第五章 三角函数 强化训练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦第五章三角函数，通过基础巩固与综合应用的梯度设计，适配单元复习检测，强化数学运算与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/30|角度转化（如-1485°化为k·360°+α）、扇形公式应用|基础概念辨析，强化数学运算| |多选|2/12|诱导公式（如cos关系判断）、象限角性质|多角度辨析，培养推理意识| |填空|4/20|单位圆与三角函数（钝角α终边交点）、扇形面积最值|情境化问题，发展直观想象| |解答|3/38|三角恒等变换（sinαcosα-sin²α+1）、三角形内角证明|综合应用，提升逻辑推理能力|

第五章 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. 把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式为(　A　) A. 315°－5×360° B. 45°－4×360° C. －315°－4×360° D. －45°－3×360° 【解析】－1 485°＝315°－5×360°. 2. 在某扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角和扇形面积分别为(　A　) A. 　48 B. 　24 C. 　24 D. 　48 【解析】α＝，S＝l·r＝×12×8＝48. 3. sin 2 025°可化简为(　B　) A. sin 45° B. －sin 45° C. cos 45° D. －cos 45° 【解析】sin 2 025°＝sin(360°×6－135°)＝sin(－135°)＝sin(－180°＋45°)＝ －sin 45°. 4. 若α∈[0，2π)，点A(sin α，cos α)在第二象限，则角α的取值范围是(　D　) A. B. C. D. 【解析】∵点A(sin α，cos α)在第二象限，∴sin α＜0，且cos α＞0，∴角α的终边在第四象限，又α∈[0，2π)，知＜α＜2π. 5. 已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为(　B　) A. B. － C. D. － 【解析】由题意得tan 600°＝－，又tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，∴－，∴a＝－. 6. 已知tan (3π－α)＝，则等于(　D　) A. 1 B. － C. D. － 【解析】∵tan(3π－α)＝tan(2π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝，∴tan α＝－， 又＝－. 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. 下列等式中，不成立的有(　ABD　) A. cos ＝－cos B. sin ＝－sin C. cos ＝－cos D. tan ＝tan 【解析】由诱导公式可知cos ＝cos ，A中等式不成立；sin ＝ sin ＝sin ，B中等式不成立；cos ＝cos ＝cos ＝ －cos ，C中等式成立；tan ＝tan ＝－tan ，D中等式不成立. 8. 已知θ∈(0，π)，cos θ＝－，则下列结论中，正确的有(　AD　) A. θ为第二象限角 B. 为第一象限角或第三象限角 C. tan θ＝－ D. 4sin θcos θ－2cos 2θ＝－ 【解析】∵θ∈(0，π)，cos θ＝－，∴＜θ＜π，θ为第二象限角，A正确； ，则为第一象限角，B错误；∵θ∈(0，π)，cos θ＝－，∴sin θ＝，∴tan θ＝＝－，C错误；4sin θcos θ－2cos 2θ＝4×× －2×＝－，D正确. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 若钝角α的终边与单位圆交点的纵坐标是，则α的弧度数是 　，tan α＝　－　.  【解析】由sin α＝，且α为钝角，易知α＝，则tan α＝tan π＝－tan ＝ －. 10. 如果cos α＝，且α是第四象限角，那么cos ＝ 　.  【解析】cos＝－sin α.∵α是第四象限角，且cos α＝，∴sin α＝ －＝－＝－，∴cos ＝－sin α＝. 11. 已知α∈(0，π)，若cos ＝－，则sin 的值为　－　.  【解析】∵cos ＝－＜0， ∴sin ＝±＝±＝±.∵α∈(0，π)， ∴－α∈(－π，0)，∴－α∈，又cos ＜0，∴－α∈(－π， －)∴sin (－α)＜0，∴sin ＝－，∴sin ＝sin ＝sin ＝－. 12. 在周长为4π的扇形中，当扇形的面积最大时，其弧长为　2π　.  【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝4π，∴r＝(0＜l＜4π)， 则扇形的面积S＝lr＝×l×＝－l2＋πl，根据二次函数的性质可知，当l＝－＝2π时，S取得最大值. 四、解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)已知角α满足sin α＝. (1)求tan α的值； (2)求sin αcos α－sin 2α＋1的值. 解：(1)∵角α满足sin α＝，sin2α＋cos2α＝1，∴cos 2α＝，∴cos α＝±， 可得tan α＝±. (2)易知sin αcos α－sin2α＋1 ＝ ＝ ＝. 由(1)可知tan α＝±，当tan α＝时，原式＝；当tan α＝－时，原式＝. 14. (13分)已知A，B，C为△ABC的内角. (1)证明：cos 2＋cos 2＝1； (2)若cossin tan (C－π)＜0，证明：△ABC为钝角三角形. 证明：(1)∵在△ABC中，A＋B＝π－C，∴， ∴cos ＝cos ＝sin ，∴cos 2＋cos 2＝sin 2＋cos 2＝1. (2)∵cos sin tan(C－π)＜0， ∴－sin A·(－cos B)·tan C＜0，即sin Acos Btan C＜0.又A，B，C∈(0，π)，∴sin A＞0，∴cos Btan C＜0，∴cos B和tan C有一个是负数，∴B，C有一个是钝角.∴△ABC为钝角三角形. 15. (15分)已知x∈(0，π). (1)若，求的值； (2)若sin x＋cos x＝，求cos 2x－sin 2x的值. 解：(1)∵sin 2x＋cos 2x＝1，∴sin 2x＝1－cos 2x，∴sin 2x＝(1＋cos x)(1－cos x).∵x∈(0，π)，∴sin x≠0，1－cos x≠0，∴，又，∴. (2)∵sin x＋cos x＝，∴(sin x＋cos x)2＝，即sin 2x＋cos 2x＋2sin xcos x＝，∴2sin xcos x＝－＜0，又x∈(0，π)，∴sin x＞0，∴cos x＜0，∴cos x－sin x＜0，而(cos x－sin x)2＝sin 2x＋cos 2x－2sin xcos x＝1＋，∴cos x－sin x＝－，∴cos 2x－sin 2x＝(cos x－sin x)·(sin x＋cos x)＝×＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 强化训练 (时间：45分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. 把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式为(　 　) A. 315°－5×360° B. 45°－4×360° C. －315°－4×360° D. －45°－3×360° 2. 在某扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角和扇形面积分别为(　 　) A. 　48 B. 　24 C. 　24 D. 　48 3. sin 2 025°可化简为(　 　) A. sin 45° B. －sin 45° C. cos 45° D. －cos 45° 4. 若α∈[0，2π)，点A(sin α，cos α)在第二象限，则角α的取值范围是(　 　) A. B. C. D. 5. 已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为(　 　) A. B. － C. D. － 6. 已知tan (3π－α)＝，则等于(　 　) A. 1 B. － C. D. － 二、多项选择题(本大题共2小题，每小题6分，共12分) 7. 下列等式中，不成立的有(　 　) A. cos ＝－cos B. sin ＝－sin C. cos ＝－cos D. tan ＝tan 8. 已知θ∈(0，π)，cos θ＝－，则下列结论中，正确的有(　 　) A. θ为第二象限角 B. 为第一象限角或第三象限角 C. tan θ＝－ D. 4sin θcos θ－2cos 2θ＝－ 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9. 若钝角α的终边与单位圆交点的纵坐标是，则α的弧度数是 　，tan α＝　 　.  10. 如果cos α＝，且α是第四象限角，那么cos ＝  　.  11. 已知α∈(0，π)，若cos ＝－，则sin 的值为　 　.  12. 在周长为4π的扇形中，当扇形的面积最大时，其弧长为　 　.  四、解答题(本大题共3小题，共38分) 13. (10分)已知角α满足sin α＝. (1)求tan α的值； (2)求sin αcos α－sin 2α＋1的值. 14. (13分)已知A，B，C为△ABC的内角. (1)证明：cos 2＋cos 2＝1； (2)若cossin tan (C－π)＜0，证明：△ABC为钝角三角形. 15. (15分)已知x∈(0，π). (1)若，求的值； (2)若sin x＋cos x＝，求cos 2x－sin 2x的值. 学科网（北京）股份有限公司 $