25.2.1配方法（1）--直接开平方法 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过复习平方根概念及特点导入，以问题链衔接旧知与新知，从具体方程x²=25过渡到一般形式x²=p，再延伸至(mx+n)²=p，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过分类讨论p的取值培养抽象能力，对比“消元”与“降次”体现转化思想发展推理意识，用符号语言表达方程转化过程强化模型意识。实例涵盖基础与拓展练习，助力学生巩固方法，教师可分层教学，提升学生运算能力与应用意识。

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 ----直接开平方法 学习目标 1.能根据平方根的意义解形如 =p 及 a+c=0 的一元二次方程. 2.能运用开平方法解形如 (m+n)2=p (p≥0) 的方程. 3.体会“降次”的数学思想． 复习引入 问题1 什么叫平方根？正数、0、负数的平方根分别有什么特点？ 如果 x²=a，那么 x 叫做 a 的平方根。正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 问题2 16的平方根是____；0的平方根是____；-9有没有平方根？ ±4 0 问题3 如果 x²=25，那么 x=____。 ±5 问题4 x²=25就是在解一个方程。这个方程是一元几次方程？我们能不能用类似的方法解更多的一元二次方程？ 试一试：说出下列方程的解，并说明你所用的方法. 一元二次方程 方程的解 方法 =4 x1=2，x2= –2 根据平方根的意义直接开方 =0 x1= x2= 0 根据平方根的意义直接开方 = – 4 无实数根 负数没有平方根 探究新知 探究新知 【探究1】方程 x²=p 的解法与根的情况 一般地，对于方程 =p， （1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 = ， = – ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 = = 0； （3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有x2 ≥ 0，所以方程无实数根. 思考 为什么 p<0 时无解？能举个例子吗？ 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 判断下列方程有没有实数根，若有，求出根：   ① x²=49    ② x²=0    ③ x²=-3    ④ x²-2=0 探究新知 【探究2】方程 (mx+n)²=p 的解法 探究新知 对照上面解方程 x2=4 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5？ 解：(+3)2=5 直接开平方，得 x+3=±， x+3=+ 或 x+3=- 所以 x1= – 3，x2= – – 3. 知识要点 二元、三元一次方程 一元一次方程 分式方程 消元 去分母 一元二次方程 降次 直接开平方法解一元二次方程，实质上是利用平方根的意义把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 典例解析 例1 解下列方程： （1）4 – 3 = 0； （2）(+2)2 – 9 = 0. 解：移项，并将二次项系数化为1， 得 x2 = . 由此可得 =±. 即 = ，= – . 解：移项，得 (+2)2 = 9. 由此可得 +2=±3， +2=3 或 +2= – 3， 即 =1， = – 5 . 方法小结 利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤为： ①移项，将方程转化为 =n 或 (m+n)2=p (p≥0) 的形式 ②方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程 ③解这两个一元一次方程 ④写出一元二次方程的两个解 课堂练习 1.一元二次方程 (+6)2=16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 +6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A. –6= –4 B. –6=4 C. +6=4 D. +6= –4 D 2.方程 3+9=0 的根为（ ） A. 3 B. – 3 C. ±3 D. 无实数根 D 3.若 8 – 16=0，则 的值是_______. ± 课堂练习 1.一元二次方程 (+6)2=16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 +6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A. –6= –4 B. –6=4 C. +6=4 D. +6= –4 D 2.方程 3+9=0 的根为（ ） A. 3 B. – 3 C. ±3 D. 无实数根 D 3.若 8 – 16=0，则 的值是_______. ± 03 课堂练习 【选自教材第6页 练习】 4.解下列方程： （1） – 9 = 0； （2）2 – 8 = 0； 解：移项，得 =9， 由此可得 =±3， 即 =3， = – 3 . 解：移项，并将二次项系数化为1得 =4， 由此可得 =±2， 即 =2， = – 2 . 03 课堂练习 【选自教材第6页 练习】 4.解下列方程： （3）9 – 5 = 3； （4）(6)2 – 9 = 0； 解：移项，并将二次项系数化为1得 由此可得 即 . 03 课堂练习 【选自教材第6页 练习】 4.解下列方程： （5） 解：移项，并将二次项系数化 为1，得 由此可得， 即 解：将上式变形，得 由此可得 即 03 拓展练习 1.已知方程 有实数根，则与 的关系是（ ） A. 或异号 B. 是的整数倍 C. c=0或同号 D. 2.已知方程 ，则 2=_____. A 13 课堂小结 直接开平方法解一元二次方程 原理 利用平方根的意义 思想 通过“降次”将一元二次方程转化为一元一次方程 课堂小结 $