25.1 一元二次方程的概念 暑假自学练 2026-2027学年初中数学人教版九年级上学期

**基本信息** 25.1一元二次方程的概念暑假自学练，适配初中数学人教版九年级上册，以"基础巩固-概念应用-综合拓展"分层设计，通过梯度化题型培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一元二次方程定义、一般形式|单选1-4直接判断方程类型，填空7-8强化系数识别，夯实符号意识| |巩固|根的概念及性质|单选5-6结合根的代入与性质推理，填空9-13通过根求参数，发展推理能力| |提升|概念综合应用|解答17-18引入"美妙方程""有爱方程"新定义，构建数学模型，培养创新意识|

25.1 一元二次方程的概念 暑假自学练 2026-2027学年初中数学人教版（2024）九年级上学期 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（   ） A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4 4．将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（   ） A．5 B． C．4 D． 5．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 6．已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 二、填空题 7．将一元二次方程化为一般式为______． 8．关于的方程是一元二次方程，则的值为的______． 9．已知一元二次方程有一个根为4，则m为_______． 10．已知m为方程的根，那么的值为______． 11．探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________． 12．关于的一元二次方程有一个根为，则实数，之间的关系为________． 13．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 三、解答题 14．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4) 15．为何值时，关于的方程是一元二次方程． 16．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 17．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 18．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A C B D A 1．A 本题考查的是一元二次方程的定义，掌握定义进行判断是解题的关键． 一元二次方程：含有一个未知数，含有未知数的项的最高次数是2，2， 这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可． 选项A： 整理为，是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合定义； 选项B： 含两个未知数和，不符合“一个未知数”的条件，排除； 选项C： 化简： ，化简后为一次方程，排除； 选项D： 未明确，当时方程变为一次方程，不符合定义，排除． 故选：A． 2．A 本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．据此进行逐项分析，即可作答． 解：①，当时，该方程不是一元二次方程； ②属于分式方程； ③符合一元二次方程的定义； ④的次数是3次，不是一元二次方程， 综上所述，其中一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 3．C 本题考查了一元二次方程的一般式，根据进行判定即可求解． 解：根据题意，移项整理得，， ∴一次项系数和常数项分别为3和． 故选：C ． 4．B 此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：B． 5．D 解：把代入方程得：， ∴， ∴． 6．A 解：①．∵将代入，可得， 又∵， ∴满足方程，即方程一定有一个根为，故①说法正确． ②．∵方程的两个根为和，两根都满足方程，代入得： ， ，得 ， ∴，故②说法正确． 综上①②都正确． 7． 先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 解： ， ， 移项，得 ． 8． 本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 9．2 本题考查了一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程，得到关于m的方程，即可求出m的值． 解：一元二次方程有一个根为4， ， 解得， 故答案为：2． 10．0 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 11．3 观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果． 解：由图表可知，， ∴对应的的范围为， ∴，， ∴， 故答案为：3． 本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义． 12． 根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，化简整理即可得到与的关系． ∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， ， 整理得． 13． 将代入方程求解判断即可． 解：将代入得，， 此方程必有一根为． 14．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称． （1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是； （2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是； （3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是； （4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是． 本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号． 15．． 本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可知，从而可得：． 解：方程是一元二次方程， ， 由可得：， 由可得：， ． 16．(1) (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的相关概念；掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．是解决本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出k的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． （1）解：∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得：． （2）解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 17．(1)是，理由见解析 (2) 本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． （1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 18．(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． （1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 学科网（北京）股份有限公司 $