精品解析：浙江省台州市临海市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

临海市2025学年第二学期初中教学质量监测试题 八年级数学 2026.07 亲爱的考生： 欢迎参加测试！请你认真审题，积极思考，仔细答题，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．祝你成功！ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中只有一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分．） 1. 下列软件的图标为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 4. 图1的龟背纹是中国传统的装饰纹样．图2的正六边形是其主体框架，它的一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 临海市2023年总值约为892亿元，2025年总值约为1018亿元，设2023年至2025年底的临海市年平均增长率为x，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 8. 用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ） A. a＝0，b＝0 B. a≠0，b≠0 C. a≠0，b＝0 D. a＝0，b≠0 9. 某校演讲比赛中，十位评委对小露的评分如下：8.4，8.3，8.9，8.5，8.7，8.1，8.6，8.4，8.5，8.6．去掉一个最低分和一个最高分后，得到一组新的数据．在这两组数据的统计量中，会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 10. 如图，在四边形中，，过点C作，交边于点E，连结．若平分，，，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点是坐标原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是__________． 13. 10名学生1分钟的跳绳成绩（单位：次）如下：60，65，70，80，85，90，100，110，120，150．为提高这些学生的跳绳成绩，冯老师计划将他们按跳绳成绩分为A，B两组进行分层训练，并计算每种方式的成绩数据的组内离差平方和，结果如下表： 分组方式 A组 B组 方式1 60，65，70 80，85，90，100，110，120，150 3600 方式2 60，65，70，80，85 90，100，110，120，150 2550 方式3 60，65，70，80，85，90，100 110，120，150 2102.38 上述三种分组方式中，较为合理的是__________（填“方式1”“方式2”“方式3”）． 14. 如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________． 15. 若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 16. 如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，过点作于点，连结，，若，，则__________． 三、解答题（本题共8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解一元二次方程： （1）； （2）． 19. 如图，已知中．把绕点B顺时针旋转得到，使点落在的延长线上；把沿射线平移得到，使点与重合，点在上，连结． （1）补全图形（不要求尺规作图，补全图形即可）； （2）证明：四边形是正方形． 20. 小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 （1）任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 （2）任务二：比较与的大小． 21. 临海东魁杨梅今年大丰收．为了解甲、乙两基地所产杨梅的糖度水平，技术人员分别从两个基地各随机抽取了20颗成熟杨梅，测量其糖度，并将糖度数据有关信息整理如下： 信息一：甲、乙两基地杨梅样本的糖度数据分析表 基地 样本容量 最小值 最大值 众数 平均数 甲 20 13.2 a 14.8 b 16.5 14.8 14.77 乙 20 11.5 13.0 c 16.0 19.0 12.9 14.71 信息二：甲基地20颗杨梅糖度的详细数据：13.2，13.5，13.8，13.9，14.0，14.2，14.4，14.6，14.7，14.8，14.8，14.8，15.0，15.0，15.3，15.5，15.6，15.8，16.0，16.5． 信息三：甲、乙两基地杨梅样本的糖度数据箱线图，如图： （1）结合上述数据和图表，补全表中剩余数据：__________，__________，__________； （2）某食品加工厂需要采购一批糖度稳定在13.5至15.5之间的杨梅，根据样本信息，你认为应选择哪个基地的杨梅？请说明理由． 22. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，过点以同样的方式作射线交于点，分别过点，作，，分别交，于点，，连结． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，探索与的数量关系并证明． 23. 小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． （1）小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． （2）小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 24. 如图，在正方形中，，点E是对角线上的动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，取中点G，连接． ①求的度数； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临海市2025学年第二学期初中教学质量监测试题 八年级数学 2026.07 亲爱的考生： 欢迎参加测试！请你认真审题，积极思考，仔细答题，答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．祝你成功！ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中只有一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分．） 1. 下列软件的图标为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数，根据两个条件逐一判断即可． 【详解】选项A：中，被开方数，含分母，∴ 它不是最简二次根式，故A不符合题意； 选项B：中，被开方数，含能开得尽方的因数，，∴ 它不是最简二次根式，故B不符合题意； 选项C：中，被开方数含分母，∴ 不是最简二次根式，故C不符合题意； 选项D：满足被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴ 它是最简二次根式，故D符合题意． 3. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ 将代入方程得， 解得：． 4. 图1的龟背纹是中国传统的装饰纹样．图2的正六边形是其主体框架，它的一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理，任意多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等，用除以边数即可得出答案． 【详解】∵ 多边形的外角和为， 图2为正六边形，  ∴ 它的一个外角的度数为． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 6. 如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，∴，∵，∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵，∴，，∵，∴，∴是矩形，不能判定是菱形，故本选项符合题意； D、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意． 7. 临海市2023年总值约为892亿元，2025年总值约为1018亿元，设2023年至2025年底的临海市年平均增长率为x，则可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2023年总值为亿元，年平均增长率为， ∴2024年的总值为亿元， ∴2025年的总值为亿元． 又∵2025年总值为亿元， ∴可列方程． 8. 用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（ ） A. a＝0，b＝0 B. a≠0，b≠0 C. a≠0，b＝0 D. a＝0，b≠0 【答案】B 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：“若，则中至少有一个为0”．第一步应假设：． 故选：B． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 9. 某校演讲比赛中，十位评委对小露的评分如下：8.4，8.3，8.9，8.5，8.7，8.1，8.6，8.4，8.5，8.6．去掉一个最低分和一个最高分后，得到一组新的数据．在这两组数据的统计量中，会发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】先将原数据排序，去掉一个最高分和一个最低分得到新数据，再分别计算两组数据的各统计量，判断发生变化的统计量即可． 【详解】解：∵原数据总和为，原平均数为，新数据总和为，新平均数为， ∴平均数不变，排除A． ∵原数据中都出现次，都是众数，新数据中仍都出现次，众数不变， ∴众数不变，排除B． 将原数据从小到大排序得：， 去掉最低分和最高分，得到新数据排序为：， ∵原数据中位数为第、个数的平均数，即，新数据中位数为第、个数的平均数，即， ∴中位数不变，排除C． ∵去掉一个最低分和一个最高分后，新数据波动变小， ∴方差发生变化． 10. 如图，在四边形中，，过点C作，交边于点E，连结．若平分，，，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，证明四边形是矩形，得到，结合已知条件证明是等腰直角三角形，求出，再利用角平分线和等腰三角形性质求出的长，最后计算． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 又， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ，  平分，  ，  ， 在上取点，使得，  ， ， 由勾股定理得，  ，  ，  ，  ，  ． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的对角线交点是坐标原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得出点A与点C关于原点对称，再根据关于原点对称点的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线交点是坐标原点O， ∴点A与点C关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标是． 13. 10名学生1分钟的跳绳成绩（单位：次）如下：60，65，70，80，85，90，100，110，120，150．为提高这些学生的跳绳成绩，冯老师计划将他们按跳绳成绩分为A，B两组进行分层训练，并计算每种方式的成绩数据的组内离差平方和，结果如下表： 分组方式 A组 B组 方式1 60，65，70 80，85，90，100，110，120，150 3600 方式2 60，65，70，80，85 90，100，110，120，150 2550 方式3 60，65，70，80，85，90，100 110，120，150 2102.38 上述三种分组方式中，较为合理的是__________（填“方式1”“方式2”“方式3”）． 【答案】方式3 【解析】 【详解】解：根据分组合理性的判断规则，组内离差平方和越小，组内数据越集中，分组越合理． 比较三种分组方式的组内离差平方和大小可得：， 方式3的组内离差平方和最小，因此方式3分组较为合理． 14. 如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，结合已知条件利用勾股定理求出另一条对角线的长度，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 菱形的面积． 15. 若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到关于的方程组，求解得到的值后即可计算出的结果． 【详解】解：设方程的两根为， 由题意可知，方程的两根为， 根据一元二次方程根与系数的关系， 对可得，； 对可得，， 整理得，； 联立得方程组， 解得， 因此． 16. 如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，过点作于点，连结，，若，，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】延长交于点，即可判定四边形为矩形，有和，结合已知利用判定，则和，即有，利用勾股定理化简得到代入即可． 【详解】解：延长交于点，如图， 由题意得四边形为矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 则 ． 三、解答题（本题共8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， 或， ，； 【小问2详解】 解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 19. 如图，已知中．把绕点B顺时针旋转得到，使点落在的延长线上；把沿射线平移得到，使点与重合，点在上，连结． （1）补全图形（不要求尺规作图，补全图形即可）； （2）证明：四边形是正方形． 【答案】（1） （2）证明：如图， ∵把绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵把沿射线平移得到， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据旋转和平移的性质补全图形即可； （2）由旋转得到和，由平移得到和，先判定为矩形，再判定为正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 （1）任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 （2）任务二：比较与的大小． 【答案】（1）解：（为正整数），证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立； （2） 【解析】 【分析】（1）先观察已知等式的数字变化规律，归纳得到第个等式，再利用平方差公式证明等式成立； （2）先利用平方差公式对进行分母有理化化简，再通过比较常数大小得到两个式子的大小关系． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 不等式两边同时加得：， 即． 21. 临海东魁杨梅今年大丰收．为了解甲、乙两基地所产杨梅的糖度水平，技术人员分别从两个基地各随机抽取了20颗成熟杨梅，测量其糖度，并将糖度数据有关信息整理如下： 信息一：甲、乙两基地杨梅样本的糖度数据分析表 基地 样本容量 最小值 最大值 众数 平均数 甲 20 13.2 a 14.8 b 16.5 14.8 14.77 乙 20 11.5 13.0 c 16.0 19.0 12.9 14.71 信息二：甲基地20颗杨梅糖度的详细数据：13.2，13.5，13.8，13.9，14.0，14.2，14.4，14.6，14.7，14.8，14.8，14.8，15.0，15.0，15.3，15.5，15.6，15.8，16.0，16.5． 信息三：甲、乙两基地杨梅样本的糖度数据箱线图，如图： （1）结合上述数据和图表，补全表中剩余数据：__________，__________，__________； （2）某食品加工厂需要采购一批糖度稳定在13.5至15.5之间的杨梅，根据样本信息，你认为应选择哪个基地的杨梅？请说明理由． 【答案】（1）； ；． （2）应选择甲基地的杨梅，理由如下： 统计甲基地糖度在13.5至15.5之间的数量甲基地数据中共15颗，乙基地的平均数和甲基地相近，但乙基地最小值为11.5、最大值19.0，数据更分散，糖度在13.5至15.5之间的数量少于甲基地，甲基地的糖度更集中在13.5至15.5之间，更符合采购要求． 【解析】 【分析】（1）根据四分位数的定义和中位数的定义求解即可． （2）根据甲、乙两基地杨梅样本的糖度数据箱线图求解即可． 【小问1详解】 解：方法一：甲基地20颗杨梅糖度的详细数据从小到大：13.2，13.5，13.8，13.9，14.0，14.2，14.4，14.6，14.7，14.8，14.8，14.8，15.0，15.0，15.3，15.5，15.6，15.8，16.0，16.5． ，， 即第5位和第6位的平均数，即第15位和第16位的平均数， ∴，， 方法二：甲基地20颗杨梅糖度的详细数据从小到大：13.2，13.5，13.8，13.9，14.0，14.2，14.4，14.6，14.7，14.8，14.8，14.8，15.0，15.0，15.3，15.5，15.6，15.8，16.0，16.5． 下半部分为：13.2，13.5，13.8，13.9，14.0，14.2，14.4，14.6，14.7，14.8， 上半部分为：14.8，14.8，15.0，15.0，15.3，15.5，15.6，15.8，16.0，16.5． 即下半部分的中位数，即上半部分的中位数， ，． 根据乙基地的箱线图可知：； 【小问2详解】 解：略； 22. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，过点以同样的方式作射线交于点，分别过点，作，，分别交，于点，，连结． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，探索与的数量关系并证明． 【答案】（1） 证明：由尺规作图可知，平分，平分， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形． （2） 解：，理由如下， 由（1）可知四边形为矩形，连接 ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）先由尺规作图判定角平分线，再结合平行四边形性质证，结合、得到直角，即可证四边形是矩形； （2）先由矩形性质得，结合推出；再用角平分线和平行线证、，结合平行四边形得，推导出，等量代换即可证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 23. 小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． （1）小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． （2）小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）总消耗热量不可能达到380千卡 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，则总消耗热量为千卡，根据题意，可得，令总消耗热量为380千卡，列出一元二次方程，根据解的情况，即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：千卡； t分钟总消耗热量是：千卡； 【小问2详解】 解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为整数）， 则总消耗热量为：千卡， 根据题意可列方程，，则， 则总消耗热量为：千卡， 当总消耗热量为380千卡时，，整理可得，， 则，即方程没有实数根， 总消耗热量不可能达到380千卡． 24. 如图，在正方形中，，点E是对角线上的动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，取中点G，连接． ①求的度数； ②若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 由旋转性质得：，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，，根据旋转的性质得到，，可知，即可证明，可知，进而可证； （2）①连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，证明，得到，即可求出的度数； ②延长交于，根据三线合一得到为中点，根据正方形的性质得到，，可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即，根据中位线定理计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①解：如图，连接， 由（1）知， ∵是中点， ∴中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：如图，延长交于， ∵，， ∴为中点， ∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为中点，是中点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $