精品解析：湖南省长沙市博才实验中学联考2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期七年级期末考试 试题卷•数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中是无理数的是（ ） A. B. -4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据无理数和有理数的定义判断各选项，即可得到答案，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：选项A：是分数，属于有理数，不符合要求； 选项B：是整数，属于有理数，不符合要求； 选项C：是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数，符合要求； 选项D：，是整数，属于有理数，不符合要求． 2. 在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 点的横坐标，纵坐标， 又∵ 平面直角坐标系中，第四象限内点的坐标特征为横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴ 点位于第四象限． 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由得， 由得， 解集在数轴上表示为： ， 则不等式组的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A. 调查俄罗斯世界杯足球赛阿根廷队对法国队在长沙市区的收视率 B. 了解全班同学参加暑假社会实践活动的情况 C. 调查某品牌奶粉的蛋白质含量 D. 了解一批手机电池的使用寿命 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：调查俄罗斯世界杯足球赛阿根廷队对法国队在长沙市区的收视率，适合抽样调查，故A错误； 了解全班同学参加暑假社会实践活动的情况，适合全面调查，故B正确； 调查某品牌奶粉的蛋白质含量，适合抽样调查，故C错误； 了解一批手机电池的使用寿命，适合抽样调查，故D错误； 故选B． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，解题关键在于选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，故A错误； 不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，故B正确； 不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，可得，故C错误； 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故D错误． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 4的算术平方根是2 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定是0或1 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题为基本概念辨析题，根据算术平方根、点到直线的距离、立方根、垂直的定义逐一判断命题真假即可． 【详解】解：对选项A：∵ ，算术平方根为非负平方根，∴ 的算术平方根是，A是真命题； 对选项B：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，∴ B是假命题； 对选项C：立方根等于本身的数是，和，∴ C是假命题； 对选项D：只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少前提，∴ D是假命题． 7. 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠ACD的度数为(　 　) A. 40° B. 35° C. 50° D. 45° 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：已知AD平分∠BAC，∠BAD=70°，根据角平分线定义求出∠BAC=2∠BAD=140°，再由AB∥CD，所以∠ACD=180°﹣∠BAC=40°，故选A． 考点：平行线的性质． 8. 估计的值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵，即， ∴在整数3与整数4之间， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的估算能力，理解算术平方根的意义是解决问题的关键． 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托 （一托按照 5 尺计算）．”大意是：现有一根竿子和一条绳索，如果用绳索去量竿子，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对折后再去量竿子，就比竿短5尺．则绳索长几尺？设竿子长 尺，绳索长 尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设竿子长 尺，绳索长 尺， ∵绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对折后量竿，对折后的绳索长度比竿短5尺，对折后绳索长为， ∴， 因此可列方程组． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2026秒瓢虫在（ ）处 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标求出四边形的周长，则可得到瓢虫绕四边形一周需要的时间为7秒，求出2026除以7的余数即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ， ∴， ∴瓢虫绕四边形一周需要秒， ∵，，且， ∴第2026秒瓢虫在上，且与点B的距离为， ∴第2026秒瓢虫在处，即在处． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，直线a、b相交于点O，， _______度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键掌握对顶角的性质． 利用对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 故答案为：50． 12. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“科”的坐标分别为，则“技”的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵“创”“科”的坐标分别为， ∴建立平面直角坐标系如下： 可知“技”的坐标为． 13. 已知是方程的解，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】知道了方程的解，可以把这组解代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出的值． 【详解】解：把代入方程中，得 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程． 14. 如图，三角形是由三角形通过平移得到，且点，，，在同一条直线上，若，，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得，即可求解． 【详解】解：由平移得， ∴， 故答案为：4． 15. 在平面直角坐标系中，已知轴，且，则点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，已知的长度，点可能在点左侧，也可能在点右侧，分情况计算即可得到点坐标． 【详解】解：轴，点， 点的纵坐标为， ， 情况一：当点在点左侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为； 情况二：当点在点右侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为． 16. 已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19 题每题6分，第20、21 题每题8分，第 22、23 题每题 9分，第 24、25 题每题 10 分，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故方程组的解为． 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为． 20. 如图，点分别在的边上，，点在线段上，且． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ． ； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则由平角的定义可得，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：平分， ， ， （两直线平行，同位角相等）， ， ，， ． 21. 短视频因其交互性强、地域不受限制、受众可划分等特点而广受欢迎，但也不可避免传播了低俗扭曲的不良信息．某市网监办设计了对短视频的态度问卷，四种态度：非常支持、坚决取缔、无所谓、引导管控（以下分别用A，B，C，D表示），调查者在社区对各年龄段居民进行了随机抽查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答： （1）本次参加抽样调查的居民有_________人； （2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中C所对圆心角的度数； （3）若该市某小区有3000人，请根据统计情况，估计该小区非常支持短视频的人数． 【答案】（1）50 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据B类有5人，占，据此即可求得抽查的总人数； （2）利用总数减去其它各组的人数即可求得C类的人数，进而补全条形统计图；用乘所占比例即可求出扇形统计图中C所对圆心角的度数； （3）利用总数3000乘以样本中A组人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：本次参加抽样调查的居民有：（人）； 【小问2详解】 解：C类的人数为：（人）， C类的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该小区非常支持短视频的有900人 22. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）的面积是 ； （3）设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）见解答 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积； （3）当点在轴上时，的面积，解得：．所以点的坐标为或． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积，的面积，的面积． 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：4； 【小问3详解】 点在轴上， 的面积， 即， 解得：． 所以点的坐标为或． 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？ 【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元 （2）学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个 【解析】 【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 由题意可得：，解得， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； 【小问2详解】 解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个， ∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元， ∴， 解得30≤x≤33， ∵x为整数， ∴x的值可为30，31，32，33， ∴共有四种购买方案， 方案一：采购篮球30个，采购足球20个； 方案二：采购篮球31个，采购足球19个； 方案三：采购篮球32个，采购足球18个； 方案四：采购篮球33个，采购足球17个． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． 24. 我们约定：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解都是不等式组的一个解，则称不等式组是不等式组的“博才不等式组”． 例如：不等式组：是不等式组：的“博才不等式组”． （1）已知不等式组：，判断以下不等式组是否是不等式组的“博才不等式组”（是的打√，不是的打×）： ①__________；②__________；③__________； （2）若不等式组：是关于的不等式组：的“博才不等式组”，求的取值范围； （3）若关于的不等式组：是不等式组：的“博才不等式组”且不等式组的所有整数解的和为21，请分别求出，的取值范围． 【答案】（1）①×；②×；③√ （2） （3）、；、；、 【解析】 【分析】（1）先求出各不等式组的解集，根据“博才不等式组”的定义进行判断； （2）先求出各不等式组的解集，根据“博才不等式组”的定义列不等式组即可求解即可； （3）根据“博才不等式组”的定义、结合整数解和为21分类讨论列出不等式组，据此即可求解即可． 【小问1详解】 解：不等式组：， 解得：， ①的解集为：， ①不是不等式组的“博才不等式组”； ②的解集为：， ②不是不等式组的“博才不等式组”； ③的解集为：， ③是不等式组的“博才不等式组”； 【小问2详解】 解：不等式组： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：； 不等式组： 解不等式③得：， 解不等式④得：， 不等式组的解集为：； 不等式组是关于的不等式组的“博才不等式组”， ， 解得：； 【小问3详解】 解：不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：； 不等式组是不等式组：的“博才不等式组”， ， 解得：， 不等式组的整数解是连续整数，和为21，共四种符合条件的情况： ①当整数解为：0，1，2，3，4，5，6，此时和为21， 则， 解得：； ②当整数解为：1，2，3，4，5，6，此时和为21， 则， 解得：； ③当整数解为：6，7，8，此时和为21， 则， 解得：， ④当整数解为：10，11，此时和为21， 则， 解得：， 综上所述，，的取值范围为：、；、；、． 25. 如图，将直角三角形和直角三角形放置在平面直角坐标系中，已知，点，且实数满足． （1）求点的坐标． （2）如图1，点为直线上的动点，连接，设，求的度数（用含的代数式表示）． （3）如图2，点为直线上的动点，连接．请问是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可求坐标，利用绝对值和平方的非负性可求的值，即可求坐标； （2）分类讨论在射线上或在射线上，结合已知条件利用四边形内角和或三角形外角性质求解即可； （3）延长交直线于，可求，设，若，即，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵ ∴， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：若在射线上，如图， ∵， ∴， ∴ 若在线段延长线上，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，为或； 【小问3详解】 解：延长交直线于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， 即 得或， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期七年级期末考试 试题卷•数学 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中是无理数的是（ ） A. B. -4 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点位于第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A. 调查俄罗斯世界杯足球赛阿根廷队对法国队在长沙市区的收视率 B. 了解全班同学参加暑假社会实践活动的情况 C. 调查某品牌奶粉的蛋白质含量 D. 了解一批手机电池的使用寿命 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 4的算术平方根是2 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定是0或1 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7. 如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠ACD的度数为(　 　) A. 40° B. 35° C. 50° D. 45° 8. 估计的值在（　　） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托 （一托按照 5 尺计算）．”大意是：现有一根竿子和一条绳索，如果用绳索去量竿子，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对折后再去量竿子，就比竿短5尺．则绳索长几尺？设竿子长 尺，绳索长 尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2026秒瓢虫在（ ）处 A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，直线a、b相交于点O，， _______度． 12. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“科”的坐标分别为，则“技”的坐标为__________． 13. 已知是方程的解，则______． 14. 如图，三角形是由三角形通过平移得到，且点，，，在同一条直线上，若，，则的长度是______． 15. 在平面直角坐标系中，已知轴，且，则点的坐标为__________． 16. 已知实数和满足，则的值为__________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19 题每题6分，第20、21 题每题8分，第 22、23 题每题 9分，第 24、25 题每题 10 分，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组：． 20. 如图，点分别在的边上，，点在线段上，且． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 21. 短视频因其交互性强、地域不受限制、受众可划分等特点而广受欢迎，但也不可避免传播了低俗扭曲的不良信息．某市网监办设计了对短视频的态度问卷，四种态度：非常支持、坚决取缔、无所谓、引导管控（以下分别用A，B，C，D表示），调查者在社区对各年龄段居民进行了随机抽查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答： （1）本次参加抽样调查的居民有_________人； （2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中C所对圆心角的度数； （3）若该市某小区有3000人，请根据统计情况，估计该小区非常支持短视频的人数． 22. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）的面积是 ； （3）设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？ 24. 我们约定：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解都是不等式组的一个解，则称不等式组是不等式组的“博才不等式组”． 例如：不等式组：是不等式组：的“博才不等式组”． （1）已知不等式组：，判断以下不等式组是否是不等式组的“博才不等式组”（是的打√，不是的打×）： ①__________；②__________；③__________； （2）若不等式组：是关于的不等式组：的“博才不等式组”，求的取值范围； （3）若关于的不等式组：是不等式组：的“博才不等式组”且不等式组的所有整数解的和为21，请分别求出，的取值范围． 25. 如图，将直角三角形和直角三角形放置在平面直角坐标系中，已知，点，且实数满足． （1）求点的坐标． （2）如图1，点为直线上的动点，连接，设，求的度数（用含的代数式表示）． （3）如图2，点为直线上的动点，连接．请问是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $