专题03正方形的性质与判定（暑假预习讲义）2026-2027学年北师大版数学九年级上册.

专题03正方形的性质与判定 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 基础认知：正方形的定义，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形四者的从属包含关系 核心性质：继承平行四边形、矩形、菱形全部性质 + 正方形专属特殊性质 + 对称性完整总结 判定方法：从平行四边形、矩形、菱形三个维度出发，掌握正方形所有判定定理 综合应用：利用正方形性质与判定进行角度、线段计算与几何证明，解决特殊四边形综合题型 ✅正方形是“既是矩形又是菱形”的特殊平行四边形，因此兼具矩形、菱形所有特征，本节核心学习逻辑：依托定义掌握性质，依托性质反向判定，最终实现综合解题应用。 ✺学习目标 正方形基础认知：理解正方形的定义，精准理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系与区别，明确正方形的特殊地位。 正方形核心性质：熟练掌握正方形的全部性质，包含边、角、对角线、对称性特征，能够用规范文字和几何符号语言表述性质，区分正方形与矩形、菱形的异同。 正方形判定方法：熟练掌握正方形多维度判定定理，能根据题干已知条件（平行四边形、矩形、菱形背景）灵活选择最优判定方法，规避判定易错点。 综合应用：能运用正方形性质与判定完成线段、角度的基础计算与几何证明，具备特殊四边形综合辨析与解题能力。 ✺题型归纳 题型1.正方形性质理解 题型2.根据正方形的性质求角度 题型3.根据正方形的性质求线段长 题型4.根据正方形的性质求面积 题型5.根据正方形的性质证明 题型6.正方形折叠问题 题型7.求正方形重叠部分面积 题型8.正方形的判定定理理解 题型9.添一个条件使四边形是正方形 题型10.证明四边形是正方形 题型11.根据正方形的性质与判定求角度 题型12.根据正方形的性质与判定求线段长 题型13.根据正方形的性质与判定求面积 题型14.根据正方形的性质与判定证明 题型15.中点四边形 题型16.（特殊）平行四边形的动点问题 题型17.利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型18.四边形中的线段最值问题 题型19.四边形其他综合问题 题型20.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：正方形的定义与图形关系 1.正方形定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形，所以，正方形既是矩形，又是菱形。 2.四者从属关系 知识点二：正方形的核心性质 正方形既有矩形的性质，又有菱形的全部性质，同时具备自身专属性质，是性质最完备的特殊平行四边形。 1.通用继承性质 继承平行四边形性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分； 继承矩形性质：四个角都是直角、对角线相等； 继承菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角。 2.正方形专属性质 性质类型 文字性质描述 边 四条边全部相等，两组对边分别平行 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴；是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。 知识点三：正方形的判定方法 正方形判定分为三大维度：从平行四边形判定、从矩形判定、从菱形判定，共6种常用判定方法： 判定维度 文字判定定理 定义法（平行四边形） 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 矩形基础判定 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形基础判定 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形基础判定 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形基础判定 对角线相等的菱形是正方形 任意四边形判定 四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 ✺题型◆精讲 题型1.正方形性质理解 1．如图，点E是矩形的边上一点，将沿着对折，点D恰好折叠到边上的点F处，若，，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】由矩形性质得，，．由折叠得，．由勾股定理求，故．设，则，由勾股定理列方程，解得，即． 【详解】解： ∵四边形是矩形， ∴，，． 由折叠的性质可知：，． 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则，． 在中，由勾股定理得：， 代入得：，解得， 即． 2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（     ）． A．对角相等 B．邻边互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】对比正方形和矩形的性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：对角相等、邻边互相垂直、对角线相等均为矩形的性质， 正方形是特殊的矩形，正方形也具有这三个性质， 选项A、B、C不符合题意， 正方形的对角线互相垂直，普通矩形的对角线不互相垂直，只有矩形为正方形时对角线才互相垂直， 对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质． 3．若正方形的面积为36，则该正方形的对角线长为______． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式，求出边长，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为36， ∴正方形的边长为， ∴该正方形的对角线长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形四条边相等． 题型2.根据正方形的性质求角度 1．如图，在正方形右侧作等边三角形，连接，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为顶角度数是150度的等腰三角形，进而求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵在正方形右侧作等边三角形， ∴， ∴，， ∴. 2．如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 【答案】/25度 【分析】根据菱形的性质求出的度数和，根据正方形的性质求出的度数和，从而得到和的度数，最后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解 ． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，， ． 3．数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 (1)如图1，若，求的度数； 【规律探究】 (2)若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 【答案】(1) (2)是定值，推理过程如下： ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】（1）首先证明是等边三角形，得到，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）首先由正方形得到，，求出，然后结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； （2） 略 题型3.根据正方形的性质求线段长 1．如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点M作于点E，根据正方形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于点E， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 2．如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 【答案】2 【分析】根据三角形中位线定理得到，再根据直角三角形的性质得到，最后利用勾股定理得出的长． 【详解】解：连接， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵为的中点，正方形中， ∴， ∵正方形中，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在正方形中，，点为的中点，点在上，，连接，，． (1)求三条边的长； (2)请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； 【分析】（1）求三条边的长； （2）利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：在正方形中，， 故， ∵点为的中点， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵正方形， ， ，， ． （3） 略 题型4.根据正方形的性质求面积 1．如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质及轴对称的性质，根据图形的对称性可得阴影部分的面积等于正方形面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分与空白部分关于对角线对称， 所以 因为正方形的边长为2， 所以， 所以． 2．如图，正方形的面积为8，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查正方形性质，根据正方形性质和线段中点的定义得到，进而得到，同理可得，最后根据四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ∴，， 点，，，分别为边，，，的中点， ∴， ， 同理可得， 四边形的面积 ， ∵正方形的面积为8，即， ∴四边形的面积， 故答案为： 4． 3．如图，正方形在内，，点D、E、F分别在边、、上，已知，，求正方形的面积． 【答案】正方形的面积为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，设正方形的边长为，则，，，证明，得到，即，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则，，， ∵是正方形， ∴，即， ∴， ∴，即， 整理得： ∴正方形的面积为． 题型5.根据正方形的性质证明 1．如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（   ） A．146 B．76 C．84 D．60 【答案】D 【分析】本题考查求四边形面积，涉及正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识，熟记正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识是解决问题的关键． 先由正方形性质得到，，在中，由勾股定理求出正方形边长，最后由梯形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，，， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 四边形的面积为， 故选：D． 2．如图，是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且，现准备修建两条观光小路和，若小路长20米，则小路的长度为___________米． 【答案】20 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形性质和判定，根据正方形性质证明，再利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 小路长20米， ， 故答案为：20． 3．如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】利用四边形性质得出，，结合题目条件通过证明，从而． 【详解】略． 题型6.正方形折叠问题 1．如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质及折叠的性质可知：，，设，则，可求出，列方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则， ， ， ， ， ． 2．如图，正方形纸片的边上有一点，．若把纸片沿的中垂线折叠，使点与点重合，则纸片的折痕长为________． 【答案】 【分析】设点是折痕与的交点，点是折痕与的交点，过点作交于点，根据正方形的性质，中垂线的性质，等量代换，求出，根据全等三角形的判定和性质，证明得到，推出，即可． 【详解】解：设点是折痕与的交点，点是折痕与的交点，过点作交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 题型7.求正方形重叠部分面积 1．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换． 2．将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 【答案】 【分析】连接正方形对角线，由边长为2得，点到对角线的距离．根据矩形的性质和判定得，则．再进行计算即可得，最后即可计算重合的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点G，交于点H， 四边形是正方形， ，，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，探究两个正方形重叠部分的面积关系． (1)初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为 ； (2)问题解决：当正方形旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积； (3)延伸探究：将个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，，分别是正方形的中心，个这样的正方形重叠部分的面积之和为，请你计算出的值． 【答案】(1) (2) (3)2027 【分析】（1）连接，设交于点N，利用正方形的性质证明，得，从而有，即可求解； （2）设交于点Q，过点E分别作，垂足分别为P、N，由正方形的性质可证明，从而有，即可求解； （3）设边长为2的正方形的面积为S，则，分析得n个正方形共有处重叠部分，所有重叠部分面积和为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：连接，设交于点N，如图， ∵正方形的顶点与正方形的中心重合， ∴，,， ∴， ∵正方形的边与垂直，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ∵, ∴ 而正方形的边长为1，则其面积为1， ∴； （2）解：如图，设交于点Q，过点E分别作，垂足分别为P、N， ∴， ∵四边形都是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E点是正方形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 而四边形的面积为， ∴， ∴； （3）解：设边长为2的正方形的面积为S，则， 由（2）知，两个正方形重叠，其重叠面积为， 三个正方形有两处重叠部分，其重叠面积和为， 四个正方形有三处重叠部分，其重叠面积和为， … 一般地：n个正方形共有处重叠部分，所有重叠部分面积和为， 由题意得：， 解得， 即n的值为2027． 题型8.正方形的判定定理理解 1．下列各命题中，正确的是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【详解】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故A错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故B错误； 四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故C错误； 菱形的四条边已经相等，若有一个角是直角，则四个角均为直角，满足正方形的判定条件，因此有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确． 2．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个正方形，则剪口与折痕所成的角α的度数为____________． 【答案】45° 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的判定进行分析即可． 【详解】解：把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的角平分线， ∴当剪口线与折痕成45度角的时候，菱形就变成了正方形， 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查了通过折叠变换，正方形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 3．请认真完成下列数学活动 如图，在中，，，D是的中点，过点A作直线，过点D的直线交的延长线于点E，交直线l于点F，连接，．    ●分析发现 （1）试说明：①；②． ●探究思考 （2）若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； ●拓展延伸 （3）若，则_____________，能使四边形为正方形． 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）四边形是矩形，详见解析；（3） 【分析】（1）①由题意可知，，利用即可证明； ②由①可知，可得，结合，可知四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可证明结论； （2）由，得，由三角形的外角可知，根据，得，可知，由平行四边形的性质可知，，，进而可知，即可证明四边形是矩形； （3）由（2）可得，由（1）可知四边形是平行四边形，由可知，四边形是菱形，则，若要使得四边形是正方形，只需要，即只需，根据，即可求解． 【详解】证明：（1）①， ， 是的中点， ， 在与中， ， ； ②由①可知：， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）四边形是矩形 理由如下：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形； （3）， ， ，即， 由（1）可知四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，则， 若要使得四边形是正方形，只需要， 即只需， ∴只需， 即：若，当时，能使得四边形是正方形； 故答案为：．    【点睛】本题考查全等三角的判定及性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定，菱形的判定及性质，正方形的判定，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 题型9.添一个条件使四边形是正方形 1．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直判定四边形是菱形，最后根据正方形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 选项A、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项B、∵，∴，又四边形是菱形， ∴四边形是正方形，故本选项符合题意； 选项C、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项D、，这是平行四边形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意． 2．如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 【答案】 ①②或②③（填写一组即可） 【分析】根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择②；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择①；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是菱形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或②③均可以． 3．如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当再具备条件_____时，四边形是正方形，请说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 点是线段的中点， ． 在和中， ， ∴， ， ∵在中，，点是的中点， ，， ， ∵在四边形中，，， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； (2)当再具备条件时，四边形是正方形， 理由：，，， ， 又平行四边形是矩形， 平行四边形是正方形． 【分析】（1）先证明，得出，再由等腰三角形的性质可得，，从而可得，，最后结合矩形的判定定理即可得证； （2）根据正方形的判定定理解答即可． 【详解】（1）略； （2） 略． 题型10.证明四边形是正方形 1．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的判定定理，在菱形的基础上，只要添加条件或者即可证明四边形为正方形，逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，该条件无法推出它是正方形，不符合题意； 选项B：，不能直接让菱形成为正方形，不符合题意； 选项C：四边形是菱形，添加条件后，直接符合正方形的判定要求，因此选项C正确； 选项D：和四边形成为正方形没有必然关系，不符合题意． 2．已知是等腰直角三角形，，，若等腰的斜边在直线上运动，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，作点关于直线的对称点，连接并延长至点，使，连接，先证明四边形是正方形，再证明四边形是平行四边形，根据，当且仅当在同一条直线上时，最小，即最小，再运用勾股定理求解． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长至点，使，连接， ，点与点关于对称， ， ， 四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 根据两点之间，线段最短．当且仅当在同一条直线上时，最小，即最小， 此时，， 的最小值为． 3．如图，在矩形中，平分交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，则 ． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，根据平分，得出，即可证明四边形是正方形； （2）由（1）知四边形是正方形，则，，由勾股定理求出，证明是等腰直角三角形，得出，，证明是等腰直角三角形， 最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知四边形是正方形，为正方形对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形，，，， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴． 题型11.根据正方形的性质与判定求角度 1．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形、正方形的性质等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）如图：连接，由勾股定理逆定理得到是直角三角形，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，正方形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：连接， 根据勾股定理得，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：如图所示，取格点四边形或四边形， 或 四边形：根据格点可得四边形是平行四边形， ∴对角线相互平分，交点为点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求； 四边形，连接， ∵， ∴， ∴即为所求； 根据格点图示，可得点到的高为， ∴ ． 3．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 【答案】或或 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ； 如图，当时， 过点作于点，过点作于点，如图3所示， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用． 题型12.根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 2．在中，，，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质及勾股定理，能根据题意画出示意图及熟知图形旋转的性质是解题的关键．根据题意，画出是等腰直角三角形时的示意图，再结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：当，且点在上方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，． 当，且点在下方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 3．如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)证明：∵中， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是菱形，再结合，，可得，即可求证； （2）根据勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴垂直平分， ∴． 题型13.根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 2．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 【答案】/30/30.5 【分析】延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，得到边长为9的正方形GEHF，根据四边形EBCF的面积=即可求解． 【详解】解：延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∵CF//AE，DF//BE， ∴四边形GEHF是平行四边形， ∵∠AEB=90°， ∴平行四边形GEHF是矩形， ∴∠AEB =∠G=∠CFD=∠H=90°， 根据等角的余角相等， ∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC， ∴Rt△EAB≌Rt△GDA≌Rt△FCD≌Rt△HBC， ∴EA=GD=FC=HB=5，EB=GA=FD=HC=4， ∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是边长为9的正方形， ∴四边形EBCF的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． (1)求证：四边形ADCE是矩形． (2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 【答案】(1)见解析 (2)正方形， 【分析】（1）先根据三线合一定理得到∠ADC=90°，，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可证明平行四边形ADCE是矩形； （2）根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形AECD是正方形，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，， 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE是矩形； （2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，即AC⊥DE， ∴四边形ADCE是正方形， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质与判定，三线合一定理，熟知相关特殊四边形的性质与判定条件是解题的关键． 题型14.根据正方形的性质与判定证明 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，且，点C是坐标系内一点．若为等腰直角三角形，则点C可能的位置有（     ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分点C是直角顶点，点A是直角顶点，点B是直角顶点三种情况讨论即可得结论． 【详解】解：由题意设，则， 如图，当点C是直角顶点时， ∵，， ∴点即为点，， 过点、分别作轴、轴的垂线，相交于点，可得四边形是正方形， ∴，，即点符合题意； ∴点有2个位置； 如图，当点A是直角顶点时，有2个位置； 过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴点，符合题意，即点有2个位置； 如图，当点B是直角顶点时，有2个位置； 过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线于点，同理可得点，符合题意，即点有2个位置； 综上所述，点C可能的位置有6个． 2．如图，E是正方形对角线上一点，过点E作的垂线，交于点F，以，为边作矩形，连接， （1）的长为___________； （2）若，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，利用正方形的性质，证明，根据矩形的性质易得，即可证得，得到，进而证得矩形是正方形，再根据正方形性质证得，，，然后由全等三角形判定（边角边）可证得，即可得到，解题关键是合理添加辅助线构造全等三角形，找到对应边的关系； （2）如图，过点作，垂足为，由正方形性质易得是等腰直角三角形，求得，再根据，得，然后根据勾股定理得，计算即可得出答案，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理解三角形． 【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 四边形是正方形， ，， ， ， ，，，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， 又， ， ， 故答案为：； （2）如图，过点作，垂足为， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， 故答案为． 3．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 题型15.中点四边形 1．以下四边形中，顺次连接四条边的中点能得到一个正方形的是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理，顺次连接四边形四条边的中点，所得四边形的对边平行且等于原四边形对角线的一半，因此若所得四边形为正方形，则原四边形的对角线必须互相垂直且长度相等． 【详解】解：平行四边形对角线仅互相平分，不满足垂直且相等； 菱形对角线互相垂直但长度不相等； 矩形对角线长度相等但不互相垂直； 只有正方形对角线既互相垂直又长度相等，符合要求． 2．如图，在四边形中，，四边的中点分别是E，F，G，H，顺次连接各边中点所得到的四边形一定是特殊平行四边形中的______形． 【答案】矩 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明，得到四边形是矩形． 【详解】解：∵E，H是的中点， ∴，且， ∵F，G是的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵E，F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 3．如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 在中，点分别是的中点， ∴， 在中，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． (2)证明： 如图所示，连接， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵由（1）知，四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． (3) 【分析】（1）连接，利用三角形中位线的性质证明即可； （2）连接，根据三角形中位线的性质转化为平行四边形的邻边相等证明即可； （3）根据三角形中位线的性质转化为菱形有一个角为证明即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：四边形满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形． 题型16.（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可． 【详解】由题意可得，，， 当时， 由可得四边形是平行四边形 ∴，解得， 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是解本题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒） ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 3．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为 ，的取值范围为 ． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围； （2）根据矩形的性质可得，列方程即可求解； （3）根据列方程可得时；由；根据，可得，可得出结论； 【详解】（1）如图1，过点D作于E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：； ∵点P从点A出发，以的速度向点D运动，， ∴点P运动到D的时间为：， 同理得：点Q运动到点B的时间为：， ∴； 故答案为：，； （2）解：如图所示，当是矩形时，， ∵ ∴ 解得：； （3）如图2，过点P作于F，过点D作于E， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵∠， ∴四边形矩形， ∴， ∴，即， ∴， 如图3，∵， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即当时，，此时； 综上所述，当或时，； 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键． 题型17.利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 2．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 3．如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 【答案】5 【分析】如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等，因此阴影部分就转化成了小正方形的一半，且阴影部分的面积已知，据此即可求出小正方形的面积． 【详解】解：如图所示，连接FB，则△ABF与△BFC等底等高，所以这两个三角形的面积相等，二者都减去公共部分（△BFH）则剩下的面积仍然相等，即△HFC与△ABH面积相等． ∴ 【点睛】本题考查等底等高的三角形面积相等，解答此题的关键是明白：阴影部分的面积就等于小正方形的面积的一半． 题型18.四边形中的线段最值问题 1．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是正方形，， ， 当最大时，最大，此时最大， 点是上的动点， 当点和点重合时，最大，即的长度， 此时， ， 的最大值为． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．如图，正方形纸片的边长为5，点E在边上，点F在边上，将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是___________． 【答案】/ 【分析】连接，由，故三点共线时，取得最小值，且最小值为，此时，取得最小值，且最小值为 【详解】解：连接， 根据折叠的性质，得，， 正方形纸片， ，，， 根据勾股定理，得， ， 三点共线时，取得最小值，且最小值为，如图所示， 此时，取得最小值，且最小值为 3．如图，中，，，，为边上一点． （1）则的面积是________， （2）最小值为________． 【答案】 【分析】（1）过点作，求出，根据平行四边形的面积求解即可； （2）过点作，表示出，得出点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，求出即可得解； 【详解】（1）过点作， 中，， ， ， ， ， ； （2）过点作， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， 点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，，， ，， 的最小值为． 题型19.四边形其他综合问题 1．我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 【答案】A 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：A． 2．如图，满足，，，取的中点，为上任意一点，连接，将沿翻折得到（点在直线右侧），交于点，当时，______． 【答案】 【分析】连接AG，设，根据已知条件可得，证明四边形ADEG是平行四边形，再根据勾股定理计算即可； 【详解】连接AG， 设，则， ∵D是AC的中点， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形ADEG是平行四边形， ∴AD∥EG，， ∵，， ∴， 在Rt△ABC中，，， ∴， ∴， 在Rt△CBE中，， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了折叠的综合应用，结合勾股定理计算是解题的关键． 3．已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，． (1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积； (2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）； (3)在（2）的条件下，当的面积等于6时，求AH的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）过点G作于M，，可以证明，就可以求出的长，进而就可以求出，求出面积． （2）证明．得到的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积． （3）△GFC的面积等于6，根据面积就可以求出a的值，在△BEF中根据勾股定理就可以得到，进而在直角中求出． 【详解】（1）解：如图1，过点G作于M， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理可证． ∴， ∴， ∴； （2）如图2，过点G作交的延长线于M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵当，则， ∴． 在中， ． 在中， ， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明三角形全等． ✺巩固测试 一、单选题 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．内角为 D．对角线互相垂直 【答案】A 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质逐一分析各选项是否为四个图形共有的性质，即可得出答案． 【详解】解：A．对角线互相平分是平行四边形的基本性质，矩形，菱形，正方形作为特殊平行四边形，都保留该性质，符合题意； B．对角线相等，平行四边形和菱形不具有该性质，不符合题意； C．内角为，平行四边形和菱形不具有该性质，不符合题意； D．对角线互相垂直，平行四边形和矩形不具有该性质，不符合题意． 2．在四边形中，，．添加下列条件，能使四边形为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件判定四边形是等腰梯形，再结合正方形的判定定理分析各选项，用到等腰梯形的性质、矩形和正方形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∴，， ∵， ∴， 由四边形内角和定理可得， A、若，则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴邻边相等的矩形是正方形，符合要求； B、是等腰梯形本身的性质，无法推出四边形是正方形； C、若，结合可得四边形是平行四边形，又，仅能推出是菱形，无法推出是正方形； D、是等腰梯形本身的性质，无法推出四边形是正方形． 3．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，图中点、、分别是正方形中边、、上的中点，点、分别为、的中点．若正方形的边长为8，则“小三斜”的斜边的长为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】首先证明四边形是矩形，得到，然后利用三角形中位线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为8， ∴，，， ∵点E、G分别是、的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴． 4．已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 【答案】B 【分析】过点作交的延长线于点，通过证明得出为定值，再根据三角形面积公式结合的变化情况即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 交 的延长线于点，连接， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是菱形， ，， ， ， ， 在 和 中， ， ， 为定点， 为定值，即 的高 不变， ， 当点 从 点移动到 点的过程中， 逐渐减小， 的面积逐渐减小． 5．如图，正方形中，点是边的中点，将沿翻折至，延长交边于点，连接，若正方形的边长为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于点，由折叠的性质和正方形的性质得，，证得，得到，设，则，，利用勾股定理列方程求出的值，得到，，，利用等面积法求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由正方形性质得，，， 点是边的中点， ， 折叠可知，，，， ，， 在和中， ， ， ， 设，则，， 由勾股定理得，即， 解得， ，，， ， ， ， ． 二、填空题 6．已知矩形的对角线长为8，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为______． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理得到所得四边形各边与原矩形对角线的数量关系，再结合矩形对角线相等的性质计算所得四边形的周长． 【详解】解：设原矩形为， 由于矩形对角线相等，故， ∵，，，分别为，，，的中点， 根据三角形中位线定理，可得：，，，， 因此所得四边形的周长为． 7．在中，对角线与相交于点O． （1）如果，那么一定是_________形； （2）如果，那么一定是_________形； （3）如果，那么一定是_________形 【答案】 矩 菱 正方 【详解】解：（1）在中，根据三角形内角和可得， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形； （2），， ，即， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形； （3）四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形， 又， ∴根据对角线相等的菱形是正方形，可得是正方形． 8．如图，在正方形中，点在边上，连接交对角线于点，连接．设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质证明，则结合外角的性质得到，再由平角的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 9．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，过点作，先证，得，再证是等边三角形，得，然后可得，要使的面积为最小，只需满足的长为最小即可，进而问题可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使的面积为最小，只需满足的长为最小即可， ∴当时，最小，如图所示： 此时， ， ∴， ∴面积的最小值为． 10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E是BC边上一点，连接DE，AE，若AB＝BC＝4，BE＝1，∠BAD＝∠ADE，则△CDE的面积为 ___． 【答案】 【分析】如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，AH⊥DE于H．首先证明四边形ABCF是正方形，再证明DF=DH，EH=BE=1，设CD=x，利用勾股定理求出x，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，AH⊥DE于H． ∵AB∥CD，AB⊥BC， ∴BC⊥CD， ∴∠B=∠C=∠F=90°， ∴四边形ABCF是矩形， ∵AB=BC， ∴四边形ABCF是正方形， ∴AB=CF=BC=4， ∵CF∥AB， ∴∠ADF=∠DAB，∠DAB=∠ADE， ∴∠ADF=∠ADE， ∵AF⊥DF，AH⊥DE， ∴∠F=∠AHD=90°， 在△ADF和△ADH中， ， ∴△ADF≌△ADH（AAS）， ∴DF=DH，AF=AH， ∵AF=AB， ∴AH=AB， 在Rt△AEH和Rt△AEB中， ， ∴Rt△AEH≌Rt△AEB（HL）， ∴EH=BE=1， 设CD=x，则DF=DH=4-x， 在Rt△DCE中，x2+32=（5-x）2， ∴x=， ∴S△DCE=•CD•CE==， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造正方形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题 11．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)①15°；②详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出； （2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分； （3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）①； 故答案为：； ②证明： ，即， 垂直平分， 即． （3）设，由勾股定理得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 12．如图，设点B为正方形外一点，且，连接并延长至点C使得，过点A作于点D，点O是正方形的中心，连接，已知M、N分别为线段、的中点． (1)证明：四边形为正方形； (2)求的大小； (3)如图2所示，若正方形的边长为5，点O到直线的距离为，求的面积． 【答案】(1)证明：四边形为正方形， ，． ，，， ， ∴四边形是矩形． ，， ， 在和中： ， ∴， ． 四边形为正方形． (2) (3) 【分析】（1）由正方形得，．由垂直条件得，四边形为矩形，证，得，故四边形为正方形． （2）连接，由正方形中心性质得为中点，，．由及为直角三角形斜边中点得分别为中点，连接，由等腰三角形三线合一得平分，平分，故． （3）由（2）得，，由勾股定理求，故．过作，由得，为等腰直角三角形，．证，得．设正方形边长为，由勾股定理，解得，则，即可求出面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 点O是正方形的中心， 三点共线，且为中点， ， ， ， 为等腰三角形， M、N分别为线段、的中点， ， ， ． （3）解：如图，连接，过作，交延长线于， 由（2）得为等腰三角形，，， M、N分别为线段、的中点， ， ， ， 为等腰直角三角形， 点O到直线的距离为，即， 正方形的边长为5， ， ， ． 在中，，且， ，可得， ，， ， 在和中： ， ∴， ． 设正方形的边长为， 在中，，即， 解得，则， 的面积． 13．在中， ，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作，垂足为E，以为一边在右侧作矩形，点F在边上，且，连接，设运动时间为t(秒)，矩形与重叠部分面积为S． (1)当时，求t的值． (2)当点D在边上运动时，求S与t的函数关系式． (3)当的面积为6时，直接写出t的值． 【答案】(1)秒； (2)，； (3)t的值为秒或秒或秒． 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，动点问题，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明 ，则，，由与由勾股定理，推导出，代入求值，即可解答； （2）分两种情况：①当时， ②当时，逐一分析求解即可； （3）分类讨论，逐一分析求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由题意得：， 则， 当时，由勾股定理得：， ∴，即 解得：， 即当时，秒； （2）分两种情况：①当时，如图1所示： ； 即； ②当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴，即 解得： 同理得：， ∴； 即； （3）分三种情况： ①如图1所示： 由题意得：， 解得：； ②如图3所示： 由题意得：， 解得：； ③如图4所示： 由勾股定理得：， ∴， 同(2)得：， ∴， 即， 解得：， ， 由题意得， ∴C与F重合， ∴， 解得：； 综上所述，当的面积为6时，t的值为秒或秒或秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03正方形的性质与判定 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 基础认知：正方形的定义，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形四者的从属包含关系 核心性质：继承平行四边形、矩形、菱形全部性质 + 正方形专属特殊性质 + 对称性完整总结 判定方法：从平行四边形、矩形、菱形三个维度出发，掌握正方形所有判定定理 综合应用：利用正方形性质与判定进行角度、线段计算与几何证明，解决特殊四边形综合题型 ✅正方形是“既是矩形又是菱形”的特殊平行四边形，因此兼具矩形、菱形所有特征，本节核心学习逻辑：依托定义掌握性质，依托性质反向判定，最终实现综合解题应用。 ✺学习目标 正方形基础认知：理解正方形的定义，精准理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系与区别，明确正方形的特殊地位。 正方形核心性质：熟练掌握正方形的全部性质，包含边、角、对角线、对称性特征，能够用规范文字和几何符号语言表述性质，区分正方形与矩形、菱形的异同。 正方形判定方法：熟练掌握正方形多维度判定定理，能根据题干已知条件（平行四边形、矩形、菱形背景）灵活选择最优判定方法，规避判定易错点。 综合应用：能运用正方形性质与判定完成线段、角度的基础计算与几何证明，具备特殊四边形综合辨析与解题能力。 ✺题型归纳 题型1.正方形性质理解 题型2.根据正方形的性质求角度 题型3.根据正方形的性质求线段长 题型4.根据正方形的性质求面积 题型5.根据正方形的性质证明 题型6.正方形折叠问题 题型7.求正方形重叠部分面积 题型8.正方形的判定定理理解 题型9.添一个条件使四边形是正方形 题型10.证明四边形是正方形 题型11.根据正方形的性质与判定求角度 题型12.根据正方形的性质与判定求线段长 题型13.根据正方形的性质与判定求面积 题型14.根据正方形的性质与判定证明 题型15.中点四边形 题型16.（特殊）平行四边形的动点问题 题型17.利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 题型18.四边形中的线段最值问题 题型19.四边形其他综合问题 题型20.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：正方形的定义与图形关系 1.正方形定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形，所以，正方形既是矩形，又是菱形。 2.四者从属关系 知识点二：正方形的核心性质 正方形既有矩形的性质，又有菱形的全部性质，同时具备自身专属性质，是性质最完备的特殊平行四边形。 1.通用继承性质 继承平行四边形性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分； 继承矩形性质：四个角都是直角、对角线相等； 继承菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角。 2.正方形专属性质 性质类型 文字性质描述 边 四条边全部相等，两组对边分别平行 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴；是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。 知识点三：正方形的判定方法 正方形判定分为三大维度：从平行四边形判定、从矩形判定、从菱形判定，共6种常用判定方法： 判定维度 文字判定定理 定义法（平行四边形） 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 矩形基础判定 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形基础判定 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形基础判定 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形基础判定 对角线相等的菱形是正方形 任意四边形判定 四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 ✺题型◆精讲 题型1.正方形性质理解 1．如图，点E是矩形的边上一点，将沿着对折，点D恰好折叠到边上的点F处，若，，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．5 D．8 2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（     ）． A．对角相等 B．邻边互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 3．若正方形的面积为36，则该正方形的对角线长为______． 题型2.根据正方形的性质求角度 1．如图，在正方形右侧作等边三角形，连接，，的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 3．数学发现 已知，点在正方形内部（不与点，重合）． 【特例感知】 (1)如图1，若，求的度数； 【规律探究】 (2)若，，．请探究是否为定值，写出推理过程． 题型3.根据正方形的性质求线段长 1．如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是正方形的对角线，，，，分别是，，，的中点．若，则的长为_____． 3．如图，在正方形中，，点为的中点，点在上，，连接，，． (1)求三条边的长； (2)请判断的形状，并说明理由． 题型4.根据正方形的性质求面积 1．如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，正方形的面积为8，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 3．如图，正方形在内，，点D、E、F分别在边、、上，已知，，求正方形的面积． 题型5.根据正方形的性质证明 1．如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（   ） A．146 B．76 C．84 D．60 2．如图，是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且，现准备修建两条观光小路和，若小路长20米，则小路的长度为___________米． 3．如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 题型6.正方形折叠问题 1．如图，将正方形沿折叠，点落在对角线上的点处，已知，则的长为（     ） 2．如图，正方形纸片的边上有一点，．若把纸片沿的中垂线折叠，使点与点重合，则纸片的折痕长为________． 3．如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 题型7.求正方形重叠部分面积 1．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 2．将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 3．追本溯源：为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下：如图1，有两个边长为1的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，探究两个正方形重叠部分的面积关系． (1)初步思考：如图2，先考虑特殊情况，当正方形旋转到边与垂直的位置，此时两个正方形重叠部分的面积为 ； (2)问题解决：当正方形旋转到如图1所示位置后，求此时两个正方形重叠部分的面积； (3)延伸探究：将个边长都为的正方形按如图3所示的方式摆放，，，，，，分别是正方形的中心，个这样的正方形重叠部分的面积之和为，请你计算出的值． 题型8.正方形的判定定理理解 1．下列各命题中，正确的是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是正方形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．有一个角是直角的菱形是正方形 2．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个正方形，则剪口与折痕所成的角α的度数为____________． 3．请认真完成下列数学活动 如图，在中，，，D是的中点，过点A作直线，过点D的直线交的延长线于点E，交直线l于点F，连接，．    ●分析发现 （1）试说明：①；②． ●探究思考 （2）若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； ●拓展延伸 （3）若，则_____________，能使四边形为正方形． 题型9.添一个条件使四边形是正方形 1．如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 3．如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)当再具备条件_____时，四边形是正方形，请说明理由． 题型10.证明四边形是正方形 1．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（     ） A． B． C． D． 2．已知是等腰直角三角形，，，若等腰的斜边在直线上运动，且，则的最小值为______． 3．如图，在矩形中，平分交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，则 ． 题型11.根据正方形的性质与判定求角度 1．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的每一个顶点都在格点上． (1)求的度数； (2)仅用无刻度的直尺作出（不写作法），并求格点四边形的面积． 3．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 题型12.根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．在中，，，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为______． 3．如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 题型13.根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O． (1)求证：四边形ADCE是矩形． (2)若∠AOE=90°，AE=2时，四边形AECD是什么四边形，并求ABCE的面积． 题型14.根据正方形的性质与判定证明 1．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，且，点C是坐标系内一点．若为等腰直角三角形，则点C可能的位置有（     ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，E是正方形对角线上一点，过点E作的垂线，交于点F，以，为边作矩形，连接， （1）的长为___________； （2）若，则的长为_________． 3．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 题型15.中点四边形 1．以下四边形中，顺次连接四条边的中点能得到一个正方形的是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．如图，在四边形中，，四边的中点分别是E，F，G，H，顺次连接各边中点所得到的四边形一定是特殊平行四边形中的______形． 3．如图，在四边形中，，若分别是四边形各边、、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)在（2）的条件下，四边形满足_____________时，四边形是正方形．（直接写答案） 题型16.（特殊）平行四边形的动点问题 1．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为（秒）．以点为顶点的四边形是平行四边形时值为_____秒． 3．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． (1)边的长度为 ，的取值范围为 ． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 题型17.利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 1．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 2．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 3．如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为______平方厘米． 题型18.四边形中的线段最值问题 1．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，正方形纸片的边长为5，点E在边上，点F在边上，将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是___________． 3．如图，中，，，，为边上一点． （1）则的面积是________， （2）最小值为________． 题型19.四边形其他综合问题 1．我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 2．如图，满足，，，取的中点，为上任意一点，连接，将沿翻折得到（点在直线右侧），交于点，当时，______． 3．已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，． (1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积； (2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）； (3)在（2）的条件下，当的面积等于6时，求AH的长． ✺巩固测试 一、单选题 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．内角为 D．对角线互相垂直 2．在四边形中，，．添加下列条件，能使四边形为正方形的是（     ） A． B． C． D． 3．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，图中点、、分别是正方形中边、、上的中点，点、分别为、的中点．若正方形的边长为8，则“小三斜”的斜边的长为（     ） A． B．2 C． D．4 4．已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 5．如图，正方形中，点是边的中点，将沿翻折至，延长交边于点，连接，若正方形的边长为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知矩形的对角线长为8，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为______． 7．在中，对角线与相交于点O． （1）如果，那么一定是_________形； （2）如果，那么一定是_________形； （3）如果，那么一定是_________形 8．如图，在正方形中，点在边上，连接交对角线于点，连接．设，则________（用含的代数式表示）． 9．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则面积的最小值为________． 10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E是BC边上一点，连接DE，AE，若AB＝BC＝4，BE＝1，∠BAD＝∠ADE，则△CDE的面积为 ___． 三、解答题 11．如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 12．如图，设点B为正方形外一点，且，连接并延长至点C使得，过点A作于点D，点O是正方形的中心，连接，已知M、N分别为线段、的中点． (1)证明：四边形为正方形； (2)求的大小； (3)如图2所示，若正方形的边长为5，点O到直线的距离为，求的面积． 13．在中， ，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作，垂足为E，以为一边在右侧作矩形，点F在边上，且，连接，设运动时间为t(秒)，矩形与重叠部分面积为S． (1)当时，求t的值． (2)当点D在边上运动时，求S与t的函数关系式． (3)当的面积为6时，直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $