【2026 暑期预习・分层讲练】 第五课 根与系数的关系 2026-2027 学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层设计科学，从基础夯实到拓展探究，梯度合理，覆盖根与系数关系的直接应用、综合变形及跨情境探究，助力知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题夯实|根与系数关系的直接应用（求两根和差、积、参数值）|题型含填空、选择、简单解答，如已知方程根求系数，培养运算能力与推理意识| |中档题突破|综合应用（代数式变形、韦达定理逆向应用）|题型为解答题与探究题，如利用根与系数关系构造新方程，发展推理能力与模型意识| |困难题探究|拓展探究（多结论判断、方程构造解决问题）|题型为综合解答题，如通过构造方程求最值，提升创新意识与批判性思维|

【2026 暑期预习・分层讲练】2026-2027 学年人教版九年级数学上册 第五课 根与系数的关系（原卷）基础提升中考拓展三合一 一、基础题夯实 1．已知方程的两个根是和，则_________． 2．一元二次方程的两根为，，则______． 3．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 4．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 5．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 6．若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 9．若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 11．设是方程的两个根，且，求常数的值． 12．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 13．关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 14．若是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一根． 二、中档题突破 15．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 16．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 17．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 18．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 三、困难题探究 19．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数根一定互为相反数．其中，正确的有几个（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 作业第1页，共2页 作业第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2026 暑期预习・分层讲练】2026-2027 学年人教版九年级数学上册 第五课 根与系数的关系（答案与解析）基础提升中考拓展三合一 参考答案 题号 3 6 7 8 9 10 16 19 答案 C D D D D C B C 1．3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 2． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 3．C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 4． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程两根之和的关系，结合已知的一个根即可求出另一个根． 【详解】解：由题意可知，一元二次方程中，，， 根据根与系数的关系，可得， ∵， ∴，即方程的另一个根为． 5． 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、根据一次函数增减性求参数 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解： ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 6．D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 7．D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系计算两根之和与两根之积，即可得到正确结论． 【详解】解：对于一元二次方程，若方程有两个实数根，，则，， ∵给定方程为， ∴，，， ∴，故错误， ，故错误，正确． 8．D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 9．D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】将原方程整理为一般形式，根据两根之和为m，两根之积为n，得，，计算出的值进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n， ∴，， ∴，． 10．C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两根符号，即可得出结论． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 11． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到，进而求得，代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，解得， 将代入中，则， 解得． 12．(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 13．，方程的另一个根为 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．利用根与系数的关系，通过两根之积快速求出另一根，再由两根之和求出的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系： ， 解得， 即，方程的另一个根为． 14．的值为，另一根为． 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，即， 解得：， ∴的值为，另一根为． 15． 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、求一元一次不等式的解集 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 16．B 【知识点】二次根式的加减运算、一元二次方程的根与系数的关系、利用二次根式的性质化简 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 17． 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、一元二次方程的根与系数的关系、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 18．(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 19．C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、根的判别式、根与系数的关系，逐一判断每个说法的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：①将代入方程，得左边， 因此是方程的根，方程一定有解，故①正确； ②是方程的一个根，代入得， 提取公因式得， 当时，不一定等于，故②错误； ③是的两根，且，对两边同除以，得， 同理也满足该等式， 因此是方程的根，故③正确； ④， ， 判别式， ， ，又， 因此，方程必有两个不相等的实数根，故④正确； ⑤， ，得或， ， 异号，因此，可得， 方程化为，判别式， 异号，， ，方程有两个实数根，两根之和为， 因此两实数根互为相反数，故⑤正确； 综上，正确的结论共个． 20．(1)； (2)或 (3) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $