第04讲 认识一元二次方程（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假九年级数学衔接讲义（北师大版）

第04讲 认识一元二次方程（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的定义 典型例题二 化成一元二次方程的一般式 典型例题三 判断是否是一元二次方程 典型例题四 由一元二次方程的定义求参数 典型例题五 判断是否是一元二次方程的解 典型例题六 由一元二次方程的解求参数 典型例题七 一元二次方程的解的估算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列方程中，关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）写出一个一次项系数是3的一元二次方程，你写出的是______．（写出一个即可） 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 【即时训练】 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）将方程化为一般形式，正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）一元二次方程化为一般式为___________． 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若方程□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是______．（写一种即可） 【例4】（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）若关于x的一元二次方程 的常数项是0，则 ___． 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）已知方程是关于x的一元二次方程，求m的值． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 3．（25-26八年级下·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 【典型例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（   ） A．5 B． C．2 D． 【例3】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在一元二次方程中，当二次项系数为1时，一次项系数是___________ 【例4】（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）一元二次方程 的二次项系数是__  ，一次项系数是____，常数项是______． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 3．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 【典型例题三 判断是否是一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是______． 【例4】（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为________． 1．（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 3．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【典型例题四 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·吉林·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·山西·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A．任意实数 B． C． D． 【例3】 （25-26九年级上·四川绵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则____． 【例4】（25-26九年级上·湖北·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）关于的方程是一元二次方程，求的值． 2．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【典型例题五 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 【例3】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 【例4】（25-26九年级上·浙江台州·期中）小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 1．（25-26九年级上·全国·期末）已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 3．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【典型例题六 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）若是关于x的方程的一个根，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程的一个解为，则实数t的值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．0 【例3】 （24-25九年级上·重庆璧山·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是_____． 【例4】（25-26九年级上·江苏淮安·期末）若m是一元二次方程的一个根，则多项式的值为______． 1．（24-25九年级下·全国·暑假作业）若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 3．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【典型例题七 一元二次方程的解的估算】 【例1】（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【例2】（25-26九年级上·全国·期中）下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况．请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程（均为常数）的解是，则关于x的一元二次方程的解是_______． 【例4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是___________． 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 2．（2025九年级上·全国·专题练习）在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定的值，对于方程，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，， 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 4．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 5．（25-26九年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 6．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：_______________． 7．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为______． 8．（25-26九年级上·江西上饶·期中）将一元二次方程 化为一般形式，已知该方程的二次项系数为2，则常数项是_________． 9．（2026·青海西宁·一模）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 11．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，求的值． 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 15．（24-25九年级上·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 认识一元二次方程（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的定义 典型例题二 化成一元二次方程的一般式 典型例题三 判断是否是一元二次方程 典型例题四 由一元二次方程的定义求参数 典型例题五 判断是否是一元二次方程的解 典型例题六 由一元二次方程的解求参数 典型例题七 一元二次方程的解的估算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列方程中，关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可. 【详解】解：A、是一元二次方程； B、含有2个未知数，不是一元二次方程； C、当时，方程不是一元二次方程； D、含有2个未知数，且含有分式，不含2次项，不是一元二次方程. 2．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）写出一个一次项系数是3的一元二次方程，你写出的是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，对于一元二次方程，为二次项系数，为一次项系数，为常数项．据此即可求解． 【详解】解：是一次项系数是3的一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一） 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 【即时训练】 1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）将方程化为一般形式，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 通过移项即可整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 2．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）一元二次方程化为一般式为___________． 【答案】 【详解】解：， 展开完全平方得， 移项、合并同类项得． 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项，方程的未知数最高次数为，不符合一元二次方程的定义； 选项，方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项，方程含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项，方程只含有个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，整理为，符合一元二次方程的定义，符合题意． 【例2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，逐个判断每个方程是否符合即可． 【详解】解：1．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 2．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 3．对于方程 ∵展开整理得，化简为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 4．对于方程 ∵展开整理得，移项合并同类项得，未知数最高次数为1 ∴不是一元二次方程． 综上，是一元二次方程的有3个． 故选：C． 【例3】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）若方程□是关于x的一元二次方程，则“□”可以是______．（写一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程□是关于x的一元二次方程， ∴“□”可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【例4】（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）若关于x的一元二次方程 的常数项是0，则 ___． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据题意可得，且，求出解即可. 【详解】解：∵一元二次方程的常数项是0， ∴，且， 解得. 故答案为：. 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）已知方程是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由已知得． 时，方程为，符合题意； 时，方程为，不符合题意，舍去． ∴时，原方程是一元二次方程． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 3．（25-26八年级下·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 【答案】(1)是 (2)不是  是 【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键． （1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断； （2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：由题意可得， 整理，得， 是一元二次方程． （2）解：由题意可得， 整理，得． 当时，， 不是方程的根． 当时，， 是方程的根． 【典型例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 将方程整理成一般形式后作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴一般形式为，其中． 故选：B． 【例3】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在一元二次方程中，当二次项系数为1时，一次项系数是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式， 先将一元二次方程化为一般形式，再根据一次项系数定义解答即可. 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 可知二次项系数为1，一次项系数为. 故答案为：. 【例4】（25-26九年级上·四川自贡·阶段检测）一元二次方程 的二次项系数是__  ，一次项系数是____，常数项是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 化为一般形式，然后根据一元二次方程的概念进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：原方程可化为：， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是 故答案为：；； 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3)，0；过程见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 3．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）将展开后合并同类项即可得解； （2）将展开后合并同类项即可得解； （3）将展开后合并同类项可求得，， 然后利用完全平方公式建立方程，可解得的值，同理可得，的值，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 是由变形得到的， ， ， 故的值为； （2）解：，，，， 猜想，证明如下： ， ， ， 是由变形得到的， ， 故m与n满足的等量关系为； （3）解：， ， ， 是由变形得到的， ，， ， ， 同理可得，，， ， ， ． 故的值为． 【典型例题三 判断是否是一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是______． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 【例4】（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 1．（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 3．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 【典型例题四 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·吉林·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得且，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：B 【例2】（24-25九年级上·山西·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A．任意实数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的多项式方程，解决本题的关键是熟悉并掌握一元二次的定义． 根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故选B． 【例3】 （25-26九年级上·四川绵阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，二次项指数必须为2且系数不为零计算即可． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且， 解方程，得或， 因为，所以， 因此． 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·湖北·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，熟练掌握一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程定义得出且，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为： 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，依题意得，然后求出的值即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，得， 由，得，解得， 又因为，即， 所以的值为， ∴当时，方程是一元二次方程． 2．（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 【典型例题五 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”，一元二次方程的解．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解，即可进行解答． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、，是一元二次方程，当时，，故该选项不符合题意； D、，是一元二次方程，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是根据表格直接得到解，能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立， 即该方程的根是． 故选：C． 【例3】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 【答案】4 【分析】先把代入方程，再化简，最后整体代入求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ， ． 【例4】（25-26九年级上·浙江台州·期中）小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，熟记方程的解是使等式成立的的值是解决问题的关键． 通过表格数据，当的取值使等号两边式子相等时，该即为一元二次方程的解． 【详解】解：由表可知，当时，等号左边的值等号右边的值， 是一元二次方程的解， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·全国·期末）已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 【答案】没有公共根，见解析 【分析】本题考查了方程组的解，解题的关键是掌握两个方程的公共根即为两个方程组成的方程组的根； 设关于x的方程 与 有公共根，公共根为 ，推出或，结合题目条件得出，将其代入①，即可得出结论． 【详解】解：没有公共根，理由如下： 不妨设关于x的方程 与 有公共根， 设公共根为 ， 则有 得， ∴或， ，， ，，则 假设 ， 则，即，与矛盾， ， ， ∴， ， 将 代入①得 ， ∵ ，所以 均为正数，其和 必大于0， ∴ ，不成立，产生矛盾不符合题意， 关于 的两个方程没有公共根． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“换根法”是解题的关键． （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （3）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得， 整理得，， ∴所求方程为． 3．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 【典型例题六 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）若是关于x的方程的一个根，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根及代数式求值：将根代入方程得到关系式，进而求出的值，再计算表达式． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程的一个解为，则实数t的值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义，方程的解满足方程等式，将已知解代入原方程即可求出参数的值. 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入原方程，得， ∴. 【例3】 （24-25九年级上·重庆璧山·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是_____． 【答案】6 【分析】将根代入一元二次方程得到，整体代入所求代数式即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入方程得， 整理得， ∴． 【例4】（25-26九年级上·江苏淮安·期末）若m是一元二次方程的一个根，则多项式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根、求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义可得，则，再整体代入到多项式求值即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25九年级下·全国·暑假作业）若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解． 【答案】， 【分析】本题考查了方程的解，解含参数的一元二次方程，利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，即可求解．理解方程的解，能熟练解含参数的一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得：， 关于的方程的解是，， ，， 方程的解为， ， ，． 2．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 【典型例题七 一元二次方程的解的估算】 【例1】（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于时，有，于是可判断此方程必有一根为． 【详解】解：当时，，则， 所以若，则此方程必有一根为． 故选：B． 【例2】（25-26九年级上·全国·期中）下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况．请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是（ ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：B 【例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程（均为常数）的解是，则关于x的一元二次方程的解是_______． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是找出两个方程的联系，利用换元法求解． 把后面一个方程中的看作整体，用y来表示，相当于前面一个方程中的x的解．从而解出后面这个方程的解. 【详解】解：设． 由题意，得方程的解是，. 关于的方程的解满足，. 解得,． 故答案为：, ． 【例4】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 1．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：是x的一元二次方程，且一个根是0， 故，即， 将代入， 即， 解得， 由于， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定的值，对于方程，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程化为的形式即可得到答案． 【详解】解：化为一般式为， ∴，，． 故选：D． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值．利用方程解的定义对代数式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 4．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 5．（25-26九年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 6．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：_______________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程可以是： ．（答案不唯一） 7．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零进行求解即可． 【详解】解：由于方程是关于的一元二次方程，因此二次项系数，解得； 故答案为 ． 8．（25-26九年级上·江西上饶·期中）将一元二次方程 化为一般形式，已知该方程的二次项系数为2，则常数项是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，常数项即为方程中的常数项． 【详解】解：将方程移项，得， 所以常数项为． 故答案为：． 9．（2026·青海西宁·一模）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________． 【答案】2026 【分析】将方程整理为，再利用已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：由方程得到：， 由于方程的其中一根为， 则， 解得， 因此，关于x的方程的其中一个根为2026． 10．（25-26九年级上·四川成都·期中）小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 11．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程，特别注意二次项系数不为，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：． 12．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 15．（24-25九年级上·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 学科网（北京）股份有限公司 $