暑假专项提升--二次根式求值与最值重点题型归纳 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以二次根式概念为基础，通过均值不等式、配方法等系统方法，构建从代数求值到几何最值的跨领域应用体系，培养抽象能力与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|定义判断/最简二次根式特征|二次根式定义→性质（非负性）→最简判定| |求值运算|4题|化简技巧/分类讨论|根式化简→代数式求值→符号处理| |最值应用|6题|均值不等式/配方法|代数最值（如x+1/x）→几何最值（矩形篱笆）| |几何综合|2题|对称转化/模型构建|菱形最短路径→正方形面积拓展|

暑假专项提升--二次根式求值与最值重点题型归纳 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级下学期 一、单选题 1．下列说法错误的是（ ）． A．是二次根式 B．是最简二次根式 C．是非负数 D．的最小值是 2．函数有意义，则x应（　　） A．有最小值 B．有最大值 C．可为0 D．不可为 3．已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 5．通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 8．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 9．算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的形式； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．给出下列命题： ①关于x的方程的解为， ②存在唯一实数a，使方程组无解 ③对任意实数x，y都有成立 ④方程的解，一定都是无理数． 其中正确命题个数有（   ） A．4 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 12．若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是________． 13．若能与合并，则正整数的最小值是______． 14．在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值______； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为______． 15．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为_______，最大值为______，的小数部分为______． 16．算术平方根有如下运算：，，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，． 以上说法中正确的为_________（ 填序号即可 ） 三、解答题 17．已知． (1)若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． (2)若，求的最小值． 18．阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 19．阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 20．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵，∴，∴， 即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：的值 (2)若，求的值； 21．阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D D B B B B C 1．A 本题考查了二次根式的定义、二次根式的性质、最简二次根式，根据二次根式的定义、二次根式的性质、最简二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：A、只有在时才是二次根式，故原说法错误，符合题意； B、是最简二次根式，故原说法正确，不符合题意； C、是非负数，故原说法正确，不符合题意； D、由于，故，故的最小值是，故原说法正确，不符合题意； 故选：A． 2．D 根据分式有意义时分母不为0，零指数幂的底数不为0以及二次根式有意义的条件即可作答． ∵函数有意义， ∴，且， ∴，且， 故选：D． 3．C 先化简原式的二次根式，再估算无理数的取值范围，即可得到满足条件的最大整数n． 解：， ∵ ，，且 ∴ ， ∵ ，且n为整数， ∴ n的最大值为6． 4．D 本题考查了配方法在最值问题中的应用．当时，直接根据公式计算即可求解． 解：当时，， ∴的最小值为3， 故选：D． 5．D 本题主要考查了二次根式的计算，分别根据，依次将①②中的等式进行变形，即可进行判断，对于③，先设设花圃的宽为，篱笆的总长为，得到y关于x的表达式，再进行变形，即可得到答案． 解：①∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵； ∴； 故②正确； 设花圃的宽为，篱笆的总长为， 则， 故③正确； 故选：D． 6．B 本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 7．B 本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是掌握以上性质． 作点关于的对称点，连接，则，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案． 解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 8．B 本题考查二次根式运算，先判断的正负，再根据化简，最后将代入计算即可． 当时，， ， ∴乙计算正确． 观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确， 故选B． 9．B 本题考查了算术平方根的性质，掌握其性质是关键； 根据算术平方根的性质化简表达式，说法①有4种结果，说法②结果有3种，说法③先计算出，计算当时，即可判断． 解：① ∵，，， ∴， 由于a和b符号组合，有4种结果：， 故①正确； ② ∵要求，即， ∴原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 结果有3种不同结果，故②错误； ③ ∵， ∴， 当时，均为负，均为正， ， 当时，， 故③错误； 综上，①正确； 故选B． 10．C 根据分式方程、二元一次方程组、因式分解、二元一次方程的解和实数运算等相关知识逐项进行判断即可． 解：当时，， ∴方程的解是或，故①错误； ②－得，， 当时，无解，即原方程组无解， 故②正确， ∵， ∴， 故③正确； 当，时，，即的解可以是，故④错误， 综上可知，正确的命题是②③， 故选：C 此题考查了命题，解题的关键是熟练掌握分式方程、二元一次方程组、因式分解、二元一次方程的解和实数运算等知识． 11． 0 1 本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 12．2 让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． ∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是2． 故答案为：2 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 13．2 本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的化简是解决此题的关键．首先要明确同类二次根式能合并的条件，即被开方数相同，所以要使能与合并， 化简后被开数必须为3，由此来即可确定m的值． 解：∵ 能与合并， ∴ 化简后被开数必须为3， ∴设（k为正整数）， ∵正整数取最小值， ∴当时， ， 解得：， 故答案为：2 ． 14． 15 10 本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． （1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：10． 15． 3 75 本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时， ， ， 故的小数部分为 故答案为：3；75； 16．①③/③① 本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．分别根据算术平方根的意义化简各式后，再进行判断即可． 解：①， 所以，有4种不同的结果，故①正确； ② ∵， ∴， 当时，原式； 当，原式； 当，原式； ∴②错误； ③∵， ∴ 前8项为从开始依次减2直到1，故前8项的和为64； 从第9项起为从1开始依次加2，直到，和为， 则， 当时，； ； （n为正整数，舍去负值）； ，故③正确； 故③正确， 所以，正确的结论是①③， 故答案为：①③． 17．(1)① ② ③ (2) 本题考查了分式的化简求值，平方差公式及完全平方公式的应用，关键是灵活应用知识点解题； （1）①直接根据平方差公式计算即可； ②先通分，再展开，然后将的结果代入即可； ③先提出，再仿照②解答； （2）由已知得，再将待求式整理为含，的式子，然后分两种情况讨论最小值即可． （1）①解：由题意得：． 故答案为：； ②解：∵， ∴ ∴原式； ③解：原式 ； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵有实数根， ∴， 即： 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式最小，最小值为：， 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式的值最小，最小值为； 综上所述，的最小值为． 18．(1) (2)9 (3)米 （1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． （1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 19．(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． （1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 20．(1) (2) 本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，熟练进行变形是解决本题的关键． （1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将a分母有理化得，移项并平方得到，变形后代入求值． （1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 21．(1)3 (2) (3)或 本题考查二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． （1）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3； （2）解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； （3）解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $