第二十八章 旋转 习题课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“旋转”核心内容，涵盖尺规作图、计算与证明，以福建热点题型为载体。通过经典例题导入旋转性质应用，变式训练衔接矩形、三角形等综合知识，构建从基础到培优的学习支架。 其亮点在于以几何直观和推理能力为核心，采用“作图-证明-计算”递进设计。如经典例题中α=60°时三点共线的全等与等边三角形推理，变式训练中矩形旋转后面积计算的几何量转化，培养学生空间观念。助力学生提升综合解题能力，为教师提供贴合考情的分层教学素材。

第二十八章　旋转 培优精练22　旋转中的最值问题(全国热点) 类型1　构旋转→化归“费马点”之两点之间线段最短 1.如图，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，连接PA，PB，PC，若AB＝3，则PA＋PB＋PC的最小值为_____. 1 2 3 4 5 (第1题) 3 返回首页 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，AB＝3. ∴BC＝2AB＝6，AC＝＝3. 由旋转的性质可知PA＝EF，△PBF，△ABE是等边三角形. ∴FP＝PB. ∴PA＋PB＋PC＝EF＋FP＋PC. (第1题) 解析：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△EBF，连接PF，PE，AE，作EH⊥CA交CA的延长线于点H. 1 2 3 4 5 返回首页 ∵EF＋FP＋PC≥CE， (第1题) ∴当C，P，F，E四点共线时，PA＋PB＋PC的值最小. 1 2 3 4 5 ∵∠BAC＝90°，∠BAE＝60°， ∴∠HAE＝180°－90°－60°＝30°. ∵EH⊥AH， AE＝AB＝3， 返回首页 ∴EH＝AE＝， AH＝＝. ∴CE＝ ＝＝3. ∴PA＋PB＋PC的最小值为3. (第1题) 1 2 3 4 5 返回首页 类型2　构旋转→化归“三边关系”之两点之间线段最短 2.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长度的最大值为___. (第2题) 5 1 2 3 4 5 返回首页 解析：如图，在AB的左侧作等边三角形ABK，连接DK. ∴∠KAB＝60°，AK＝AB. ∵AC＝AD，∠ACD＝60°， ∴△ACD是等边三角形. ∴∠DAC＝60°. ∴∠DAC＝∠KAB. ∴∠DAK＝∠CAB. 在△DAK和△CAB中， (第2题) 1 2 3 4 5 返回首页 ∴△DAK≌△CAB(SAS). ∴DK＝BC＝2. ∵DK＋KB≥BD，DK＝2，KB＝AB＝3， ∴当D，K，B三点共线时，BD的值最大，最大值为DK＋KB＝5. (第2题) 1 2 3 4 5 返回首页 3.如图，在直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点D，E分别在AB，AC上，且AD＝CE，当BE＋CD的值最小时，AD的长为___. (第3题) 2 1 2 3 4 5 返回首页 解析：将AC绕点C顺时针旋转90°得到CH，连接EH，BH，BH交AC于点O，如图所示. ∵∠A＝∠ACH＝90°，AD＝CE，AC＝CH， ∴△ACD≌△CHE(SAS). ∴CD＝EH. ∴BE＋CD＝BE＋EH. ∵BE＋EH≥BH， ∴当且仅当B，E，H三点共线时，BE＋CD的值最小，最小值为BH，此时E与O重合. (第3题) 1 2 3 4 5 返回首页 ∵AB＝AC＝4，AC＝CH， ∴AB＝CH. ∵∠A＝∠ACH＝90°，AB＝CH，∠AOB＝∠COH， ∴△ABO≌△CHO(AAS). ∴AO＝CO. ∵AC＝4， ∴AO＝CO＝2，此时CE＝2. ∴AD＝2. (第3题) 1 2 3 4 5 返回首页 类型3　构旋转全等→垂线段最短 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D是边CB上的动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AP，连接CP，则线段CP长度的最小值为___. (第4题) 3 1 2 3 4 5 返回首页 解析：方法1　如图，延长AC到点E，使CE＝AC，连接BE，EP. 又∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴BC垂直平分AE，∠BAE＝60°. ∴BA＝BE. ∴△ABE是等边三角形. ∴AB＝AE. ∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AP， 1 2 3 4 5 返回首页 ∴∠DAB＝∠PAE. ∴△BAD≌△EAP(SAS). ∴∠AEP＝∠ABD＝30°. ∴当CP⊥EP时，CP最小. ∴CP最小＝CE＝AC＝3. 1 2 3 4 5 ∴AD＝AP，∠DAP＝60°. 返回首页 方法2　如图，在AB上取一点K，使得AK＝AC＝6，连接CK，DK. ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAK＝60°，AB＝12. ∴∠PAD＝∠CAK，KB＝6. ∴∠PAC＝∠DAK. ∵PA＝DA，CA＝KA， ∴△PAC≌△DAK(SAS). 1 2 3 4 5 返回首页 ∴PC＝DK. 当KD⊥BC时，KD的值最小， 最小值为KB＝3， ∴线段CP长度的最小值为3. 1 2 3 4 5 返回首页 类型4　函数建模 5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，点D是边AB上一动点(点B除外)，DC绕点D逆时针旋转90°，得到DE，则△BDE面积的最大值为___. (第5题) 8 1 2 3 4 5 返回首页 解析：如图，过点E作EG⊥BA，交BA的延长线于点G，过点C作CH⊥BA，交BA的延长线于点H，作AQ⊥CB于点Q， ∴∠EGD＝∠CHD＝∠CDE＝90°，CD＝DE. ∴∠HCD＋∠CDH＝90°，∠CDH＋∠EDG＝90°. ∴∠HCD＝∠EDG. (第5题) 1 2 3 4 5 ∴△HCD≌△GDE(AAS). ∴EG＝DH. 返回首页 ∵AC＝AB＝5，AQ⊥CB，BC＝4. ∴CQ＝BQ＝2. 由勾股定理，得AQ＝＝. ∴CB×AQ＝AB×CH. ∴4×＝5CH. ∴CH＝4. (第5题) 1 2 3 4 5 返回首页 在Rt△ACH中， AH＝＝3. 设BD＝x，则AD＝5－x. ∴DH＝EG＝8－x. ∴S△BDE＝BD×EG＝x•(8－x)＝－x2＋4x. ∴当x＝－＝4时，△BDE的面积最大，最大值为8. (第5题) 1 2 3 4 5 返回首页 $第二十八章　旋转 培优精练20　 尺规作图与计算、证明(福建热点) (2026厦门灌口中学期中)如图，在△ABC中，AC＝BC，CD是中线，∠ABE＝α(0°＜α＜90°)，把△BDC绕点B顺时针旋转α得到△BEF，点C，D的对应点分别为点F，E. 解：如图，△BEF即为所求作. (1)画出旋转后的△BEF；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 返回首页 (2)若α＝60°，求证：A，E，F三点共线. 解：证明：如图，连接AE，DE. ∵∠ABE＝α＝60°，BD＝BE， ∴△BDE是等边三角形. ∴DE＝DB，∠BED＝∠BDE＝60°. ∵AC＝BC，CD是中线， ∴∠CDB＝90°，AD＝DB＝DE. 返回首页 ∴∠AEB＝90°. 由(1)可知，△BDC≌△BEF. ∴∠BEF＝∠BDC＝90°. ∴A，E，F三点共线. ∴∠DAE＝∠DEA＝30°. 返回首页 1.(2026福州闽清期中)在矩形ABCD中，点E在AD边上，∠ABE＝60°，将△ABE绕点B顺时针旋转得到△FBG，使点A的对应点F在线段BE上. (1)请在图中作出△FBG；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 1 2 解：如图，△FBG即为所求作. 返回首页 (2)FG与BC交于点Q，连接EG，EQ，若AB＝2，求△EQG的面积. 解：如图，FG与BC交于点Q，连接EG，EQ. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°. ∵AB＝2，∠ABE＝60°， ∴∠AEB＝90°－∠ABE＝30°. ∴BE＝2AB＝4. 1 2 返回首页 1 2 ∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝2. 由旋转，得∠BFG＝90°，FG＝AE＝2，BF＝AB＝2. ∴EF＝BE－BF＝2. ∵∠FBQ＝90°－∠ABE＝30°， ∴BQ＝2FQ. 在Rt△BFQ中， BF2＝BQ2－FQ2＝(2FQ)2－FQ2＝3FQ2， 返回首页 即3FQ2＝22. ∴FQ＝. ∴QG＝FG－FQ＝2－＝. ∴S△EQG＝QG•EF＝××2＝. 1 2 返回首页 2.(2026福州一检)如图，在△ABC中，AD是中线. 解：如图，△AEF即为所求作. (1)将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEF，其中E是点B的对应点，点D的对应点G恰好落在CB的延长线上，请用无刻度直尺与圆规作出旋转后的△AEF；(不写作法，保留作图痕迹) 1 2 返回首页 (2)在(1)的条件下，连接EB，FB，若∠EBF＝90°，求∠ABC的 大小. 解：如图，连接AG. ∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AEF， ∴△ABC≌△AEF. ∴BC＝EF. ∵AD为△ABC的中线，点D的对应点G恰好在CB的延长线上， ∴BD＝BC，G为EF的中点，AD＝AG. 1 2 返回首页 ∴BG＝EF. ∴BG＝BD， 即AB为△ADG的中线. ∴AB⊥DG. ∴∠ABC＝90°. 1 2 ∵∠EBF＝90°， 返回首页 $第二十八章　旋转 培优精练21　再识半角模型 【初步探究】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF.若∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG.易证：△AEF≌△AEG. 则①∠EAG＝____°； ②线段BE，EF，DF之间满足的数量关系为_______________. 45 BE＋DF＝EF 返回首页 【迁移探究】(2)如图2，在正方形ABCD中，若点E在射线CB上，点F在射线DC上，∠EAF＝45°，猜想线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明你的结论. 解：BE＋EF＝DF. 证明：如图2，在DC上截取DH＝BE，连接AH. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ADH＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴∠ABE＝∠ADH＝90°. 返回首页 在△ABE和△ADH中， ∴△ABE≌△ADH(SAS). ∴AE＝AH，∠BAE＝∠DAH. ∴∠BAE＋∠BAH＝∠BAH＋∠DAH＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAH＝45°. 即∠EAH＝∠BAD＝90°. 返回首页 在△EAF和△HAF中， ∴△EAF≌△HAF(SAS). ∴EF＝HF. ∵DH＋HF＝DF， ∴BE＋EF＝DF. 返回首页 【拓展探索】(3)如图3，已知正方形ABCD的边长为3，∠EAF＝45°，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若点M恰好为线段BD的三等分点，且BM＜DM，求线段MN的长. 解：如图3，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，连接KM. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝3，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°. ∴BD＝＝6. 返回首页 ∴BM＝BD＝2，DM＝BD－BM＝4. 由旋转的性质，得△ADN≌△ABK，∠KAN＝90°. ∴AK＝AN，BK＝DN，∠ABK＝∠ADB＝45°. ∴∠KBM＝∠ABK＋∠ABD＝90°. ∵∠KAN＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠KAM＝∠MAN＝45°. 又AM＝AM，AK＝AN， ∴△AMK≌△AMN(SAS). 返回首页 ∴MK＝MN. 设MK＝MN＝x，则BK＝DN＝4－x. 在Rt△BMK中，BK2＋BM2＝MK2. ∴(4－x)2＋22＝x2. 解得x＝2.5. ∴MN＝2.5. 返回首页 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D，E在线段BC上，∠DAE＝60°.若BD∶CE＝1∶2，求∠ADE的度数. 1 2 解：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转120°，得△AFB，连接DF，取BF的中点G，连接DG. ∴△ABF≌△ACE. ∴∠ABF＝∠ACE，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，BF＝CE. ∵∠BAC＝120°，AB＝AC， 返回首页 ∴∠ABC＝∠ACB＝30°. ∴∠ABF＝30°. ∴∠FBD＝∠ABC＋∠ABF＝60°. ∵BD∶CE＝1∶2， ∴设BD＝x，则BF＝CE＝2x. ∴BG＝FG＝x＝BD. ∴△BGD是等边三角形. ∴DG＝BG＝GF， ∠BDG＝∠BGD＝60°. 1 2 返回首页 ∴∠GFD＝∠GDF＝∠BGD＝30°. ∴∠BDF＝90°＝∠CDF. ∵∠DAE＝60°， ∴∠BAD＋∠CAE＝60°. ∴∠DAF＝∠BAD＋∠BAF＝∠BAD＋∠CAE＝60°＝∠DAE. 又AD＝AD，AF＝AE， ∴△ADF≌△ADE. ∴∠ADE＝∠ADF＝∠CDF＝45°. 1 2 返回首页 2.如图，直线l上从左至右依次有B，E，C，D四点，且BE＝2CD，以BC为边作等边三角形ABC.若∠DAE＝30°，DE＝，求BE的长. 解：在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝120°. 如图，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABF，连接EF，取BE的中点G，连接FG. 1 2 返回首页 ∴△ABF≌△ACD. ∴∠ABF＝∠ACD＝120°，AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，BF＝CD. ∴∠FBD＝∠ABF－∠ABC＝60°. ∵BE＝2CD， ∴设CD＝x，则BE＝2x，BF＝x. ∴BG＝EG＝BE＝x＝BF. ∴△BGF是等边三角形. 1 2 返回首页 ∴∠GFE＝∠GEF＝∠BGF＝30°. ∴∠BFE＝90°. ∴EF＝＝x. ∵∠DAE＝30°， ∴∠BAF＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE＝30°. ∴∠EAF＝∠BAC－∠BAF－∠CAE＝30°＝∠DAE. 又AF＝AD，AE＝AE. 1 2 ∴BF＝FG＝BG＝EG，∠BGF＝∠BFG＝60°. 返回首页 ∴△AEF≌△AED. ∴EF＝DE. ∵DE＝， ∴x＝. ∴x＝1. ∴BE＝2. 1 2 返回首页 $第二十八章　旋转 培优精练23　旋转综合题(福建热点) (2026厦门双十中学月考)已知△ABC，△ADE都是等边三角形. (1)如图1，将△ADE绕点A逆时针旋转，D在△ABC内，连接BD，CE，求证：BD＝CE. 返回首页 解：证明：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. ∴△ABD≌△ACE(SAS). ∴BD＝CE. 返回首页 (2)如图2，若∠AEC＝n°，ED的延长线交BC于点P，探究：n为何值时，P恰好是BC的中点？请证明你的结论. 解：n＝90时，P恰好是BC的中点. 证明：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝60°. 返回首页 如备用图，延长EP至点F，使得PF＝DP. ∵P是BC的中点， ∴BP＝PC. 又∠BPD＝∠CPF， ∴△BPD≌△CPF(SAS). ∴CF＝BD，∠PCF＝∠DBP. 由(1)，得△ABD≌△ACE(SAS). ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. ∴CE＝CF. 返回首页 ∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACB＋∠PCF ＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBP ＝∠ACB＋∠ABC＝120°. ∴∠CEF＝(180°－∠ECF)＝30°. ∵∠AED＝60°， ∴∠AEC＝∠AED＋∠FEC＝60°＋30°＝90°. ∴n＝90. 返回首页 (3)若AB＝2，AD＝2，将△ADE绕点A旋转一周的过程中，当∠AEB＝60°时，CE的长为________. 2或2 返回首页 (2026福州文博中学月考)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD.点F在线段BD上，连接CF交AE于点H. (1)①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 返回首页 解：∠CAE＝∠CBD. 证明：在△CAE和△CBD中， ， ∴△CAE≌△CBD(SAS). ∴∠CAE＝∠CBD. 返回首页 ②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF. 解：证明：∵CF⊥AE， ∴∠CAE＋∠ACF＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＋∠ACF＝90°. ∴∠BCF＝∠CAE. ∵△CAE≌△CBD， ∴∠CBD＝∠CAE，AE＝BD. 返回首页 ∴∠BCF＝∠CBD. ∵∠CBD＋∠CDB＝90°，∠BCF＋∠DCF＝90°， ∴∠CDF＝∠DCF. ∴CF＝BF＝DF. ∴BD＝2CF，即AE＝2CF. 返回首页 (2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，如图2.若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 解：若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立. 证明：延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图2所示. 返回首页 ∵F是BD的中点， ∴DF＝BF. 在△CDF和△GBF中， ， ∴△CDF≌△GBF(SAS). ∴CD＝BG，∠DCF＝∠G. 返回首页 ∴CD∥BG. ∴∠DCB＋∠CBG＝180°. ∵△CDE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)， ∴∠ACD＝∠BCE＝α. ∴∠DCB＝90°－α，∠ACE＝90°＋α. ∵∠CBG＝180°－∠DCB＝90°＋α， ∴∠ACE＝∠CBG. 返回首页 在△ACE和△CBG中， ， ∴△ACE≌△CBG(SAS). ∴AE＝CG. ∵FG＝FC， ∴AE＝CG＝2CF. 返回首页 $