25.2.1配方法（第1课时 直接开平方法）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦直接开平方法解一元二次方程，涵盖x²=p和(mx+n)²=p型方程求解。课堂导入通过平方根知识回顾，结合“数的平方等于9”问题引出方程x²=9，搭建从平方根到直接开平方法的学习支架，衔接新旧知识。 其亮点是以转化降次思想为核心，通过整体代换将复杂方程转化为一元一次方程，培养数学思维中的推理意识。设置汽车降价、游客增长率等实际问题及中考真题，渗透模型意识，强化数学语言表达。课堂小结归纳易错点，助力学生养成严谨运算习惯，教师可依托系统流程提升教学效率。

25.2降次----解一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 第二十五章 一 元 二 次 方 程 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解直接开平方法的定义和解题依据，熟练掌握用直接开平方法解 和 型一元二次方程的步骤；能准确判断方程是否有实数根，规范书写解题过程. 经历从平方根知识推导方程解法的探究过程，体会一元二次方程“降次转化”的核心思想，提升类比迁移、归纳总结和代数运算能力. 通过新旧知识的衔接探究，感受数学知识的连贯性和逻辑性，体验解题方法的简洁性，增强学习代数的信心，培养严谨细致的运算习惯. 知识回顾 ①什么是平方根？ ②正数、0、负数的平方根各有什么性质？ ③求下列各数的平方根： 如果 x2=a ，则 x 叫作 a 的________. 平方根 如果 x2=a(a≥0)，则 x =________. ± 正数平方根的性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 0 平方根的性质 0 的平方根只有一个，就是 0 本身。 因为0 的平方等于 0。 负数平方根的性质 负数没有平方根。 因为在实数范围内，任何数的平方都是非负数，所以负数无法开平方，即负数没有平方根。 4的平方根为 . ±2 0的平方根为 . 的平方根为 . 的平方根为 . 0 没有平方根 导入新课 (1) 若一个数的平方等于9，这个数是多少？ 形如的方程是最简单的一元二次方程，我们可以利用平方根的知识直接求解，这种方法就是直接开平方法 （2）如果这这个数为，能得到怎样的方程? 直接开平方 这个数是9的平方根± 又∵=9 ∴±= 如何求解x ？ 由平方根定义得x为9的平方根 一元二次方程 新知探究 探究点1 理解解一元二次方程的基本思想 议一议 （2）一元二次方程能把它逐步转化为“x=m”的形式吗? 如能其基本思想是什么？ 一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程. （1）怎样解一元一次方程的？ 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 “x=m”的形式 转化 与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式. 二次方程 一次方程. 转化 降次 5 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 直接开平方法解一元二次方程，实质上是利用平方根的意义把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了. 新知探究 议一议 探究点1 理解解一元二次方程的基本思想 直接开平方法 新知探究 探究点2 探究基础型方程 活 动 怎样解型方程 （1）解方程：， 思考 （2）方程的根有几种情况？由什么决定？ 你是怎样解的？ 由平方根定义得直接开平方 解：＞0 ±2 解： 解： 方程无解 根据平方根性质，方程的根有三种情况，由的正负性决定的 新知探究 探究点2 探究基础型方程 议一议 一般地，对于方程 x2=p， 要点 （3）对方程的根有几种情况？由什么决定？ （1）当 p>0 时， 根据平方根的意义， 方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = – ； （2）当 p=0 时， 方程有两个相等的实数根： x1 = x2 = 0； （3）当 p<0 时， 因为对任意实数x，都有x2 ≥ 0，所以方程无实数根. 8 新知探究 探究点2 探究基础型方程 活 动 用直接开平方法解方程. 01. 移项变形 x2=p 02. 根的判断，由p得值确定 03. 两边开方 04. 化简计算 ，求出平方根 05. 规范写解 明确写出方程的两个实数根， 用下标区分 . ∴方程的解为： . ∴ ∴， ∵ 25>0， 解：移项得， 9 新知探究 探究点3 探究复合型方程 活 动 怎样解型方程 示例：解方程？ 思考 （1）如果把x+1看成一个整体，设其为y，方程变形为什么？ ？ y 直接开平方， y = ±2 x+1 直接将x+1看成一个整体 解：方程两边同时开平方得： =±2 即=2 或 =－2 ∴方程的解为： （2）规范解答： 解方程. 新知探究 探究点3 探究复合型方程 活 动 怎样解型方程 解： 方程两边同除以2,得： ， 方程两边同时开平方得：， ∴ 或 解得： （3）巩固练习： 把看成一个整体 相信你能行 通过“开方降次”将复杂的一元二次方程转化为简单的一元一次方程 新知探究 探究点3 探究复合型方程 议一议 通过开平方降次，转化为两个一元一次方程， 再解两个一元一次方程即得原方程的解. 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 , 当p<0时，方程(mx+n)2=p . 无实数根 一元二次方程 (代数式)2=常数 一元一次方程 转化 开平方 降次 （4）解方程形如 的指导思想是什么？ 新知探究 探究点3 探究复合型方程 议一议 （5）你能归纳出用平方法解一元二次方程的步骤吗？ 解题步骤： ① 整理方程：移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式；化为的标准形式； ② 判断符号：看常数p，是负数没有实数根； ③ 开方降次：整体开平方，得到两个一元一次方程； ④ 求解整理：解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 总结 典例分析 例1 解下列方程： （1）4x2 – 3 = 0； （2）(x+2)2 – 9 = 0. 解：（1）移项， 4x2 = 3 整理方程，得 x2 = . 两边同时开平方： x =±. ∴方程的解为： x1 = ， x2 = – . （2）移项，得 (x+2)2 = 9. 两边同时开平方得：x+2=±3， ∴方程的解为： x1 =1， x2 = – 5 . 即 x+2=3，或 x+2= – 3， 典例分析 例2.解方程： 解：移项，并将二次项系数化为1， 得： 两边同时开平方： 即 ，或， ∴方程的解为： . 新知巩固 教材第6页 解下列方程： （1）x2 – 9 = 0； 解：（1）移项，得： x2=9， 两边同时开平方得： x=±3， ∴ x1=3， x2= – 3 . （3）9x2 – 5 = 3； （3）整理方程得：x2 = ， 两边同时开平方得： x=±， ∴ x1= ， x2= – . （5）3(x – 1)2 – 6 = 0； 方法一 新知巩固 教材第6页 解下列方程： （1）x2 – 9 = 0； （3）9x2 – 5 = 3； （5）3(x – 1)2 – 6 = 0； （5）解：移项，并将二次项系数化为1得： (x – 1)2 = 2， 两边同时开平方得： x – 1=±， 即 x – 1= 或 x – 1= ∴ x1= +1， x2= –+1. （3）移项：9x2 = ， 两边同时开平方得： 3x=± 即 3x = 或 3x = ∴ x1= ， x2= – . 方法二 拓展提升 1.某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率． 解：设月平均降价率是x ，依题意得： ， =±0.9 ， （不符合题意，舍去）， 答：月平均降价率是10% ． 1．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 真题感知 解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得： 25（1+x）2＝36， 解得： x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． B 真题感知 2．（2025•台湾）已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4． 关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（　　） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 A 解：对于方程（x﹣4）2＝9， x﹣4＝±3， 解得x1＝7，x2＝1； 对于方程（x+9）2＝﹣4． ∵负数没有平方根， ∴方程没有实数解． 知识与技能 （1）解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程. （2）掌握了完整解题步骤： 整理方程→判断p的符号→开方降次→求解根， 同时能准确判断方程有无实数根. 课堂小结 思想方法 课堂小结 （1）核心数学思想为转化降次思想： 将一元二次方程通过开平方转化为两个一元一次方程，化未知为已知； （2）运用整体思想，把多项式mx+n看作整体简化运算，这是后续配方法解题的核心思维. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）开平方时必须保留正负号，极易遗漏负根，导致少解一个根； （2）当p<0时，方程无实数根，不可强行开方求解； （3）解方程前需先将方程化为平方等于常数的标准形式，注意系数化为1； （4）p=0时，方程有两个相等的实数根，不可只写一个根. 课后练习 教材第6页 （2）2x2 – 8 = 0； （2）解：整理方程得： x2=4， 两边同时开平方得: x=±2， ∴ x1=2， x2= – 2 . 解下列方程： （4）(x+6)2 – 9 = 0； （4）移项，得: (x+6)2 = 9， 两边同时开平方得： x+6=±3， 即 x+6=3 或 x+6=-3 ∴ x1= – 3， x2= – 9. （6）x2 – 4x+4 = 5. （6）整理方程得 ： (x–2)2 = 5， 两边同时开平方得 ： x – 2=±， ∴ x1= +2， x2= – +2. 完全平方式，可直接化为(x–2)2 课后练习 习题 25.2 教材p17页 1.解下列方程： （1）36x2–1=0； 解：移项，得 36x2=1. 直接开平方，得 6x=±1. ∴ x1= ，x2= – . （2）4x2=49； 解：直接开平方，得 ： 2x=±7. ∴ x1= ，x2= – . （3）(x+5)2=25； （4）x2+2x+1=4. 解：直接开平方，得 ： x+5=±5. 即 x+5=5 或 x+5=－5. ∴ x1= – 10，x2= 0. 解：原方程化为： (x+1)2=4. 直接开平方，得: x+1=±2. 即 x+1=2 或 x+1=－2. 所以 x1=1，x2= – 3 . 25 谢谢聆听 $