21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑假自学练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学人教版九年级上学期“一元二次方程的根与系数的关系”暑假同步练，以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层设计，覆盖从韦达定理直接应用到跨知识综合的完整路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|韦达定理直接应用|单选1-4题求另一根、两根和差，填空8-11题直接计算，强化运算能力| |能力提升|结合判别式与几何|单选5-6题关联直角三角形、完全平方变形，填空14题菱形面积计算，解答15-17题含参数方程应用，发展推理意识| |综合拓展|新定义与跨方法|单选7题多说法辨析，解答18-19题换元法、“快乐方程”新定义，提升创新意识与数学表达|

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑假自学练 2026-2027学年初中数学人教版（2024）九年级上学期 一、单选题 1．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（    ） A． B． C． D． 2．关于x的方程（m为常数）的两实数根之和是（    ） A．2 B． C． D． 3．一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程 的两个根分别是3，，则p、q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．若关于x的方程的三个根恰好可以成为某直角三角形的三边长，则m的值为（    ） A．24 B．15 C．15或24 D．无解 6．关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、，且，则的值是（   ） A．1 B．12 C．13 D．25 7．在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．若关于的方程的两根分别是，，则的值为_____． 9．已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 10．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 11．实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____． 12．若a、b是互不相等的两个实数，且分别满足，则_____． 13．定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 14．已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____． 三、解答题 15．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求m的值． 16．已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． (1)求实数的取值范围； (2)当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 18．阅读材料，解答问题：材料1为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2  已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：解方程：． (2)间接应用：已知两个不相等实数m，n满足：，求的值． (3)拓展应用：已知实数x，y满足：，求的值． 19．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A D B B C B 1．A 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求解． 解：设方程的另一个根为， 则， ∴． 故选：A． 2．A 本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 由根与系数的关系可直接求得． 解：∵是一元二次方程的两实数根， ∴， 故选：A． 3．D 对于一元二次方程，当方程有两个实数根时，两根之和，据此求解即可． 解∶∵方程中，， ∴． 4．B 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后解方程即可得到p和q的值． 解：根据题意得，， ∴，． 故选：B． 5．B 首先根据根的判别式求出m的取值范围，设x2−8x＋m的两根为a、b，然后根据根与系数的关系得到a＋b＝8，ab＝m，再分情况讨论，求出m即可． 解：依题意得：x−4＝0或x2−8x＋m＝0， ∴x＝4，x2−8x＋m＝0， 设x2−8x＋m=0的两根为a、b， ∴（−8）2−4m＞0，a＋b＝8，ab＝m， ∴m＜16， 分情况讨论： ①4为斜边时，a2＋b2＝42， ∴（a＋b）2−2ab＝42，即82−2m＝42， 解得：m＝24（不符合题意，舍去）； ②a为斜边时，42＋b2＝a2， ∴42＋（8-a）2＝a2， 解得：a=5， ∴b=8-5=3， ∴m=ab=15， 故选B． 本题考查了一元二次方程的解，熟练运用根与系数的关系以及根的判别式是解题的关键． 6．C 由根与系数的关系及根的判别式若，是一元二次方程的两根时，则，根据一元二次方程根与系数的关系，，根据，即，可求出m的值，再结合一元二次方程根的判别式，得出m的值，再将求出即可． 解：一元二次方程的两个实数根分别是，， ，， ， ， ， 整理得， 解得或， ， 当时，， 当时，， ， 一元二次方程可化为， ． 故选． 本题考查的是完全平方公式及其变形，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 7．B 本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 解：①当时，， 一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根， ，故①错误； ②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确； ③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确； ④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确． 综上所述：正确的有个； 故选：B． 8． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，由此可得，再代值计算即可得到答案． 解：∵关于的方程的两根分别是，， ∴， ∴， 故答案为：． 9． 利用一元二次方程根的定义得 ，，进而求得，，再结合根与系数的关系代入求值即可． 解：，是方程 的两个实数根 由根的定义得 ， ∴ ，， 由根与系数的关系得， 原式 ． 10． 先根据根与系数的关系求出与的值，判断的符号，再对所求二次根式进行化简，最后整体代入计算即可． 解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，， ，． ∴ ． 11． 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后代入求解即可． 解：实数，是一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 12． 根据题意可知a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，据此利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 解：∵， ∴a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意得到a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根是解题的关键． 13． 根据友好方程的定义得到目标一元二次方程，再利用根与系数的关系计算两根之和即可． 解：根据“友好方程”的定义，可得的“友好方程”为， 设该方程的两个根为，， ∴． 14． 先利用根与系数的关系得到两条对角线的乘积，再代入面积公式计算即可． 解：设菱形的两条对角线的长分别为， 是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系可得， 菱形的面积． 15．(1)； (2)． 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可； （2）由和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得，，又由，可得方程，求解方程即可． （1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵和是方程的两个实数根， ∵，， ∴， ∴， 解得：． 16．(1)见解析 (2)， 本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于的二元一次方程，最后求解即可 （1）证明：， 不论为何值，方程一定有实数根； （2），是该方程的两个不同的根， ，， ， 化简得：， 解得：，． 17．(1) (2) （）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出即可． （1）解：∵， ∴，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式满足， 即， 解得：； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：，， ∵、是矩形两邻边，对角线长为， 由勾股定理得：， 即：， ∴， 解得， 验证：，符合（）中的范围，且两根和、积都为正，边长为正符合题意，故． 18．(1) (2) (3)7 （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，，则可得，进一步得到，再证明，推出；由，可得，即． （1）解：设，则方程可化为， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴； （2）解：∵实数m，n满足：， ∴实数m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴ ； （3）解：设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 本题主要考查了换元法解方程，一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． 19．(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 （1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． （1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 学科网（北京）股份有限公司 $