第二十八章 旋转 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

答案与解析 【例1】 解： 旋转是指图形绕一个点转动，形状、大小不变，方向改变.A．电梯的升降运动是平移现象，不涉及旋转.B．钟表上指针的转动是绕中心点的旋转现象，符合旋转的定义.C．运动员在百米赛跑是平移现象.D．黑板擦在黑板上移动也是平移现象.故选：B 【变式1】 （1）点O （2）点A' （3）∠AOA'、∠BOB'、∠COC' 解：根据旋转的定义，△ABC绕点O旋转得到△A'B'C'，点O是旋转中心。点A旋转后对应点A'，点B对应B'，点C对应C'。旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，即∠AOA'、∠BOB'、∠COC'均为旋转角，且三者相等. 【例2】 解：（1）旋转前后的图形全等，因此△ADE ≌ △ABC，对应角相等， 故 ∠DAE = ∠BAC = 30°.（2）旋转前后对应线段相等，AD是对应线段，AD = AB = 4.（3）点B经过的路径是以A为圆心、AB为半径的一段圆弧，旋转角为60°，路径长为： 【变式2】 解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，∠ABC＝107°， ∴∠ADE＝∠ABC＝107°，∠DAB＝∠EAC＝α， ∵ED∥AB， ∴∠ADE+∠DAB＝180°， ∴α＝∠DAB＝180°﹣107°＝73°． 【例3】 解：(1)如图所示； (2)如图所示. 【变式3】 解：(1)如图所示；△A'B'C如图所示，A'(2，-1)，B'(4，-4)，C'(0，-2). 【例4】解：∵△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△A'B'C'， ∴∠ABC＝∠A'B'C'，AB＝A'B'，OA＝OA'， 故选项A，C正确， ∵∠AOC＝∠A′OC′，故选项B正确． 故选：D． 【变式4】 解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称， ∴OB＝OE， 又∵BO⊥AC ∴D在BE的垂直平分线上， ∴BD＝DE＝6， 故选：B． 【例5】 解：中心对称图形是指绕某点旋转180°后能与自身重合的图形.A．等边三角形旋转180°后不与自身重合，不是中心对称图形.B．正五边形旋转180°后不与自身重合，不是中心对称图形.C．平行四边形绕对角线交点旋转180°后与自身重合，是中心对称图形.D．等腰梯形旋转180°后不与自身重合，不是中心对称图形.故选：C 【变式5】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【例6】 解：在平面直角坐标系xOy中，A（1，﹣2），B两点关于原点对称，则B点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C． 【变式6】 解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，且点A的坐标是（﹣1，﹣3）， ∴点C的坐标是：（1，3）； 故答案为：（1，3）． 综合测评 1．解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．解：在平面直角坐标系中，点P（3，5）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣3，﹣5）． 故选：B． 3．解：∵点A（﹣3，m）和点B（n，3）关于原点对称， ∴m＝﹣3，n＝3， ∴m+n＝﹣3+3＝0， 故选：C． 4．解：如图，点A关于原点的中心对称点是点K， 故选：C． 5．解：∵∠A＝120°，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD， ∴∠AOC＝80°，△OAB≌△OCD， ∴∠C＝∠A＝120°． ∵∠D＝40°， ∴在△OCD中，∠COD＝180°﹣∠C﹣∠D＝180°﹣120°﹣40°＝20°． ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝80°﹣20°＝60°， 故选：C． 6．解：由题意得，点P在第二象限， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故选：C． 7．解：设AC与A'B'交于点D， ∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A'CB'， ∴∠A'＝∠BAC，∠ACA'＝40°， ∵AC⊥A'B'， ∴∠A'DC＝90°， ∴∠A'＝180°﹣∠A'DC﹣∠ACA'＝50°， ∴∠BAC＝50°． 故选：B． 8．解：①如图，当A′B′⊥DE时，设DE与A′B′交点为H，AB与A′B′交点为K， ∵∠A＝60°，∠EBF＝45°，∠C＝∠EFB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°， ∴∠EBK＝∠EBF﹣∠ABC＝15°， ∵A′B′⊥DE， ∴∠HKB＝90°﹣∠EBK＝75°， ∴旋转时间为； ②如图，当B′C′⊥DE时，设DE与B′C′交点为H， ∵∠FHB＝90°，∠HBF＝45°， ∴∠HFB＝45°， ∴旋转时间为； ③如图，当A′C′⊥DE时，设DE与A′C′交点为H，BF与A′H交点为K， ∴∠HKB＝90°﹣∠EBF＝45°， ∵∠HKB＝∠FKC′，B′C′⊥A′H， ∴∠KFC′＝45°， ∴∠CFC′＝180°﹣∠KFC′＝135°， ∴旋转时间为， 故选：D． 9．解：∵， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴点P坐标为（﹣2，3）， ∴点P关于原点对称的点的坐标（2，﹣3）， 故答案为：（2，﹣3）． 10．解：∵AA1＝10cm，BO＝6cm，A1B1＝5cm， ∴AO＝5cm，AB＝A1B1＝5cm， ∴△OAB的周长＝AO+AB+BO＝5+5+6＝16（cm）， 故答案为：16． 11．解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置， ∴AD＝AB＝3，AC＝AE＝5， ∴CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2． 故答案为：2． 12．解：如图所示：根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接BB'和CC'，交点即为对称中心． 故答案为：P． 13．解：∵CC'//AB， ∴∠ACC′＝∠CAB＝66°， ∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置， ∴AC′＝AC，∠BAB′＝∠CAC′， ∴∠AC′C＝∠ACC′＝66°， ∴∠CAC′＝180°﹣66°﹣66°＝48°， ∴∠BAB′＝48°． 故答案为：48°． 14．解：由题知， ∵x轴平分矩形ABCD的面积， ∴x轴经过矩形的中心，即x轴经过AC的中点， ∴点A和点C到x轴的距离相等． ∵点A坐标为（﹣2，4）， ∴点A到x轴的距离为4， ∴点C到x轴的距离为4． 故答案为：4． 15．解：由中心对称图形性质可知AB＝6， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝10×6＝60． 故答案为：60． 16．解：如图，连接OA、OD，则∠AOD＝∠GOE＝90°， ∴∠AOM＝∠DON， ∵ABCD是正方形，O为正方形ABCD的中心， ∴OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°， 在△OAM和△ODN中， ， ∴△OAM≌△ODN（ASA）， ∴S△OAM＝S△ODN， ∴S阴影＝S△ODM+S△ODN＝S△OAM+S△ODM＝S△OAD， ＝S正方形ABCD＝＝． 故答案为：． 17．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 18．解：∵在菱形ABCD中，点O是它的对称中心，OB＝4，OA＝2， 四边形ABCD是菱形，点O是它的对称中心， ∴AO⊥OB，AD＝AB， ∴． 故答案为：2． 19．解：（1）∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC， ∴CE＝BC＝3， ∴AE＝AC﹣CE＝4﹣3＝1； （2）AB⊥DE． 理由如下： ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC，点B的对应点E恰好落在AC上， ∴∠A＝∠D，∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴点D在BC的延长线上， ∵∠B+∠A＝90°， ∴∠B+∠D＝90°， ∴∠DFB＝90°， ∴AB⊥DE． 20．解：C′D′交BC于E点，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转40°得到矩形AB'C'D'， ∴∠DAD′＝40°，∠AD′C′＝∠D＝90°， ∴∠BAD′＝90°﹣40°＝50°， 在四边形ABED′中，∵∠B＝∠AD′E＝90°， ∴∠BED′+∠BAD′＝180°， ∴∠BED′＝180°﹣50°＝130°， ∴∠C′EC＝∠BED′＝130°， 即∠α＝130°． 21．解：（1）∵PQ∥MN， ∴∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠3＝∠CAN， ∴∠4+90°＝∠3， ∵∠2+∠4+90°＝180°， ∴∠2+∠4＝90°， ∴∠1+∠5＝90°． 综上所述，结论正确的是ABD． 故答案为：ABD． （2）在点C的右侧过点C作CF∥MN， ∴CF∥MN∥PQ， ∴∠BCF＝∠BDE＝36°，∠CAM＝∠ACF， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝24°， ∴∠CAM＝24°． 22．解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°， ∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故答案为：75°； （2）①如图，此时，PC′⊥PD， ∴∠DPC＝75°，∠DPC′＝90°， ∴∠CPC′＝75°+90°＝165°， ∴当α等于165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°， 当PC转到与PM重合时，（秒）， 分两种情况： 当PC转到与PD重合前，∠CPD＝∠BPM时， ∴∠CPD＝180°﹣∠BPD﹣∠BPM﹣∠APN﹣∠APC＝180°﹣45°﹣2t°﹣3t°﹣60°＝（75﹣5t）° 当∠CPD＝∠BPM，即2t＝75﹣5t， 解得：秒； 当PC转到与PD重合后，∠CPD＝∠BPM时， ∴∠CPD＝∠BPD+∠BPM+∠APN+∠APC﹣180°＝45°+2t°+3t°+60°﹣180°＝（5t﹣75）° 当∠CPD＝∠BPM，即2t＝5t﹣75， 解得：t＝25秒； ∴当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是或25秒． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章旋转 九上暑假预习讲义 学习目标 1.理解旋转、旋转中心、旋转角的概念，能正确识别旋转现象中的对应元素. 2.掌握旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角；旋转前后的图形全等. 3.会画出一个图形绕某点旋转后的图形，能根据旋转的性质进行简单的几何推理与计算. 4.理解中心对称和中心对称图形的概念，掌握它们的性质，能识别中心对称图形. 5.掌握关于原点对称的点的坐标规律，能利用坐标变换进行图形的中心对称变换. 6.能运用旋转的知识解决实际问题，包括图案设计、几何证明与动态几何问题. 知识点一、旋转的概念 1.旋转的定义： 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做 图形的旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角. 2.旋转的三要素： 旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角. 3.对应元素： 原图形上的点P经过旋转后到达点P'，则点P叫做对应点， 线段OP与OP'叫做对应线段，∠POP'就是旋转角. 4.旋转与平移、轴对称的区别：  平移：图形沿直线方向移动，形状、大小、方向均不变.  轴对称：图形沿一条直线翻折，形状、大小不变，方向改变.  旋转：图形绕一个点转动，形状、大小不变，方向改变. 【例1】下列现象中，属于旋转的是（ ） A.电梯的升降运动 B.钟表上指针的转动 C.运动员在百米赛跑 D.黑板擦在黑板上移动 【变式1】如图，△ABC绕点O旋转得到△A'B'C'，请指出： （1）旋转中心是______； （2）点A的对应点是______； （3）旋转角是______或______或______. 知识点二、旋转的性质 1.对应点到旋转中心的距离相等，即OP=OP'. 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即∠POP'=∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=旋转角. 3.旋转前后的图形全等，即△ABC≌△A'B'C'. 4.旋转前后，对应线段相等，对应角相等. 【例2】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若AB=4，AC=3，∠BAC=30°，求： （1）∠DAE的度数； （2）AD的长度； （3）点B经过的路径长（即的长）. 【变式2】如图，在△ABC中，∠ABC＝107°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若ED//AB，求α的值. 知识点三、旋转作图 1.旋转作图的一般步骤（"找、连、转、截、连"）： （1）找：找出图形中的关键点（如顶点、端点等）. （2）连：将关键点与旋转中心连接. （3）转：以旋转中心为顶点，以关键点与旋转中心的连线为一边，沿旋转方向作出旋转角. （4）截：在旋转角的另一边上截取等于关键点到旋转中心距离的线段，得到对应点. （5）连：按原图形的连接方式顺次连接各对应点，得到旋转后的图形. 2.旋转作图的三种类型： （1）已知原图形和旋转中心、旋转角、旋转方向，画出旋转后的图形. （2）已知原图形和旋转后的图形，确定旋转中心. （3）已知原图形和旋转中心及一个对应点，确定旋转角和旋转方向. 确定旋转中心的方法：分别作两对对应点连线的中垂线，中垂线的交点即为旋转中心. 【例3】如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上. （1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转180°后的. 【变式3】在平面直角坐标系中，已知点A(-1,-2)，B(-4,-4)，C(-2,0)，在平面直角坐标系中画出△ABC，并将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A'B'C'，写出点A'、B'、C'的坐标. 知识点四、中心对称 1.中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点叫做对称中心. 2.中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分. 关于中心对称的两个图形是全等形. 对称点的连线互相平行或在同一条直线上. 3.确定对称中心的方法： 方法1：找出一对对称点，连接后取中点. 方法2：找出两对对称点，分别连接后找交点. 【例4】如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠AOC＝∠A'OC' C．AB＝A'B' D．OA＝OB' 【变式4】如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，连接OB，OE，BD．若BO⊥AC，DE＝6，则BD的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 知识点五、中心对称图形 1.中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 2.中心对称与中心对称图形的区别与联系： （1）区别：中心对称是指两个图形之间的位置关系，中心对称图形是指一个图形自身的特性. （2）联系：若将中心对称的两个图形看成一个整体，则这个整体是中心对称图形. 3.常见中心对称图形举例： 平行四边形（对称中心为对角线交点） 矩形、菱形、正方形（都是特殊的平行四边形，也是中心对称图形） 圆（对称中心为圆心） 正偶数边形（如正六边形、正八边形等） 线段（对称中心为中点） 【例5】下列图形中，是中心对称图形的是（） A.等边三角形 B.正五边形 C.平行四边形 D.等腰梯形 【变式5】窗格作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．下列窗格样式图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 知识点六、关于原点对称的点的坐标 1.关于原点对称的点的坐标规律： 点P(x,y)关于原点对称的点为P'(−x,−y). 2.关于坐标轴对称与关于原点对称的对比： 变换类型 坐标变化规律 关于x轴对称 (x,y)→(x,−y) 关于y轴对称 (x,y)→(−x,y) 关于原点对称 (x,y)→(−x,−y) 【例6】在平面直角坐标系xOy中，A（1，﹣2），B两点关于原点对称，则B点的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1） 【变式6】如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是（﹣1，﹣3），则顶点C的坐标是 　 　 ． 综合测评 1．中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点P（3，5）关于原点的对称点P'的坐标是（　　） A．（﹣3，5） B．（﹣3，﹣5） C．（3，﹣5） D．（﹣5，﹣3） 3．已知点A（﹣3，m）和点B（n，3）关于原点对称，则m+n＝（　　） A．﹣3 B．6 C．0 D．﹣6 4．如图，点A关于原点的中心对称点是（　　） A．点P B．点Q C．点K D．点R 5．如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝120°，∠D＝40°，则∠AOD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 6．已知点P（5a+2，2﹣3a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A'CB'，若AC⊥A'B'，则∠BAC等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．条件不足，无法确定 8．将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边所在直线与DE垂直的时间为（　　） A．5秒或9秒 B．3秒或11秒 C．3秒或5秒或11秒 D．3秒或5秒或9秒 9．若点P（a，b）的坐标满足，则与点P关于原点对称的点的坐标为　 　． 10．如图，△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，已知AA1＝10cm，BO＝6cm，A1B1＝5cm，则△OAB的周长为　 　 ． 11．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，若AB＝3，AE＝5，则CD＝　 　． 12．如图，已知△ABC与△A'B'C'成中心对称，则对称中心是点　 　． 13．如图，在△ABC中，∠CAB＝66°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得CC'//AB，则∠BAB'的度数是　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，4）．若x轴平分矩形ABCD的面积，则点C到x轴的距离是　 　． 15．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C是关于点O的中心对称图形，点A的对称点是A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，若OB＝10，OD＝6，则阴影部分的面积之和　 　． 16．如图，两个边长为9的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的对称中心，则图中阴影部分的面积为　 　． 17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长都为1个单位长度． （1）画出△ABC关于y轴对称的图形后向下平移1个单位得到的△A1B1C1； （2）画出△ABC关于原点中心对称的图形△A2B2C2． 18．如图，在菱形ABCD中，点O是它的对称中心，若OA＝2，OB＝4，求AD的长． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在AC上，延长DE交AB于点F．已知BC＝3，AC＝4． （1）求AE的长； （2）判断AB与DE的位置关系，并说明理由． 20．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转40°得到矩形AB'C'D'，求图中∠α的度数． 21．将一个直角三角板与两边平行的纸条如图1放置，且∠CAB＝90°，∠C＝60°． （1）下列结论中正确的是 ． A．∠1＝∠2 B．∠1+∠5＝90° C．∠1＝∠4 D．∠4+90°＝∠3 （2）将三角板旋转到如图2所示位置，若∠BDE＝36°，求∠CAM的度数． 22．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　 　 ； （2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），当α等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $