等腰三角形的性质得，再根据含直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示， ∵， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 在中，． 21.如图，已知，，E为的中点，与交点为F， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，，从而得出，即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，作于，则，由等面积法得出，由勾股定理可得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，E为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，，E为的中点， ∴ ∵，， ∴， 如图，作于， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）证明，推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，即， ∴，， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 23．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 24．已知：在中，，，为边上一点，为边中点． (1)尺规作图：过点作直线的垂线，交于点；（保留作图痕迹） (2)猜想与的数量关系，并证明你的结论． (3)四边形的面积为______． 【答案】(1)所作垂线如图所示： (2)，证明如下： ，为边中点， ， ， ，， ，， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）利用尺规作，即可得到所作垂线； （2）利用直角三角形性质，以及等腰直角三角形性质推出，，再结合同角的余角相等推出，证明，进而结合全等三角形性质即可证明与的数量关系； （3）利用全等三角形性质推出四边形的面积，再利用勾股定理，以及直角三角形性质推出，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用相关知识． 【详解】（1）见答案 （2）略 （3）解：， 四边形的面积， ，， ， ， 四边形的面积为． 25．【综合与实践】问题情境： 勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百种．启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在的正方形网格中开展了数学活动，每个小正方形的顶点称为格点． (1)操作发现：在图1中，每个小正方形的边长均为1．所画出的四边形的顶点A，B，C，D都是格点，则边长分别是，，，；四边形的面积为________． (2)实践探究：在图2中，每个小正方形的边长均为1．在图2所示的正方形网格中画出矩形（顶点都在格点上），使，，并求出矩形的面积． (3)继续探究：若中有两边的长分别为，，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出所有符合题意的（顶点A，B，C，D都是格点且全等的平行四边形视为同一种情况），并求出它的面积． 【答案】(1)，，，，18 (2)作图见解析，矩形的面积为； (3)作图见解析，的面积为或． 【分析】（1）根据勾股定理即可求得，然后根据图形运用割补法即可解答； （2）先运用勾股定理以及矩形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答； （3）先运用勾股定理以及平行四边形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答． 【详解】（1）解：，，，； 如图1，连接，则， ∴四边形的面积为； （2）解：如图2：矩形即为所求；，， 则矩形的面积为； （3）解：∵中有两边的长分别为，且， ∴如图3：即为所求， 的面积为； 如图4：即为所求， 的面积为． 综上，的面积为或． 26．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，当点是的中点时，求线段的长； (3)如图，点在运动过程中，当的周长最小时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，在中由推出，再利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求出的长； （2）连接，由矩形性质得并求出、的长，由是中点得，再根据折叠的性质得、，从而推出、，利用证明，得到，设，用含的式子表示出和，最后在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长； （3）由得出为定值，因此周长最小等价于最小，根据两点之间线段最短，得出当、、三点共线时最小，先在中用勾股定理求出的长，结合折叠得算出的长，再设，用含的式子表示出和，在中利用勾股定理列方程，求解即可得到的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点 ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， 即； （3）解：当的周长最小时，； ∵， ∴， 当最小时，的周长最小， ∵，当、、三点共线时，最小， 如图， 在中，， 由折叠得，， ∴，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 即． 27．【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点，分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．请在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：． (2)求线段长度的最小值． (3)方法应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米？ 【答案】(1)证明：，， 四边形是平行四边形， ， 又， ； (2) (3)米 【分析】（1）先证四边形是平行四边形得到； （2）将转化成，时有最小值，即可求解； （3）参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ， 当最小时，线段也有最小值， 等边中，， ，， ， ， ， ， 又， ， 当时，， 线段最小值是； （3）如图，连接，过、作，的平行线，则四边形是平行四边形，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，最小，此时最小， ，， ， ， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 在中，， ， 在中，， 在中，， 钢丝绳长度的最小值为米． 28．综合与实践：主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．如常用的的纸张长与宽的比值都相等．A系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图1所示． 查阅资料知纸张的规格如表： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两位小数） 1.41 1.41 1.41 1.41 m (1)在计算纸的长宽比m的过程中，小组同学通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比值接近一个无理数n．请你猜想这个无理数是______；若设纸的长为a，宽为b，试求证你的结论． (2)如图2所示，在（1）的条件下长方形中，，点P是上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 【答案】(1)根据表格数据猜想，证明如下： 由题意：， ∴， ∴， ∴（负值已舍去） ∴A系列纸的长宽比值接近一个无理数． (2) 【分析】（1）①根据表格数据猜想，根据对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等，构建关系式解决问题即可； （2）延长、交于点G，则可证明四边形是平行四边形，则，再证明，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长、交于点G， ∵四边形是长方形，， ∴，，，， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．如图，在中，，为线段上动点，于，于，连接．当点从运动到的过程中不与、重合．下列关于线段长度变化的描述中，正确的是(  ) A．先变短后变长 B．变化没有规律 C．先变长后变短 D．始终保持不变 【答案】A 【分析】连接，首先根据三个角是直角的四边形是矩形判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等得出，再根据垂线段最短分析的长度变化，从而得出的变化情况. 【详解】解：如图，连接． ，， ． ， 四边形是矩形． ． 当点从点运动到点的过程中， 根据垂线段最短可知，当时，最短． 当点从运动到的过程中不与、重合，线段的长度先变短后变长． 当点从运动到的过程中不与、重合，线段的长度先变短后变长． 2．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，把一根长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律的探索，矩形的判定，找到规律是关键；由题意得四边形为矩形，求得其周长为10；根据及即可确定细线另一端的坐标． 【详解】解：∵， ∴，且四边形为矩形， ∴矩形的周长． ∵，， ∴细线的另一端落在点D上，即． 故选D． 4．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三条中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：D． 5．数学实验是学习数学的一种重要方式，有益于我们深入思考问题．一次，数学兴趣小组的同学拿出如图所示的矩形纸片，其中，他们将纸片对折使重合，展开后得折痕；又沿折叠使点落在处，展开后又得到折痕；再沿折叠使点落在上的处，大家发现了很多有趣的结论．就这个图形，请你探究的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质得到，，，，，再利用勾股定理得到． 【详解】解：由题意可知：，，，，， ∵， ∴设，则， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选．    【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 6．在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带ABCD，点E在AD上，点F在BC上，把长方形纸带沿E折叠，若∠B′FB＝70°，则∠AEF＝（    ） A．35° B．40° C．45° D．60° 【答案】A 【分析】根据折叠的性质可知，再由周角360°以及=70°可求出∠EFB，再根据平行线的性质即可求∠AEF． 【详解】解：由题意可得：， 由折叠可知：， ∵=360°，=70°， ∴=145°， ∵， ∴∠AEF+∠EFB=180°， ∴∠AEF=180°-145°=35°． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质进行角的转化和计算． 7．重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三角形中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成具有对称性、规则性的两部分，建立合适的平面直角坐标系，若原图形的重心坐标为，面积为，被分成两部分的重心坐标分别为，面积分别为，则有．如图，若，，若以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，分别以射线为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解M，N的坐标，再求出矩形，的面积，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：如图，延长交于点G，得到矩形和，M，N分别是矩形，的对角线的交点． ，， ，， ，，，， M，N分别是矩形，的对角线的交点， ，，即，， ，， 此“”形总面积， 此“”形的重心的横坐标为， 纵坐标为， 此“”形的重心的坐标为， 故选：D． 8．重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形“L”形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与几何，中点坐标公式的相关知识点，根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵， ∴，即， ∵四边形是矩形，，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为， 故选：C． 9．如图，在某探究课上，老师带领同学们做了一个实验：拿两块的三角板，将的直角顶点放在的斜边的中点处,设则此时重叠的部分四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，由题意易得，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为和的面积和， ∴； 故答案为． 10．如图，在矩形中，P是边上一点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为E．再作点B关于直线的对称点F，连接．完成下列探究： （1）当点F与点D重合时， ______； （2）若，当点F恰好落在边上时，线段的长为______． 【答案】 30 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，当点F与点D重合时，可得，即可求出；当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答．熟练利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）如图， 当点F与点D重合时，由翻折可得， ∵F为点B关于直线的对称点， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴； （2）当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知， 由矩形的性质知，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，即AP的长为． 故答案为：；． 11．如图，，矩形的顶点B，C分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：    （1）若点F是的中点，则______； （2）点D，E之间距离的最大值是_____． 【答案】 5 / 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． （2）如图所示，取的中点F，连接，利用勾股定理求出的长，再确定最大时的条件，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵，即，点F是的中点，， ∴， 故答案为：5； （2）如图所示，取的中点F，连接， ∵四边形是矩形， ， ∵F是的中点， ∴， ．    ∵， ∴当点，，三点共线时，有最大值，最大． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质，勾股定理，直角三角形的性质，确定取得最值条件是求解本题的关键． 12．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【分析】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 13．如图，四边形是矩形，点F是边的三等分点，，点是边的中点，连接，得到；点是的中点，连接得到；点是的中点，连接，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是______． 【答案】 【分析】根据题意，并结合矩形的性质可得：，，而，整理可得：，再表示出的面积，观察规律可得：，从而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， 点是边的中点， ， ∵是的中点， ∴， ∴， 整理得：， 同理可得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，规律型：图形的变化类．解答的关键是明确，通过整理归纳出其规律． 14．探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为________，已知，则的最大值是________．    【答案】 【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，利用勾股定理求的最小值即可；构造图形如图，过点作交于，求的最大值结合三角形的三边关系，根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，   ， 则，， 此时的值最小为：， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， 如图，，   ， 则， ， 的最大值为的长度， 过点作交于， 则四边形为矩形， ， ， ， 的最大值为， 故答案为： ，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，最值问题等知识，解题的关键学会利用数形结合的思想解决问题． 15．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作： ①第一次折叠：在边上取点E，把翻折，使点A落在边上的点F处，折痕为； ②展开纸片：把纸片展开并铺平； ③第二次折叠：在边上取点G，把翻折，使点C落在直线上的点H处，折痕为． 若已知，则_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，根据相关运用勾股定理列出方程是解题的关键． 先根据折叠的性质、正方形的判定与性质以及矩形的性质可得 设，则，；然后分H在线段上和H在线段的延长线上两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠可得∶， ∴四边形为正方形， ∵在边上取点G，把翻折，使点C落在直线上的点H处，折痕为． ∴， ∴， ∵矩形， ∴ 设，则，， ①当H在线段上时，则，    ∴， 解得∶， ∴； ②当H在线段的延长线上时，则，    ∴， 解得∶， ∴； 综上的长为或． 16．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的练习中的第题． 点是矩形边上的一个动点，矩形的两条边长、分别为和．求点到矩形的两条对角线和的距离之和．（提示：记对角线和的交点为点，连结）． (1)【问题解决】小明发现：如图①，连结，过点作，垂足分别为点、，利用矩形对角线的性质，便可求出的值，请你运用小明发现的方法，求出点到矩形的两条对角线和的距离之和 (2)【规律应用】如图②，当点是矩形边上任意一点时，_______． (3)【规律探究】如图③，当点是延长线上任意一点时，则和之间的数量关系是 ______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式等知识点，勾股定理等知识点，灵活运用三角形的面积公式列出式子是解题的关键． （1）利用勾股定理运算出的长，再利用矩形的性质可得到，再利用，列式运算即可； （2）根据：列式运算即可； （3）根据：列式运算即可． 【详解】（1）解：如图①： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）如图②，连接OP， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3），理由如下： 如图③，连接， ∵， ∴， ∴， 解得：． 17．（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 【答案】探究规律：，理由见详解；解决问题：； 【分析】本题考查平行四边形性质，矩形的性质： （1）过作并延长交于F，根据平行四边形得到，，结合平行线间距离处处相等得到即可得到答案； （2）过作并延长交于T，过作并延长交于N， 结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案； 【详解】解：探究规律：过作并延长交于F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 解决问题：过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接：，，，， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，， ， ∵，， ∴，， ∴ ． 18．规律：如图1，直线，，为直线上的点，，为直线上的点．如果，，为三个定点，点在直线上移动，那么无论点移动到何位置，与的面积始终相等，其理由是___． 应用： （1）如图，、、三点在同一条直线上，与都是等边三角形，连结，．若，，求的面积． （2）如图，已知，，，是矩形边上的点，且，，连结交于点，连结交于点，连结交于点，连结，若四边形的面积等于，求四边形的面积． 【答案】规律：同底等高的两个三角形的面积相等；（1）（2） 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理，等边三角形的性质，平行线之间的距离等知识点； 规律：利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”求即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等” ，将四边形的面积拆成4个小三角形，将四个小三角形转化为矩形的一半，即可求解． 【详解】解：规律：∵直线， ∴点和点到直线的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：同底等高的两个三角形的面积相等． （1）如图所示，过点作于点， ∵与都是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 19．阅读与思考 认真阅读材料，并完成相应的任务． 勾股定理的拓展探究   勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中就有“勾三、股四、弦五”的记载．如图1，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． 在此基础上，同学们作了进一步探究： 佳琪同学的探究思路：如图2，在四边形中，，分别以，，，为边向外作正方形，其面积分别为，，，，探究这四个面积之间的等量关系． 知夏同学的探究思路：如图3，在如图1的基础上，分别以，为边向外作正方形，其面积分别为， ，探究，，的等量关系．为探究它们的关系，过点G作于点Q，结合全等三角形的有关知识和勾股定理，计算出，即可求出，…… 任务： (1)在图1中，直接写出，，之间的等量关系：_____； (2)在图2中，写出，，，之间的等量关系，并证明； (3)在图3中，直接写出，，之间的等量关系：_____． 【答案】(1) (2)．证明见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理及正方形面积即可求解； （2）连接，根据勾股定理及正方形面积即可求解； （3）延长交于点，过点作于点，延长交于点O，利用全等三角形的判定和性质得出 ，， 同理得：，，设，然后结合图形，利用勾股定理及正方形的面积即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． ∴，且， ∴； （2），理由如下： 连接，如图所示：    在和中，，， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长交于点，过点作于点，延长交于点O， ∴，四边形为矩形，    根据题意可得，即， ， ∵, ， ， 同理得：， ， 设， ， 根据勾股定理可得，即， ，即， ∵， 即， ∴ ∴． 20．综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： (1)郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． (2)赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： (3)连接，，若，，求四边形的周长． 【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的判定定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线的性质，利用平行四边形的定义即可得结论； （3）先根据勾股定理可得，由折叠得：，由勾股定理得的长，即可解答． 【详解】（1）解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠，得，， . . 又， 四边形是平行四边形； （3）解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠，得， ， 同理可得， ， 设，则，， 在中，， 即，解得， ， ， ， ， 由（1）知， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长为. 21．综合与探究 问题情境： 如图，四边形是矩形，点为直线上一动点，点为的中点，连接，． (1)特例探究：如图，当点与点重合时，求证：； (2)深入探究：如图，当点在线段上时，与的数量关系是否发生变化，请说明理由； (3)拓展运用：点在直线上运动时，若，，，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)不发生变化，理由见解析； (3)的长为或． 【分析】（）由四边形是矩形，则，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证； （）延长交直线于点，由四边形是矩形，则，，，所以，，再证明，故有，即有，再由直角三角形的性质可得，从而求解； （）分当在延长线上时，当在线段上时两种情况，然后通过中位线定理，勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点为的中点，点与点重合， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：与的数量不会发生变化，理由如下， 如图，延长交直线于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴； （3）解：如图，当在延长线上时，取中点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段上时，取中点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的长为或． 22．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3， 在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】（1）由折叠的性质可知，利用勾股定理求出； （2）由长方形的性质可知，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出的长； （3）当点在长方形内部时，由折叠的性质得：，，利用勾股定理可得，设，则，利用勾股定理列方程，解方程求出的长；当点在长方形外部时，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程求出值即可． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即； （2）解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； （3）解：四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点，则， 分两种情况：①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； ②如下图所示，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 由①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 23．请根据小鹿的“矩形的中心对称性”探究活动单，完成下列任务． 实践与探究 探究学习 问题情境 在矩形中，点在射线上，连接，过点作，交直线于点，连接． 实践操作 （1）在图1中，请仅用无刻度的直尺在上画出点，使，（要求：保留画图痕迹，不写画法） 特例感知 （2）如图2，当是线段中点时，，．则的长为______． 规律探究 （3）如图3，当点在线段的延长线上时．探究之间的数量关系，并说明理由； 拓展运用 （4）如图4，中，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，是的中点，连接，若，且，则的最小值＝__________． 【答案】（1）见解析（2）5（3），理由见解析（4）2 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形三边关系应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据矩形的性质，利用全等三角形的对应边相等，即可求出点； （2）根据矩形的判定和性质得出相等边和直角，根据三线合一得出，，再利用勾股定理即可求解； （3）延长，交于点，连接，根据矩形的性质证明，，得出对应边相等，最后利用勾股定理即可得出结论； （4）过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，，，同（3）的步骤，得出当三点共线时，等号成立，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，点即为所求， 根据矩形的性质得出，，，可得，即可求解； （2）四边形为矩形， ， ， 是线段中点， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：5； （3），理由如下： 如图，延长，交于点，连接， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ，， ， 即， ，，， ， ， ， ∴由勾股定理得， 即； （4）如图所示，过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，，， 则， 四边形为矩形， ，，，， ，， ， ，， ， ， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 点为的中点， ， ，且当三点共线时，等号成立， ， ， ， 的最小值为2． 24．等腰三角形底边的中线有很多重要性质．数学活动课上，同学们围绕等腰三角形底边中线的性质开展了对以下系列问题的探究． 初步探究：如图，中，是边的中线，，， 为垂足．与是否相等呢？小明同学认为．他的理由如下： 因为，是的中点 所以也是的平分线， 因为，，所以． 这里运用了等腰三角形“三线合一”性质和角平分线性质．请运用相关知识继续完成对以下问题的探究： (1)类比探究 问题1：如图①，中，是边的中线，分别是和的中线．那么与相等吗？ 问题2：如图②，中，是边的中线，分别是和的角平分线．那么与相等吗？ 请你选择其中一个问题给出结论，并证明你的结论． (2)拓展探究 问题3：如图③，中，是边的中点．的边过点，且，，那么是线段的中点吗？请你说明理由． (3)综合探究 问题4：如图④，中，，，E是边的中点，、分别在、边上，且，求证：． 【答案】(1)，证明见解析 (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）问题一：根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，再根据直角三角形斜边中线的性质，可得，，结合，可证；问题二：证明，可得； （2）连接，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，结合可得，再次利用“三线合一”，可得是中边的中线； （3）连接，作交于点H，可得和均为等腰直角三角形，先证，得出，，再证，得出，通过等量代换即可证明． 【详解】（1）解：问题1：． 证明：中，是边的中线， ， 和均为直角三角形， 分别是和斜边上的中线， ，， ， ； 问题2：． 证明：中，是边的中线， ，，， ， 分别是和的角平分线， ，， ， 又，， ， ； （2）解：是线段的中点，理由如下： 如图，连接， 中，是边的中点， ， ， ， 又， 是中边的中线， 是线段的中点； （3）证明：如图，连接，作交于点H， ，，E是边的中点， ，，， 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 又，， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $