精品解析：山东省青岛市崂山区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，由两个大小不同的等边三角形组成的图形中，能构成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 下列有关三角形的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 两个等边三角形全等 B. 三角形两边之差大于第三边 C. 等腰三角形是等边三角形 D. 任意两个三角形的内角和相等 【答案】B 【解析】 【分析】先明确不可能事件的定义，即一定条件下一定不发生的事件，再结合三角形相关性质逐一判断各选项，即可得到答案． 【详解】解：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 选项A，边长相等的两个等边三角形全等，边长不等的两个等边三角形不全等，因此“两个等边三角形全等”是随机事件，不符合要求； 选项B，根据三角形三边关系，三角形任意两边之差一定小于第三边，不可能大于第三边，因此“三角形两边之差大于第三边”是一定不发生的事件，是不可能事件，符合要求； 选项C，腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，因此“等腰三角形是等边三角形”是随机事件，不符合要求； 选项D，任意三角形的内角和都是，因此“任意两个三角形的内角和相等”是必然事件，不符合要求． 3. 如图，在中，，，点是边上一点，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用等腰三角形性质求出与的度数，再根据得到相等角，最后用三角形内角和求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，需要运用积的乘方、合并同类项、平方差公式、完全平方公式的相关法则，逐项计算判断即可得到结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 5. 如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（ ） A. 4.5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先过点作，利用三角形面积公式求出的长度，再依据角平分线的性质得到到的最短距离，结合垂线段最短确定的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴点到的垂线段长度等于， ∵垂线段最短， ∴， ∴的长可能为、、，的长不可能为． 6. 一副三角板如图放置，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两直线平行，内错角相等，得到的度数，再利用平角得到的度数，根据三角形内角和得到的度数，最后利用平角即可得出结果． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 兴趣小组的同学用数学知识测量花园里池塘两侧点，之间的距离，他们画出的示意图如图所示，点，，，在同一直线上，点，在池塘的两侧，且，，测得．若，，则假山的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，证明得到，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ，即， ， ． 8. 如图，一个高厘米的水桶，现向该水桶匀速注水，下列图象中能大致反映水桶中水的深度（厘米）与注水量（立方厘米）关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意可知，容器开口越来越大，水的深度随注水量增加的上升速率逐渐减慢，A选项符合题意， 故选：A． 9. 如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 新冠病毒的直径约为，数据可用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的正数，解题的关键是熟知有关科学记数法的知识点． 12. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先将所求幂根据运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13. 崂山茶礼盒中有4袋绿茶，2袋红茶，2袋花茶，外观完全相同，从中随机取出一袋，取到的不是花茶的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出所有等可能结果的总数，再求出“取到不是花茶”这一事件包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，所有等可能取的结果总数为 ， 事件“取到不是花茶”包含的结果数为 ， 根据概率公式可得取到的不是花茶的概率为． 14. 已知一个长方形的周长为30，设长方形的长为，面积为，则与的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形周长公式求出长方形的宽，再利用长方形面积公式推导得到与的关系式． 【详解】解：已知长方形周长为，长为， 根据长方形周长公式，可得长方形的宽为：， 根据题意可得：． 15. 某校数学兴趣小组设计了一个运算程序：输入一个数，先加上，再乘以，然后判断所得结果是否大于，若大于，则减去；否则加上，最后输出结果，若经过一次判断输出的结果是．则输入的所有可能值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据运算程序的判断条件，分两种情况讨论，分别列出一元一次方程求解得到输入的所有可能值，再计算所有可能值的和即可． 【详解】解：若， 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得， 验证得， 符合条件； 若， 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 验证得：，符合条件， 或， 则输入的所有可能值之和为． 16. 如图，在中，，第一次折叠，使点与点重合，折痕为（点在上，点在内部），展开，进行第二次折叠，点落在上，使边与边重合，折痕为（点在上）．已知两条折痕交于点，且，那么的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，结合三角形内角和即可求解． 【详解】由第一次折叠可知，是线段的垂直平分线， ∴，且， 由第二次折叠可知，平分， 即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 即， 解得：， ∴． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 如图，四边形中，点E为边上一点，请用尺规作图的方法求作一点P，使，且（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，点P即为所求作的点． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，尺规作线段的垂直平分线， 先以点C为圆心，为半径画弧，再以点E为圆心，为半径画弧交于点H，接下来以点H为圆心，为半径画弧，交前弧于点J，作射线，则，所以，然后分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点K，L，作直线，交于点P，则是线段的垂直平分线，得，所以点P即为所求作． 【详解】解：略 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 19. 化简与求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式把整式各部分展开，合并同类项，再把字母的值代入化简后的代数式中求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 20. 闯关游戏中，设有摸球活动，现有不透明袋子甲和乙． 甲袋装有除编号外完全相同的个小球，编号依次为，，，，； 乙袋装有除颜色外完全相同的小球，小球颜色为红色或绿色，在一次重复摸球试验中，统计了绿色出现的频率，绘制出如图所示的统计图： 请根据信息回答以下问题： （1）从甲袋随机摸球，恰好摸到编号7属于________事件（填随机、必然、不可能）； （2）小宇从甲袋摸球，求小宇摸出小球编号大于的概率； （3）小琪提出猜想：小宇从甲袋摸出编号大于4的概率，和小诺从乙袋摸出绿色的概率大小一致．她的猜想是否正确？请说明理由． 【答案】（1）随机 （2） （3）她的猜想不正确 她的猜想不正确 【解析】 【分析】（1）从甲袋随机摸球，每个小球都有被摸到的可能性，所以恰好摸到编号属于随机事件； （2）小宇从甲袋摸球，所有可能的结果有种，每种结果出现的可能性相同，其中编号大于的情况有种，所以小宇摸出小球编号大于的概率为； （3）由统计图可知，随着摸球次数的增加，小诺从乙袋摸出绿色的频率逐渐稳定在，所以小宇从甲袋摸出编号大于4的概率，和小诺从乙袋摸出绿色的概率不同． 【小问1详解】 解：从甲袋随机摸球，恰好摸到编号7属于随机事件； 【小问2详解】 解：小宇从甲袋摸球，所有可能的结果有种，每种结果出现的可能性相同， 其中编号大于的情况有种， ； 【小问3详解】 略 21. 已知：，，垂足为，点在上，，垂足为． 求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】先由两条直线垂直于同一条直线推出两直线平行，得到与相等，再由平行得到与相等，最后通过等量代换证明． 【详解】略 22. 某实验室的恒温水箱，初始为空，工作人员进行了一次注水、保温、排水的完整实验，过程如下： ①以恒定速度向水箱注水，分钟后水位达到升； ②暂停注水分钟，保持水位不变； ③继续以恒定速度注水，分钟后水箱注满，水位达到升； ④注满后，水箱保温分钟，水位保持不变； ⑤最后以恒定速度将水箱排空． 下图是水箱内水量（升）与实验开始的时长（分钟）之间的关系示意图． 请根据图示信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是________，因变量是________； （2）第一阶段注水时，水箱水量的平均变化速度是________升/分；最后阶段排水时，水箱水量的平均变化速度是________升/分； （3）将下表信息补充完整： 实验时长（分钟） 20 45 90 110 水箱水量（升） 600 800 （4）在这分钟的实验过程中，进行到________分钟时，水箱内的水量恰好为升． 【答案】（1）自变量是实验开始的时长（分钟），因变量是水箱内水量（升） （2）； （3）； （4）或 【解析】 【分析】（1）依据自变量、因变量的定义，区分主动变化的量与跟随变化的量． （2）利用平均变化速度水量变化量对应时间，分别计算第一段注水速度与排水速度． （3）根据各时间段的水量变化规则，分别算出、对应的水量． （4）分分钟二次注水、分钟排水两段，分别计算水量等于升时对应的时间． 【小问1详解】 解：自变量是实验开始的时长（分钟），因变量是水箱内水量（升）． 【小问2详解】 解：第一阶段注水时，水箱水量的平均变化速度：（升/分）， 排水平均变化速度：（升/分）， 【小问3详解】 解：当时，（升）， 当时，处于保温结束后的排水阶段，（升）； 【小问4详解】 解：①分钟二次注水阶段： 水箱水量的平均变化速度：（升/分）， （分钟）， ②分钟排水阶段： （分钟） 综上，在这分钟的实验过程中，进行到、分钟时，水箱内的水量恰好为升． 23. 已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 【答案】情况一：选取条件：①②③，结论：④ 已知：，，， 求证： 证明：， 在和中 由， ， ； 情况二：选取条件：②③④，结论：① 已知：，，， 求证： 证明：在和中 由， ， ， ； 【解析】 【详解】略 24. 【生活实际】 小明在科学课上制作了一个简易万花筒．他将两面长方形平面镜的一条长边重合，组成了一个夹角可以变化的字形镜面．当他在镜子前放置一个小物体时，可以看到物体和它在镜子中的像共同组成的对称图案． 【数学模型】 为了研究这个现象，我们把镜子抽象成直线，把物体和它的像抽象成点．如下图所示，射线和射线表示两面镜子，它们的夹角．点代表放在镜前的小物体．点是点关于镜面的对称点（即物体在镜中的像），点是点关于镜面的对称点． 【模型应用】 请你运用所学的轴对称知识，探究以下问 （1）连接，，________（用含的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，连接，请判断是什么特殊三角形？________． 【拓展延伸】 如图所示，当张角大小是的因数时，观察到的物体数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的． （3）当________时，镜子中的像和物体共同围成一个六边形；此时，若点在________位置上时，该六边形是一个正六边形． 【答案】（1）2m （2）等腰三角形 （3）60；平分线 【解析】 【分析】（1）利用轴对称性质得到两组相等角，拆分，通过等量代换推导出与的关系式； （2）依据轴对称对应线段相等，等量代换得出，依据等腰三角形定义判定三角形形状； （3）根据成像总个数规律列式求出，结合正六边形边长相等的特征确定点的位置． 【小问1详解】 解：连接、、， ∵与关于直线对称， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵与关于直线对称， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； 【小问3详解】 解：由图可得当时，实物与像的个数一共有个； 当时，实物与像的个数一共有个； 当时，实物与像的个数一共有个； ∴当时，实物与像的个数一共有个； ∵实物与像一共个， ∴， ∴， 如图，设交于点，交于点， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴点在的平分线上。 25. 如图，直线，平分，为上一点，，过点作，垂足为点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，设动点，的运动时间为（）． （1）连接，是否存在某一时刻，使是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）当时，求的面积与的关系式； （3）当时，求的值． 【答案】（1）存在， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）过B作于G，于H，判断是等腰直角三角形，根据三线合一的性质求出，判断、是等腰直角三角形，得出，， 证明，得出，，证明，得出，则，解方程即可； （2）根据求解即可； （3）根据并结合三角形面积公式列出，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：过B作于G，于H， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 根据题意，得，， 又， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当时，是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：当时， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，由两个大小不同的等边三角形组成的图形中，能构成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列有关三角形的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 两个等边三角形全等 B. 三角形两边之差大于第三边 C. 等腰三角形是等边三角形 D. 任意两个三角形的内角和相等 3. 如图，在中，，，点是边上一点，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的平分线，点，分别是，上的动点，，当的面积是时，线段的长不可能为（ ） A. 4.5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 一副三角板如图放置，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 兴趣小组的同学用数学知识测量花园里池塘两侧点，之间的距离，他们画出的示意图如图所示，点，，，在同一直线上，点，在池塘的两侧，且，，测得．若，，则假山的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个高厘米的水桶，现向该水桶匀速注水，下列图象中能大致反映水桶中水的深度（厘米）与注水量（立方厘米）关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 第II卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 新冠病毒的直径约为，数据可用科学记数法表示为________． 12. 已知，，则________． 13. 崂山茶礼盒中有4袋绿茶，2袋红茶，2袋花茶，外观完全相同，从中随机取出一袋，取到的不是花茶的概率为________． 14. 已知一个长方形的周长为30，设长方形的长为，面积为，则与的关系式为________． 15. 某校数学兴趣小组设计了一个运算程序：输入一个数，先加上，再乘以，然后判断所得结果是否大于，若大于，则减去；否则加上，最后输出结果，若经过一次判断输出的结果是．则输入的所有可能值之和为________． 16. 如图，在中，，第一次折叠，使点与点重合，折痕为（点在上，点在内部），展开，进行第二次折叠，点落在上，使边与边重合，折痕为（点在上）．已知两条折痕交于点，且，那么的度数是________． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 如图，四边形中，点E为边上一点，请用尺规作图的方法求作一点P，使，且（不写作法，保留作图痕迹） 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. 计算 （1） （2） （3） （4） 19. 化简与求值，其中，． 20. 闯关游戏中，设有摸球活动，现有不透明袋子甲和乙． 甲袋装有除编号外完全相同的个小球，编号依次为，，，，； 乙袋装有除颜色外完全相同的小球，小球颜色为红色或绿色，在一次重复摸球试验中，统计了绿色出现的频率，绘制出如图所示的统计图： 请根据信息回答以下问题： （1）从甲袋随机摸球，恰好摸到编号7属于________事件（填随机、必然、不可能）； （2）小宇从甲袋摸球，求小宇摸出小球编号大于的概率； （3）小琪提出猜想：小宇从甲袋摸出编号大于4的概率，和小诺从乙袋摸出绿色的概率大小一致．她的猜想是否正确？请说明理由． 21. 已知：，，垂足为，点在上，，垂足为． 求证：． 22. 某实验室的恒温水箱，初始为空，工作人员进行了一次注水、保温、排水的完整实验，过程如下： ①以恒定速度向水箱注水，分钟后水位达到升； ②暂停注水分钟，保持水位不变； ③继续以恒定速度注水，分钟后水箱注满，水位达到升； ④注满后，水箱保温分钟，水位保持不变； ⑤最后以恒定速度将水箱排空． 下图是水箱内水量（升）与实验开始的时长（分钟）之间的关系示意图． 请根据图示信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是________，因变量是________； （2）第一阶段注水时，水箱水量的平均变化速度是________升/分；最后阶段排水时，水箱水量的平均变化速度是________升/分； （3）将下表信息补充完整： 实验时长（分钟） 20 45 90 110 水箱水量（升） 600 800 （4）在这分钟的实验过程中，进行到________分钟时，水箱内的水量恰好为升． 23. 已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 24. 【生活实际】 小明在科学课上制作了一个简易万花筒．他将两面长方形平面镜的一条长边重合，组成了一个夹角可以变化的字形镜面．当他在镜子前放置一个小物体时，可以看到物体和它在镜子中的像共同组成的对称图案． 【数学模型】 为了研究这个现象，我们把镜子抽象成直线，把物体和它的像抽象成点．如下图所示，射线和射线表示两面镜子，它们的夹角．点代表放在镜前的小物体．点是点关于镜面的对称点（即物体在镜中的像），点是点关于镜面的对称点． 【模型应用】 请你运用所学的轴对称知识，探究以下问 （1）连接，，________（用含的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，连接，请判断是什么特殊三角形？________． 【拓展延伸】 如图所示，当张角大小是的因数时，观察到的物体数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的． （3）当________时，镜子中的像和物体共同围成一个六边形；此时，若点在________位置上时，该六边形是一个正六边形． 25. 如图，直线，平分，为上一点，，过点作，垂足为点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，设动点，的运动时间为（）． （1）连接，是否存在某一时刻，使是等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）当时，求的面积与的关系式； （3）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $