专题03正方形的性质与判定 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年北师大版数学八升九暑假预习讲义

专题03正方形的性质与判定暑假预习讲义 · 概念梳理：牢记正方形定义，理清正方形、平行四边形、矩形、菱形之间的包含关系，明确正方形兼具矩形与菱形全部特征。 · 性质掌握：自主归纳正方形边、角、对角线、对称性相关性质，熟练用几何语言表述，区分正方形独有的特殊性质。 · 判定区分：熟记多种正方形判定思路，分清三类判定路径：平行四边形证正方形、矩形证正方形、菱形证正方形，厘清每种判定所需条件。 · 运算能力：会利用正方形边长、对角线结合勾股定理计算线段长度、周长与面积，掌握对角线求面积的简便算法。 · 逻辑推理：分清性质、判定的推理逻辑，性质由正方形推边角对角线关系，判定根据已知条件证明四边形是正方形，规范几何证明答题步骤。 · 数学思维：建立特殊平行四边形对比归纳思想，自主梳理预习中图形综合证明、多条件判定的疑难点，带着问题听课，提升几何综合解题能力。 预习必备 知识梳理 1.正方形的定义 2.正方形的性质 3.正方形的周长与面积 4.正方形的判定 5.四种特殊四边形性质对比 6.中点四边形 常考题型 精讲精练 1.正方形性质理解. 2.正方形性质求角度 3.正方形性质求线段长 4.正方形性质求面积 5.正方形性质证明 6.正方形中的折叠问题 7.求正方形重叠部分面积 8.正方形的判定定理理解 9.添条件使四边形是正方形 10.证明四边形是正方形 11.证明四边形是正方形 12.正方形性质与判定求线段长 13.正方形性质与判定求面积 14.由正方形性质与判定证明 15.中点四边形 16.特殊平行四边形动点问题 17.四边形线段最值问题 强化题型 解答题10题 知识点01:正方形的定义 1.三种等价定义（课本核心） 定义 图示 从平行四边形出发：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从矩形出发：一组邻边相等的矩形是正方形。 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 2. 从属关系（重中之重） 正方形是最特殊的平行四边形 它同时是：特殊的矩形 + 特殊的菱形 + 特殊的平行四边形 层级关系： 四边形 → 平行四边形 → 矩形、菱形 → 正方形 一句话总结： 矩形中邻边相等就是正方形；菱形中有一个直角就是正方形。 知识点02:正方形的性质（最全、必考） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:正方形周长与面积 周长：C=4a（a为边长） 面积两种公式 S=a2（边长平方） S=对角线 ²（对角线乘积一半） 知识点04:判定四种思路（考试实用） 知识点05:四种特殊四边形性质对比表 图形 边 角 对角线 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 0 条 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分、相等 2 条 菱形 四条边都相等 对角相等，邻角互补 互相平分、垂直，平分一组对角 2 条 正方形 四条边相等，对边平行 四个角都是直角 互相平分、相等、垂直，平分一组对角 4条 知识点06:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 高频易错避雷区 1.误区：对角线相等且垂直的四边形是正方形 ❌错！必须加前提：平行四边形 2.误区：有一个直角的菱形不是正方形 ❌错！直接判定为正方形 3.混淆点：矩形看直角、等对角线；菱形看等边、垂对角线；正方形全部都满足。 题型1.正方形性质理解. 【典例】在学习了“中心对称图形——平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为____．    【跟踪专练1】若正方形的面积为36，则该正方形的对角线长为______． 【跟踪专练2】正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【跟踪专练3】如图，将正方形放在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型2.正方形性质求角度 【典例】如图，在正方形中，对角线与相交于点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接，则______度． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 【跟踪专练3】如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型3.正方形性质求线段长 【典例】正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【跟踪专练1】面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，若点B的坐标为，则点D的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，四边形是边长为4的正方形，E是边的中点，，且，连接，则的长度为（     ） A．3 B． C． D． 题型4.正方形性质求面积 【典例】用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为______． 【跟踪专练1】如图，图中阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________． 【跟踪专练3】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5.正方形性质证明 【典例】如图，正方形中，E，F分别在边上，相交于点G，若， ，则__________________． 【跟踪专练1】如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为____________． 【跟踪专练3】如图，以等边的一边为边，向形外作正方形，连接、、，则（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6.正方形中的折叠问题 【典例】把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【跟踪专练2】如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①点G是中点；②；③．其中正确的有_______． 题型7.求正方形重叠部分面积 【典例】如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【跟踪专练2】如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 题型8.正方形的判定定理理解 【典例】下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．四边都相等的四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（    ） A．菱形的对角线互相垂直且相等 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．取平行四边形四边的中点并顺次连接，构成的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 题型9.添条件使四边形是正方形 【典例】小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如下图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是__________．（写出一种即可）    【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 题型10.证明四边形是正方形 【典例】在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件：，，，．上述条件能使菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（   ） A．，， B．， C．，， D．，， 题型11.正方形性质与判定求角度 【典例】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【跟踪专练1】《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度． 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 题型12.正方形性质与判定求线段长 【典例】如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．    【跟踪专练1】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D为上一点，，点P为平分线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型13.正方形性质与判定求面积 【典例】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将个全等的阴影小正方形摆放得到边长为的正方形，中间小正方形的各边中点恰好为另外个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为，(为正整数)，则的值为___________ 【跟踪专练2】如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（    ） A．5∶2 B．2∶1 C． D． 题型14.由正方形性质与判定证明 【典例】如图，四边形ABCD是正方形，点G是边BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．已知DE＝10，BF＝6，则EF的长度为 ___． 【跟踪专练1】如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EFAB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中正确结论有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型15.中点四边形 【典例】顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 【跟踪专练1】如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为________． 【跟踪专练2】如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是______________． 题型16.特殊平行四边形动点问题 【典例】如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______． 题型17.四边形线段最值问题 【典例】如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是___________．    【跟踪专练1】如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值___________．    【跟踪专练3】如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 解答题 1．已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接． (1)求证：． (2)求的度数． 2．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 3．如图，已知O为正方形对角线的交点，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求正方形的面积． 4．如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分． (1)证明：； (2)求线段的长． 5．如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； (3)在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 6．如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 7．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 8．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 9．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 10．如图，在中，，BC边上高为8，点D为边的中点点P从点B出发，沿折线向点C运动，在、上的速度分别为每秒5个单位长度和每秒个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒．    (1)①线段的长为______； ②用含t的代数式表示线段的长； (2)当点E在内部时，求t的取值范围； (3)当是菱形时，求t的值； (4)作点B关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03正方形的性质与判定暑假预习讲义 · 概念梳理：牢记正方形定义，理清正方形、平行四边形、矩形、菱形之间的包含关系，明确正方形兼具矩形与菱形全部特征。 · 性质掌握：自主归纳正方形边、角、对角线、对称性相关性质，熟练用几何语言表述，区分正方形独有的特殊性质。 · 判定区分：熟记多种正方形判定思路，分清三类判定路径：平行四边形证正方形、矩形证正方形、菱形证正方形，厘清每种判定所需条件。 · 运算能力：会利用正方形边长、对角线结合勾股定理计算线段长度、周长与面积，掌握对角线求面积的简便算法。 · 逻辑推理：分清性质、判定的推理逻辑，性质由正方形推边角对角线关系，判定根据已知条件证明四边形是正方形，规范几何证明答题步骤。 · 数学思维：建立特殊平行四边形对比归纳思想，自主梳理预习中图形综合证明、多条件判定的疑难点，带着问题听课，提升几何综合解题能力。 预习必备 知识梳理 1.正方形的定义 2.正方形的性质 3.正方形的周长与面积 4.正方形的判定 5.四种特殊四边形性质对比 6.中点四边形 常考题型 精讲精练 1.正方形性质理解. 2.正方形性质求角度 3.正方形性质求线段长 4.正方形性质求面积 5.正方形性质证明 6.正方形中的折叠问题 7.求正方形重叠部分面积 8.正方形的判定定理理解 9.添条件使四边形是正方形 10.证明四边形是正方形 11.证明四边形是正方形 12.正方形性质与判定求线段长 13.正方形性质与判定求面积 14.由正方形性质与判定证明 15.中点四边形 16.特殊平行四边形动点问题 17.四边形线段最值问题 强化题型 解答题10题 知识点01:正方形的定义 1.三种等价定义（课本核心） 定义 图示 从平行四边形出发：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 从矩形出发：一组邻边相等的矩形是正方形。 从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。 2. 从属关系（重中之重） 正方形是最特殊的平行四边形 它同时是：特殊的矩形 + 特殊的菱形 + 特殊的平行四边形 层级关系： 四边形 → 平行四边形 → 矩形、菱形 → 正方形 一句话总结： 矩形中邻边相等就是正方形；菱形中有一个直角就是正方形。 知识点02:正方形的性质（最全、必考） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:正方形周长与面积 周长：C=4a（a为边长） 面积两种公式 S=a2（边长平方） S=对角线 ²（对角线乘积一半） 知识点04:判定四种思路（考试实用） 知识点05:四种特殊四边形性质对比表 图形 边 角 对角线 对称轴数量 平行四边形 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 互相平分 0 条 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分、相等 2 条 菱形 四条边都相等 对角相等，邻角互补 互相平分、垂直，平分一组对角 2 条 正方形 四条边相等，对边平行 四个角都是直角 互相平分、相等、垂直，平分一组对角 4条 知识点06:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 高频易错避雷区 1.误区：对角线相等且垂直的四边形是正方形 ❌错！必须加前提：平行四边形 2.误区：有一个直角的菱形不是正方形 ❌错！直接判定为正方形 3.混淆点：矩形看直角、等对角线；菱形看等边、垂对角线；正方形全部都满足。 题型1.正方形性质理解. 【典例】在学习了“中心对称图形——平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为____．    【答案】正方形 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质解答即可． 【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①和③分别是矩形和菱形，②是正方形． 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查四边形与特殊平行四边形之间的关系，掌握它们的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】若正方形的面积为36，则该正方形的对角线长为______． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式，求出边长，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为36， ∴正方形的边长为， ∴该正方形的对角线长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形四条边相等． 【跟踪专练2】正方形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．四条边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据菱形和正方形的性质逐项进行分析判断即可． 【详解】解：、菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项不符合题意； 、菱形和正方形的对角线互相平分，故本选项不符合题意； 、菱形和正方形的四条边都相等，故本选项不符合题意； 、菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了菱形和正方形的性质，熟练掌握菱形和正方形的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，将正方形放在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，则∠ADO=∠BED=，得出∠1+∠2=，由正方形的性质得出AB=AO，∠2+∠3=90°，证出∠3=∠1，由AAS证明△BAE≌△AOD，BE=AD=4，AE=OD=3，即可得出结果． 【详解】解：作AD⊥轴于D，作BE⊥AD轴于E，如图所示： 则∠ADO=∠BED=， ∴∠1+∠2=， ∵点A的坐标为（3,4）， ∴OD=3，AD=4， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠BAO=90°，AB=AO， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1，。 ∴△BAE≌△AOD（AAS）， ∴BE=AD=4，AE=OD=3， ∴点B的坐标为（-1，7）， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． 题型2.正方形性质求角度 【典例】如图，在正方形中，对角线与相交于点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的综合，根据正方形的性质可得，根据作图可得是等腰三角形，由三角形内角和定理可得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，即， ∵以点为圆心，以为半径画弧交于点， ∴， ∴ ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形、菱形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上图形的性质是解决本题的关键． 根据题意可证是等腰直角三角形，则即可求出的度数，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 故选C． 【跟踪专练2】如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 【答案】/15度 【分析】连接，由正方形性质得，，由得，得，结合 、证，得，故为等边三角形，，从而． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【跟踪专练3】如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴. 题型3.正方形性质求线段长 【典例】正方形对角线的长是则正方形边长为____________． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到． 【详解】解：正方形中，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】面积分别为8和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两个正方形的边长，然后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴点共线， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点D在y轴上，若点B的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】过点B作轴于点E，证明，可得，，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E， ∵点B的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 【跟踪专练3】如图，四边形是边长为4的正方形，E是边的中点，，且，连接，则的长度为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】在上取中点，连接，可证，则，在等腰直角中求出，则题目可解． 【详解】解：在上取中点，连接， ，， ， ∵E是边的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型4.正方形性质求面积 【典例】用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】根据题意可知绳子长度为正方形的周长， 先由周长求出正方形的边长，再根据正方形面积公式得到与的函数解析式，结合实际意义确定自变量的取值范围． 【详解】解：由题意可得，正方形的周长为， 根据正方形周长公式，正方形的边长为， 根据正方形面积公式，得 ， 因为表示绳子长度， 所以， y与x的函数解析式为：． 【跟踪专练1】如图，图中阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出正方形的边长，进而可知正方形的面积． 【详解】解：由图可知正方形的边长， ∴这个正方形的面积是． 【跟踪专练2】如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，设，则，根据直角三角形性质求出，再结合正方形面积公式，以及菱形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， 四边形为正方形，， 变形后四边形满足为菱形， 设，则， ， ， 四边形的面积为：； 正方形的面积为：； 四边形的面积与原正方形面积之比为． 【跟踪专练3】如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 题型5.正方形性质证明 【典例】如图，正方形中，E，F分别在边上，相交于点G，若， ，则__________________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．作，交与，设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图所示，作，交与， 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 证明和全等得，对于选项、C、，无法证明即可，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，故选项A成立，符合题意； 无法证明、、， 故选：A 【跟踪专练2】如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，掌握正方形的性质是关键．根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ，即， ，即是直角三角形， 点H是的中点， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，以等边的一边为边，向形外作正方形，连接、、，则（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确结论的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，角的和差关系，等边对等角，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵等边，正方形， ∴，，， ∴；故（1）正确； ；故（2）正确； ， ∵， ∴， ∴；故（3）正确； ∵， ∴；故（4）正确； 故选D． 题型6.正方形中的折叠问题 【典例】把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，理解图示，培养学生的空间思维能力，掌握图示特点是关键． 根据图示特点分析即可． 【详解】解：把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是 ， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【跟踪专练2】如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①点G是中点；②；③．其中正确的有_______． 【答案】①③/③① 【分析】先求出、的长，再根据翻折的性质可得，，，再利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再设，然后表示出、，在中，利用勾股定理列出方程求出，从而可以判断①正确；根据的正切值判断，从而求出，不是等边三角形，，判断②错误；先求出的面积，再求出，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到的面积，判断③正确． 【详解】解：∵正方形中，，， ∴，， ∵沿对折至， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∴， 即点G是中点，故①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴不是等边三角形， ∴，故②错误； 的面积， ∵， ∴，故③正确； 综上所述，正确的结论有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的数量关系利用勾股定理列式求出的长度是解题的关键，也是本题的难点． 题型7.求正方形重叠部分面积 【典例】如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换． 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 题型8.正方形的判定定理理解 【典例】下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．四边都相等的四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【分析】利用正方形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故选项不符合题意； B、对角线相等的菱形是正方形，正确，故选项不符合题意； C、四边都相等的四边形不一定是正方形，错误，故选项符合题意； D、邻边相等的矩形是正方形，正确，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键． 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（    ） A．菱形的对角线互相垂直且相等 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．取平行四边形四边的中点并顺次连接，构成的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质，根据特殊平行四边形的判定和性质逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A．菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故A错误； B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合菱形定义，故B正确； C．平行四边形中点四边形是平行四边形，仅当原四边形对角线垂直时为矩形，但平行四边形对角线不一定垂直，故C错误； D．有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故D错误． 故选：B． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定判断即可． 【详解】解；A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原选项说法错误，不符合题意； B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，说法正确，故此选项符合题意； C. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原选项说法错误，不符合题意； D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原选项说法错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定及矩形的判定的运用，解答时熟练的运用平行四边形、菱形的判定方法和正方形、矩形的性质是解答的关键． 题型9.添条件使四边形是正方形 【典例】小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如下图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是__________．（写出一种即可）    【答案】一组邻边相等（答案不唯一） 【分析】根据正方形的判定定理进行解答即可． 【详解】有一组邻边相等的矩形是正方形， 添加的条件是一组邻边相等， 故答案为：一组邻边相等． 【点睛】本题考查正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理． 【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 添加，能使矩形成为正方形． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 题型10.证明四边形是正方形 【典例】在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是________． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件：，，，．上述条件能使菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，根据菱形的性质，正方形的判定逐一判断即可，熟练掌握菱形的性质，正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，故不能判定菱形是正方形； ∵， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； 综上：能判定菱形是正方形， 故选：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（   ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B． ∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； D．∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：B． 题型11.正方形性质与判定求角度 【典例】如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB＝（　　） A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定 【答案】A 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解． 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=∠ADC=×90°=45°， 在菱形BDFE中，BD=DF， 所以，∠DBF=∠AFB， 在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°， 解得∠AFB=22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键． 【跟踪专练1】《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度． 【答案】21 【分析】由题意易得四边形ABCD是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD=DP，，则有CD=DP，然后可得，最后根据等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵，且都为等腰直角三角形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴， ∵点与点关于直线对称，， ∴，AD=DP， ∴CD=DP，， ∴， ∴， 故答案为21． 【点睛】本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 题型12.正方形性质与判定求线段长 【典例】如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．    【答案】 【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键． 【跟踪专练1】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意，由全等三角形的性质及正方形的判定与性得到相关线段长，在等腰中，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成， ， ，即中间四边形是正方形， ， ， ， 在等腰中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查“赵爽弦图”相关问题，涉及全等性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成，数形结合，借助正方形的判定与性质求解是解决问题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D为上一点，，点P为平分线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，过点P作于点E，于点F，由角平分线的性质得到，则可证明四边形CEPF是正方形，设，则，，由勾股定理结合可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点P作于点E，于点F， 平分，，， ∴， 又∵ ∴四边形CEPF是矩形， 矩形CEPF是正方形， 设，，则， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， 解得 ， 故选：C． 题型13.正方形性质与判定求面积 【典例】如图，是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理构造的图形，后人称之为“赵爽弦图”．该图形由四个全等的直角三角形拼接而成，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再证明四边形是正方形，即可作答． 【详解】在中，，，则：， ∵，，，全等， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 则四边形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，将个全等的阴影小正方形摆放得到边长为的正方形，中间小正方形的各边中点恰好为另外个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为，(为正整数)，则的值为___________ 【答案】11 【分析】连接MN，FH，由勾股定理可求FH的长，由三角形中位线定理可求MN的长，由题意列出等式可求a，b的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接MN，FH， ∵正方形EFGH的边长为， ∴FH＝×=， ∵M，N是EF，EH的中点， ∴MN＝， ∵AD＝1， ∴2×＋＝1， ∴4a−2−2b＋a−4＝0，且a、b为正整数， ∴ ∴a＝4，b＝7， ∴a＋b＝11， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，求出MN的长是本题的关键． 【跟踪专练2】如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（    ） A．5∶2 B．2∶1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明△HGM≌△EBM，得到BM=GB，再根据两个平行四边形的底与高的关系即可求解． 【详解】∵、、、是四个全等的直角三角形， ∴AB=BC=CD=AD,∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠BAE=90° ∴四边形ABCD是正方形 ∵BE：AE=1:2 ∴BE=HE=DG ∵∠GHM=∠BME=90°，∠HMG=∠EMB ∴△HGM≌△EBM ∴BM=GB，故BG：MG=2:1 又BFDH，BE=DG ∴四边形    是平行四边形 ∴BGDE ∵AECG ∴四边形    是平行四边形 ∵平行四边形与平行四边形的高相等 ∴四边形和四边形的面积比为BG：MG=2:1 故选B． 【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质． 题型14.由正方形性质与判定证明 【典例】如图，四边形ABCD是正方形，点G是边BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．已知DE＝10，BF＝6，则EF的长度为 ___． 【答案】4 【分析】因为AF=AE+EF，则可以通过证明△ABF≌△DAE，从而得到AE=BF，AF=DE 便得到了EF=DE- BF． 【详解】证明：∵ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90° ∵DE⊥AG， ∴∠AED=90° ∴∠ADE+∠DAE=90° 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°， ∴∠ADE=∠BAF． ∵BF∥DE， ∴∠AFB=∠DEG=∠AED． 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）． ∴BF=AE，AF=DE ∵AF=AE+EF， ∴EF=DE- BF=4， 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的掌握情况，本题难度一般． 【跟踪专练1】如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EFAB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF＋∠ADG＝90°，便可判断①的正误； ②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EFCD，便可判断②的正误； ③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误； ④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误． 【详解】①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAD＝∠BDC＝45°， ∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线， ∴∠DAE＝∠CDF， ∵∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠DAF+∠ADG＝90°， ∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF， 故①结论正确； ②在△AGF和△AGD中， ， ∴△AGF≌△AGD（ASA）， ∴GF＝GD， ∵AG⊥DF， ∴EF＝ED， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF， ∴EFCDAB，故②正确； ③∵△AGF≌△AGD（ASA）， ∴AD＝AF＝AB， 故③正确； ④∵EFCD， ∴∠OEF＝∠ODC＝45°， ∵∠COD＝90°， ∴EF＝ED＝OE， ∴， ∴AB＝CD＝（）EF， 故④错误． 故选：C． 【点睛】主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，涉及的知识点多，关系复杂，增加了解题的难度，关键是灵活运用这些知识解题． 【跟踪专练2】如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中正确结论有几个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意易得，则有四边形是矩形，进而可得，然后可判定①②，连接PC、AF，则有PC=EF，要使EF为最小，则PC为最小，根据点到直线垂线段最短可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，△PEB、△PFD都为等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； 连接PC、AF，如图所示： ∴PC=EF， ∵∠ABP=∠CBP=45°，AB=BC，BP=BP， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴AP=PC=EF，故③正确； 要使EF为最小，则PC为最小，则需满足PC⊥BD， ∴△BPC为等腰直角三角形， ∵BC=4， ∴，即， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及矩形的判定与性质是解题的关键． 题型15.中点四边形 【典例】顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形． 【详解】解：如图，    根据题意得，是的中点， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，已知第1个矩形的面积为，依次连接第1个矩形各边中点得到1个菱形，再依次连接菱形各边中点得到第2个矩形，按此方法继续下去，则第个矩形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形、菱形的性质．中点四边形的性质，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．第二个矩形的面积为第一个矩形面积的，第三个矩形的面积为第一个矩形面积的，依此类推，第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． 【详解】解：如图， 由轴对称的性质可得： 第一个菱形的面积为：， 第二个矩形的面积为第一个矩形面积的； 第三个矩形的面积是第一个矩形面积的； … 故第n个矩形的面积为第一个矩形面积的． ∴第n个矩形的面积为． 故答案为． 【跟踪专练2】如图，、、、分别是、、、的中点，且，下列结论：①；②四边形是矩形；③平分；其中正确的是______________． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， ，，，， ， ， 四边形是菱形， ，平分，故①③正确； 无法证明四边形是矩形，故②错误； 综上所述，①③共2个正确． 故答案为：①③． 题型16.特殊平行四边形动点问题 【典例】如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    【答案】6或11/11或6 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可． 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∴，， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定、矩形的性质、动点问题，分情况讨论即可作答． 【详解】①当点在上时，由题意得 要使，则需 解得： ②当在上时，不构成 ③当在 上时，由题意得 要使，则需，即 解得： 综上，当或时， 故答案为或． 题型17.四边形线段最值问题 【典例】如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是___________．    【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到．由旋转不变性可知：，．，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得，如图：    由旋转不变性可得：，， 且， 是等腰直角三角形， ， 最大，只需最大，而在中，， 当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是正方形，， ， 当最大时，最大，此时最大， 点是上的动点， 当点和点重合时，最大，即的长度， 此时， ， 的最大值为． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值___________．    【答案】 【分析】作点E关于的对称点N，连接，交于点G，根据两点之间线段最短，所以为的最小值，过点F作于点M，在直角中，求得的最小值为13，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，    作点E关于的对称点N， 因为正方形是轴对称图形，且为对称轴， 所以点N在上， 连接，交于点G，根据两点之间线段最短， 所以为的最小值， 过点F作于点M， 则，， 根据轴对称性质可知：， 所以， 在直角中，由勾股定理，得： ， 所以， 即的最小值为13， 在中，， 所以， 所以周长的最小值是． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路径问题，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 【跟踪专练3】如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，   菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 解答题 1．已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，再导角即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，所以，再通过线段的和与差即可求证； （）由四边形是正方形，得，，通过勾股定理，所以，则有，最后再由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 3．如图，已知O为正方形对角线的交点，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意利用方程思想求解是解此题的关键． （1）根据正方形的性质可得，可利用证得：； （2）由，可得，可证得，从而得到可得，，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可证得结论； （3）设边长为x，由（2）可表示出的长，然后在中，由勾股定理可得关于x方程即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵，， ∴， （2）证明：∵， ∴， ， ∴， ， ∵平分，即是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴正方形的面积为． 4．如图，已知正方形纸片的边长为9，，将沿对折至，延长交于点，连接，且平分． (1)证明：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． （1）利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出即可； （2）结合（1）设，则，，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∵将沿对折至， ∴，，， ∴，， 又∵， 在和中， ， ∴． （2）由（1）可知，，， ∴，， 设，则，， ∴在中，，即：， 解得， ∴． 5．如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； (3)在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论； （2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】（1）解： 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ． （2）解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形． ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，即， 四边形是矩形． （3）解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形． ，， ， 矩形是正方形． 【点睛】本题综合考查了平行线性质，等腰三角形的判定，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定等知识，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键． 6．如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形； （2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 7．如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”得到，从而是矩形，由直角三角形斜边上中线的性质得到，从而得到矩形是正方形； （2）先由勾股定理求得，进而得到，根据正方形的性质得到，，因此，，证明得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴是矩形， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质及正方形的性质是解题的关键． 8．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)互相垂直 (3) 【分析】本题考查的是中点四边形． （1）连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答； （3）根据邻边相等的平行是四边形是菱形解答． 【详解】（1）证明：如图，连接、， 点、、、分别为、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形的形状是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， ∵，，， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：互相垂直； （3）解：当时，四边形是菱形， ，，， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：相等． 9．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，；② (2) 【分析】（1）①，先证明是的中位线，是的中位线，推出；再证明，得到，，即可推出，再证明，即可得到；②②由①知：，利用勾股定理得到，求出，，即可求解； （2）如图，分别取、、、的中点、、、，连接同理（1）①可得；当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴； ∴ ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．如图，在中，，BC边上高为8，点D为边的中点点P从点B出发，沿折线向点C运动，在、上的速度分别为每秒5个单位长度和每秒个单位长度．当点P不与点A重合时，连接PD，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒．    (1)①线段的长为______； ②用含t的代数式表示线段的长； (2)当点E在内部时，求t的取值范围； (3)当是菱形时，求t的值； (4)作点B关于直线的对称点，连结，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)①；② (2)当或时，点E在内部 (3)或 (4)或 【分析】（1）①如图1中，过点A作于点H．利用勾股定理求出，即可；②分两种情形：当时，当时，分别求解即可． （2）分别判断出点E落在，上的时间，结合图形判断可得结论． （3）分两种情形：如图3中，当时，四边形是菱形，过点P作于点J．如图4中，当时，四边形是菱形．过点P作于点T．分别构建方程求解即可． （4）分两种情形：如图5中，当点P在上时，过点P作于点K．如图6中，当点P在上时，过点P作于点T．分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：①如图1中，过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②当时， ； 当时， ． （2）解：如图1中，当时，， 此时，点E落在， 观察图象可知，当时，点E在内部， 如图2中，    当时，， 此时，点E落在上， 观察图象可知，当时，点E在内部， 综上所述，当或时，点E在内部． （3）解：如图3中，当时，四边形是菱形．    过点P作于点J． 在，， ∴，， ∴，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：； 如图4中，当时，四边形是菱形．    过点P作于点T． 在中，，，， ∴， 由勾股定理得：， 即：， 解得：； 综上所述，满足条件的t的值为或． （4）解：如图5中，当点P在上时，         过点P作于点K． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图6中，当点P在上时，过点P作于点T．    同理可证：， ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $