专题02矩形的性质与判定（暑假预习讲义）-2026年北师大版数学九年级上册.

专题02矩形的性质与判定 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 基础认知：掌握矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系，厘清二者的联系与区别 核心性质：掌握矩形继承的平行四边形通用性质，熟练掌握矩形边角、对角线、对称性的专属性质，理解并运用直角三角形斜边中线推论 判定方法：熟练掌握定义法、角度判定法、对角线判定法三种矩形核心判定定理 综合应用：运用矩形的性质与判定完成线段、角度计算及简单几何证明，解决矩形与直角三角形结合的基础题型 ✅本节知识遵循“定义→性质→判定→应用”的几何学习逻辑，以平行四边形为知识基底，延伸出矩形的专属特征。 核心逻辑闭环清晰：依托矩形定义推导特殊性质，依托性质反向推导判定定理，最终结合直角三角形推论实现题型综合应用，四大模块层层递进,是后续学习正方形、特殊四边形综合题型的基础。 ✺学习目标 矩形基础认知：精准理解矩形的定义，牢记定义两大核心要素，清晰辨析矩形与普通平行四边形的包含关系，建立“矩形是特殊平行四边形”的几何认知。 矩形核心性质：全面掌握矩形的通用性质与专属特殊性质，熟知矩形的双重对称特征；熟练掌握直角三角形斜边中线定理，能够规范运用文字语言、几何符号语言表述所有性质，为计算和证明筑牢基础。 矩形判定方法：熟记三种矩形判定定理，精准区分各定理的适用条件与使用场景，规避判定易错点，能根据题干已知条件灵活选取最优判定方法。 综合应用：能够依托矩形性质完成线段长度、内角度数的基础计算，可独立完成简单的几何证明题，熟练掌握矩形与直角三角形结合题型的基础解题思路。 ✺题型归纳 题型1.矩形性质理解 题型2.利用矩形的性质求角度 题型3.根据矩形的性质求线段长 题型4.根据矩形的性质求面积 题型5.利用矩形的性质证明 题型6.求矩形在坐标系中的坐标 题型7.矩形与折叠问题 题型8.斜边的中线等于斜边的一半 题型9.矩形的判定定理理解 题型10.添一条件使四边形是矩形 题型11.证明四边形是矩形 题型12.根据矩形的性质与判定求角度 题型13.根据矩形的性质与判定求线段长 题型14.根据矩形的性质与判定求面积 题型15.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，日常所说的长方形、正方形均属于矩形范畴。 两个核心要素：四边形是平行四边形；有一个角为直角. 从属与包含关系：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的一切性质；但平行四边形不一定是矩形，二者的核心区别为是否存在直角内角。 知识点二、矩形的性质 性质 文字描述 符号语言 图示说明 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. 知识点三：矩形的判定定理 判定方法 判定定理 符号语言 图示 定义判定法 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 在▱ABCD中，∵∠ADC=90° ∴▱ABCD是矩形 角判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°, ∴四边形ABCD是矩形 对角线判定定理 对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，∵AC=BD ∴▱ABCD是矩形 提示：对角线相等的四边形不一定是矩形。必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形。 知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ✺题型◆精讲 题型1.矩形性质理解 1．如图，矩形的对角线，相交于点．下列说法不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=8，BC=6，则OD的长为___________． 3．如图，在矩形 中，对角线 、相交于点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，求长． 题型2.利用矩形的性质求角度 1．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是矩形的对角线的延长线上的一点，连接，若，，则________． 3．如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    题型3.根据矩形的性质求线段长 1．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（     ） A． B． C． D． 2．在矩形中，，，，垂足为点，的长为________． 3．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 题型4.根据矩形的性质求面积 1．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点，若，，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 3．【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 题型5.利用矩形的性质证明 1．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若，则的长为_____． 3．如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，已知对角线恰为线段的垂直平分线． (1)证明：； (2)若，，求矩形的周长． 题型6.求矩形在坐标系中的坐标 1．如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线（为整数）与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的值为_________． 3．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点在第一象限． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积与的面积相等，求的值； (3)在平面直角坐标系中存在一点，使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形，求点的坐标． 题型7.矩形与折叠问题 1．如图，在矩形中，点为的中点，点是的中点，连接，点是上一点，把沿翻折，使点落在上点处，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______． 3．如图，已知矩形中，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折痕的长． 题型8.斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，在菱形中，与交于点，，，于点，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D． 2．如图，四边形和都是菱形且点A，B，E在同一条直线上，点C是上一点，已知． （1）__________°； （2）连接，点H是的中点，连接，若，则__________． 3．如图，在中，，是边上的中线，平分交于点，于点，连接，交于点．记四边形的周长为，的周长为，的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 题型9.矩形的判定定理理解 1．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量对角线是否相等 B．测量对角线是否互相平分 C．测量是否有三个角相等 D．测量是否有三个角是直角 2．矩形的判定定理包括：（1）___________的平行四边形是矩形；（2）____________的平行四边形是矩形；（3）____________的四边形是矩形． 3．下面是小强设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，直线l和直线外一点． 求作：直线，使．    作法：如下图，    ①在直线l上任取两点A，B； ②以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在直线上方相交于点； ③作直线． 则直线就是所求作的直线． 请按要求解答下列问题： (1)请用无刻度的直尺和圆规将小强设计的尺规作图补充完整；（要求：保留作图痕迹，使用铅笔作图） (2)完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形是平行四边形（____________________）（填写推理的依据）． ∴（____________________）（填写推理的依据）． 即． (3)若，可知四边形是矩形（____________________）（填写推理的依据）． 题型10.添一条件使四边形是矩形 1．如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 3．如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 题型11.证明四边形是矩形 1．如图，点在的边上（不与点，重合），过点作，，分别交，于点，．下列说法正确的是（     ） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 2．如图，在梯形中，，，，，，则与间的距离为________． 3．如图，在中，，分别为，的中点，是上一定点，按以下步骤尺规作图． ①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求和的长． 题型12.根据矩形的性质与判定求角度 1．如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 2．如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝__． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 题型13.根据矩形的性质与判定求线段长 1．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，以线段，为边构造平行四边形，连接，，，则线段的长为______． 3．已知菱形中对角线、相交于点，点是线段的中点，过点作，交延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 题型14.根据矩形的性质与判定求面积 1．如图，P为矩形外一点，，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．1.5 D．2.5 2．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 3．如图，菱形的对角线、交于点，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． ✺巩固测试 一、单选题 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．两组对边分别相等 C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分 2．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，某同学利用几何画板作图发现：在矩形中，是上的一个动点，过点分别作两条对角线的垂线，垂足分别是E，F，不管怎么移动点，的值都保持不变．若，，则的值为（   ） A． B． C．12 D．24 4．如图，矩形的对角线，交于点，若，，则矩形的面积是（    ） A．12 B．18 C． D． 5．如图，折叠矩形，使点C的落点与点A重合，点B落在点处，折痕与边、的交点分别为、．已知，，则线段的长等于（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 7．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，3，5（单位：），则的长度为________． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 9．毕业季同学们互送贺卡如图所示，小颖制作了一张贺卡，做好后量得，，，小颖立刻判断这张贺卡形状是矩形，小颖的判断依据是_________． 10．如图，在中，，，以为边，在的下方作矩形，且使，连接，则的最大值为______________． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，，连接、交于点，且．过点作线段的垂线，分别交边和的延长线于点、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若的长为，，求的长． 12．如图，四边形的对角线与相交于点O，，． 有下列条件：①；②． (1)请从①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 13．已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． (1)求的度数； (2)求矩形纸片的面积． 14．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，过点D作于点E，求的度数． 15．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02矩形的性质与判定 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 基础认知：掌握矩形的定义，明确矩形与平行四边形的从属关系，厘清二者的联系与区别 核心性质：掌握矩形继承的平行四边形通用性质，熟练掌握矩形边角、对角线、对称性的专属性质，理解并运用直角三角形斜边中线推论 判定方法：熟练掌握定义法、角度判定法、对角线判定法三种矩形核心判定定理 综合应用：运用矩形的性质与判定完成线段、角度计算及简单几何证明，解决矩形与直角三角形结合的基础题型 ✅本节知识遵循“定义→性质→判定→应用”的几何学习逻辑，以平行四边形为知识基底，延伸出矩形的专属特征。 核心逻辑闭环清晰：依托矩形定义推导特殊性质，依托性质反向推导判定定理，最终结合直角三角形推论实现题型综合应用，四大模块层层递进,是后续学习正方形、特殊四边形综合题型的基础。 ✺学习目标 矩形基础认知：精准理解矩形的定义，牢记定义两大核心要素，清晰辨析矩形与普通平行四边形的包含关系，建立“矩形是特殊平行四边形”的几何认知。 矩形核心性质：全面掌握矩形的通用性质与专属特殊性质，熟知矩形的双重对称特征；熟练掌握直角三角形斜边中线定理，能够规范运用文字语言、几何符号语言表述所有性质，为计算和证明筑牢基础。 矩形判定方法：熟记三种矩形判定定理，精准区分各定理的适用条件与使用场景，规避判定易错点，能根据题干已知条件灵活选取最优判定方法。 综合应用：能够依托矩形性质完成线段长度、内角度数的基础计算，可独立完成简单的几何证明题，熟练掌握矩形与直角三角形结合题型的基础解题思路。 ✺题型归纳 题型1.矩形性质理解 题型2.利用矩形的性质求角度 题型3.根据矩形的性质求线段长 题型4.根据矩形的性质求面积 题型5.利用矩形的性质证明 题型6.求矩形在坐标系中的坐标 题型7.矩形与折叠问题 题型8.斜边的中线等于斜边的一半 题型9.矩形的判定定理理解 题型10.添一条件使四边形是矩形 题型11.证明四边形是矩形 题型12.根据矩形的性质与判定求角度 题型13.根据矩形的性质与判定求线段长 题型14.根据矩形的性质与判定求面积 题型15.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，日常所说的长方形、正方形均属于矩形范畴。 两个核心要素：四边形是平行四边形；有一个角为直角. 从属与包含关系：矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的一切性质；但平行四边形不一定是矩形，二者的核心区别为是否存在直角内角。 知识点二、矩形的性质 性质 文字描述 符号语言 图示说明 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. 知识点三：矩形的判定定理 判定方法 判定定理 符号语言 图示 定义判定法 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 在▱ABCD中，∵∠ADC=90° ∴▱ABCD是矩形 角判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°, ∴四边形ABCD是矩形 对角线判定定理 对角线相等的平行四边形是矩形 在▱ABCD中，∵AC=BD ∴▱ABCD是矩形 提示：对角线相等的四边形不一定是矩形。必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形。 知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ✺题型◆精讲 题型1.矩形性质理解 1．如图，矩形的对角线，相交于点．下列说法不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点 ∴，，，，故A，B正确，不符合题意； ∴，故D正确，不符合题意； 根据题意无法得到，故C错误，符合题意． 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=8，BC=6，则OD的长为___________． 【答案】5 【分析】由勾股定理求出BD的长，再根据矩形的性质求出OD的长即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=6，∠BAD=90° ∵AB=8 ∴ ∴． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了矩形．勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． 3．如图，在矩形 中，对角线 、相交于点，，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，求长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ， ∴四边形为菱形． (2) 【分析】（1）由矩形的性质可知，从而由有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得； （2）由菱形的性质得，进而证明，从而得到四边形为平行四边形，即可得到． 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知：四边形为菱形． ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形为平行四边形， ． 题型2.利用矩形的性质求角度 1．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵过点作的垂线交于点， ， ， 故选：C． 2．如图，点是矩形的对角线的延长线上的一点，连接，若，，则________． 【答案】 【分析】设与的交点为点，先根据矩形对角线的性质求出的值，根据三角形内角和的定理求出，再结合，等量代换推出，求出的值，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】设与的交点为点， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵的内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    【答案】 【分析】根据四边形是矩形及平分，可得，从而得出．又由可得，最后得出． 【详解】解：四边形是矩形，平分， ， ． 又， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 题型3.根据矩形的性质求线段长 1．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得，结合邻补角定义求出，从而判定为等边三角形，进而求出的长，求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ． 2．在矩形中，，，，垂足为点，的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据，最后代入数值可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， 解得． 3．如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点O，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形为矩形． (2)的长为． 【分析】（1）由得，从而，进而可证四边形是矩形； （2）证明为等边三角形得，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为矩形， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 的长为． 题型4.根据矩形的性质求面积 1．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点，若，，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据矩形性质和中点定义求出四个角上直角三角形的直角边长，利用矩形面积减去四个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， ，，，分别为矩形各边的中点， ，， ， ． 2．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 3．【理解概念】 如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图1，矩形即为的“矩形框”． (1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的___________； (2)钝角三角形的“矩形框”有___________个； (3)如图2，已知中，，求的“矩形框”的周长； 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题考查的勾股定理的应用，矩形的性质，清晰的分类是解本题的关键． （1）利用面积公式可直接得到答案； （2）由钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，从而可得答案； （2）当或与“矩形框”一边重合时， 利用矩形的性质直接可得答案；当与“矩形框”一边重合时，利用等面积法求解，从而可得答案； 【详解】（1）解：∵矩形为的“矩形框” ∴； 故答案为： （2）解：由“矩形框”的含义得：钝角三角形夹钝角的两边不能作为矩形的边，所以钝角三角形的矩形框只有1个， 故答案为：1 （3）解：当或与“矩形框”一边重合时，周长为； 当与“矩形框”一边重合时，如图，作交AB于D． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长为． 综上，的“矩形框”的周长为或． 题型5.利用矩形的性质证明 1．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得到，因此是的垂直平分线，得到，设，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】如图，连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 2．如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，利用ASA可证明，可得，利用勾股定理可求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】连接，设交于点， ∵为的中垂线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质及全等三角形的判定定理是解题关键． 3．如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，已知对角线恰为线段的垂直平分线． (1)证明：； (2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：如图所示，设交于点O， ∵对角线恰为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，证明，即可证明； （2）由矩形的性质得到，，可证明，则可得到，，由线段垂直平分线的性质和（1）的结论可求出的长，进而求出的长，再根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵对角线恰为线段的垂直平分线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴矩形的周长． 题型6.求矩形在坐标系中的坐标 1．如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】矩形对角线相等且互相平分，因此对角线与中点相同，且，设中点为，先求出点坐标对应的中点纵坐标，再利用中点坐标公式求出点纵坐标． 【详解】解：设对角线、交于点， 四边形是矩形， 矩形对角线相等且互相平分，，是、共同中点． 在轴正半轴，，设，， 长度为，得， ． 设，已知， 由中点坐标公式：中点横坐标，纵坐标， 中点坐标， 两点中点相同，纵坐标相等： ， 两边同乘2：， 解得：． 点的纵坐标是． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，且轴，直线（为整数）与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的值为_________． 【答案】或或 【分析】首先根据矩形的性质求出，然后分别将和代入求出b的值，然后根据题意求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点，，且轴， ∴， 当线段上有3个整点（包含线段端点）时，3个整点为，，， ∴当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∵为整数， ∴的值为或或． 3．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点在第一象限． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积与的面积相等，求的值； (3)在平面直角坐标系中存在一点，使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）轴上点纵坐标为0，轴上点横坐标为0，代入函数解析式求解即可； （2）先求出的面积，可得的面积，再用点的坐标表示的面积，代入计算即可； （3）根据矩形互相平分且相等的性质，列中点公式求的坐标，再验证对角线相等即可． 【详解】（1）令，代入一次函数解析式得， 解得， ∴； 令，代入一次函数解析式得， ∴； （2）过作轴于，过作，交于， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∵且在第一象限， ∴， ∴ ， ∴, ∴ ， ​ 令， 解得； （3）由(2)得 ，四个点构成矩形，根据矩形对角线互相平分且相等，分三种情况讨论： ① 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ，， 设， ∴由中点重合： 解得 ∴ ， ∵矩形的对角线相等，则, ∴， 整理的：, 解得：，， ∴（不符合题意，舍去）或； ② 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ， 同理得： 解得 ， 此时,即， ∴ 整理得， 解得（舍去） ③ 若为矩形的对角线： 中点坐标为 ， 同理得： ​ 解得 ， ∴， ∵， ∴ 整理得， ∴， ∴; ∴ 存在或使得以，，，四个点为顶点的四边形为矩形． 题型7.矩形与折叠问题 1．如图，在矩形中，点为的中点，点是的中点，连接，点是上一点，把沿翻折，使点落在上点处，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明四边形为矩形，可得三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，， 点为的中点，点是的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 垂直平分， ， 根据翻折可得， ， 为等边三角形， ， ． 2．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______． 【答案】/ 【分析】由折叠的性质，得，然后求出，则求出的长度，再根据勾股定理建立方程，求出即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠的性质，得， ∵， ∴， 又， 在中，， ， 解得， ． 3．如图，已知矩形中，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折痕的长． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠知， ， ； (2) 【分析】（1）由折叠知，由得，再得，得证； （2）设，则，由勾股定理得到方程，得到、的长，作于点G，再由勾股定理得出的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 由折叠知， ， ． （2）解：由折叠知， 四边形为矩形， ， 又， 设，则， 在中，， ， ，， 如图，过点E作于点G， ， 四边形为矩形， ，， 由（1）知， ， 在中，， ． 题型8.斜边的中线等于斜边的一半 1．如图，在菱形中，与交于点，，，于点，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，四边形和都是菱形且点A，B，E在同一条直线上，点C是上一点，已知． （1）__________°； （2）连接，点H是的中点，连接，若，则__________． 【答案】 120 【分析】（1）根据菱形的性质结合平行线的性质即可解答； （2）如图，连接、、，与交于点O，根据菱形的性质和，证明是等边三角形，得出，证明，根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形和都是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴． （2）如图，连接、、，与交于点O， ∵四边形和都是菱形，， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵是斜边上的中线， ∴． 3．如图，在中，，是边上的中线，平分交于点，于点，连接，交于点．记四边形的周长为，的周长为，的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，是边上的中线， ∴， ∵平分交于点，于点， ∴，， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）证明，结合等腰三角形的性质证明，进一步可得结论； （2）求解，结合矩形性质可得，可得，，结合勾股定理与直角三角形斜边上的中线可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵四边形的周长为，的周长为，的周长为． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 题型9.矩形的判定定理理解 1．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量对角线是否相等 B．测量对角线是否互相平分 C．测量是否有三个角相等 D．测量是否有三个角是直角 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形对角线也相等，故A错误； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B错误； C．三个角相等的四边形不一定是矩形，故C错误； D．有三个角是直角的四边形是矩形，故D正确． 故选：D． 2．矩形的判定定理包括：（1）___________的平行四边形是矩形；（2）____________的平行四边形是矩形；（3）____________的四边形是矩形． 【答案】 有一个角是直角 对角线相等 有三个角是直角 【分析】矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；根据定义与判定可得答案. 【详解】解：矩形的判定定理包括： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形． 故答案为：有一个角是直角，对角线相等，有三个角是直角 【点睛】本题考查的是矩形的定义与判定，熟知矩形的定义与判定是解题的关键. 3．下面是小强设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图，直线l和直线外一点． 求作：直线，使．    作法：如下图，    ①在直线l上任取两点A，B； ②以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在直线上方相交于点； ③作直线． 则直线就是所求作的直线． 请按要求解答下列问题： (1)请用无刻度的直尺和圆规将小强设计的尺规作图补充完整；（要求：保留作图痕迹，使用铅笔作图） (2)完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形是平行四边形（____________________）（填写推理的依据）． ∴（____________________）（填写推理的依据）． 即． (3)若，可知四边形是矩形（____________________）（填写推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行． (3)有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】（1）根据题目告诉的作图方法进行作图即可； （2）利用平行四边形的性质与判定证明即可； （3）根据矩形的判定填写推论依据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线就是所求作的直线．    （2）证明：， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． （平行四边形的两组对边分别平行）． 即．    （3）若，则可知四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质与判定，矩形的判定定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 题型10.添一条件使四边形是矩形 1．如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 2．如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了轴对称图形，矩形的判定等知识．根据矩形的判定与性质添加条件即可． 【详解】解：添加， ∵在中，， ∴是矩形， ∴添加，则为轴对称图形， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵点E，F分别在边上，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵与对角线相交于点O， ∴； (2)（答案不唯一） 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）根据有一个角是直角的平行四边形，添加，即可. 【详解】（1）略 （2） 略 题型11.证明四边形是矩形 1．如图，点在的边上（不与点，重合），过点作，，分别交，于点，．下列说法正确的是（     ） A．若，则四边形是矩形 B．若垂直平分，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 2．如图，在梯形中，，，，，，则与间的距离为________． 【答案】 【分析】过点D作于点E，可证四边形为矩形，得出，再根据勾股定理即可求出与间的距离． 【详解】解：过点D作于点E，如图， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， 与间的距离为． 3．如图，在中，，分别为，的中点，是上一定点，按以下步骤尺规作图． ①以点为圆心，为半径作弧，交于另一点； ②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，交于点，点在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)证明：由条件可知为的中位线， ， 即， ． 四边形是平行四边形， 根据作图可知：， 四边形是矩形； (2)， 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据作图痕迹可知，进而即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质得，结合中位线的性质可得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 由条件可知， ， 分别为的中点， 是的中位线， ， ． 题型12.根据矩形的性质与判定求角度 1．如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 2．如图所示，把一张矩形纸片按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰Rt△ABC，若S△ABC＝2，则S△ACD＝__． 【答案】4+4 【分析】根据折叠的性质可得，分别求出，，求出，即可得出． 【详解】解：如图：过点作于点， 是等腰直角三角形，， ，即， ， 折叠， ，， 纸片为矩形， 折叠后，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，等腰直角三角形，三角形的面积，勾股定理，通过折叠得出是解题的关键. 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】证明：（1）， ， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 题型13.根据矩形的性质与判定求线段长 1．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由三边长度判定为直角三角形，再根据、推出四边形是矩形，利用矩形对角线性质得，因此求最小值等价于求最小值；根据垂线段最短，当时最小，结合三角形面积求出最短，即可算出最小值． 【详解】解：已知，，， ， 即， ． ，，， ， 四边形是矩形． 连接，矩形对角线相等且互相平分，、为矩形对角线，是中点， 也是中点，即． 要使最小，只需最小． 根据垂线段最短，当时，长度最小． ， 代入边长：， 化简得：， 解得． ， 综上，的最小值为． 2．如图，在四边形中，，以线段，为边构造平行四边形，连接，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】将平移至使得与重合，连接与相交于点，连接，，则，，，证四边形是矩形，进而证明是直角三角形，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ，， 如图所示，将平移至使得与重合，连接与相交于点，连接，， 则，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ，，即点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴在中，， ． 3．已知菱形中对角线、相交于点，点是线段的中点，过点作，交延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 四边形是菱形， ，， ，， ， ，即， 在中，， ， ． 点F为中点， 点O为中点， 为中位线， 且， 点F是中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． (2) 【分析】（1）连接，证明，可得四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得四边形是矩形； （2）求得，则可得，再求得，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， 点F为中点， ． 在中，． 题型14.根据矩形的性质与判定求面积 1．如图，P为矩形外一点，，则的面积是（    ） A．3 B．4 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】过点作，分别交的延长线于点，根据矩形的性质可得，矩形，即可求得． 【详解】如图，过点作，分别交的延长线于点， 四边形是矩形， 矩形，， 四边形是矩形， ， 矩形， ， ． 故选A 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，找到三角形的面积与矩形的面积之间的关系是解题的关键． 2．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 3．如图，菱形的对角线、交于点，且，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理得到，根据矩形的面积公式得到四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：菱形， ，， ， ，， 设交于点， ∴四边形是矩形， ， 为等边三角形， ， ． ∴四边形的面积． ✺巩固测试 一、单选题 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．两组对边分别相等 C．两条对角线相等 D．两条对角线互相平分 【答案】C 【分析】对比两类图形的性质，由矩形与一般平行四边形的性质区别，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形都具有， A、邻边相等不是平行四边形的性质，也不是矩形的性质，选项不符合题意； B、矩形和一般平行四边形都具有两组对边分别相等的性质，选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定相等，因此对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质，选项符合题意； D、矩形和一般平行四边形都具有对角线互相平分的性质，选项不符合题意． 2．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 3．如图，某同学利用几何画板作图发现：在矩形中，是上的一个动点，过点分别作两条对角线的垂线，垂足分别是E，F，不管怎么移动点，的值都保持不变．若，，则的值为（   ） A． B． C．12 D．24 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接．由矩形的两边，，可求得，然后由，求得答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形的两边，， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，矩形的对角线，交于点，若，，则矩形的面积是（    ） A．12 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，结合求出，判定为等边三角形，从而求出对角线长度，再利用勾股定理求出长，最后计算面积即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴矩形的面积． 5．如图，折叠矩形，使点C的落点与点A重合，点B落在点处，折痕与边、的交点分别为、．已知，，则线段的长等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】折叠后重合，折痕垂直平分对角线，先利用勾股定理求出长度，再通过设未知数结合勾股定理求出线段，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：连接，交于点． 矩形中，，，． 由折叠知：垂直平分，即，． ， ， 设，则（折叠）． 在中，由勾股定理： ， ， 解得， ， 在中，由勾股定理：， ， 由矩形对称性，， ． 二、填空题 6．如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（合理即可） 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由矩形的判定，添加或（合理即可）． 7．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，3，5（单位：），则的长度为________． 【答案】2 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， ，， ， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】分别过点作轴的垂线，垂足分别为，利用矩形的性质证得求得的长度，再利用等量代换求得的长度，根据点所在象限求得点坐标． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ， ∵四边形是矩形，是矩形的对角线， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵顶点的坐标分别为，，， ∴, ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为． 9．毕业季同学们互送贺卡如图所示，小颖制作了一张贺卡，做好后量得，，，小颖立刻判断这张贺卡形状是矩形，小颖的判断依据是_________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】先证明出四边形为平行四边形，再结合勾股定理逆定理得出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴小颖的判断依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形． 10．如图，在中，，，以为边，在的下方作矩形，且使，连接，则的最大值为______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，三角形三边的关系等知识． 过点A作，且使得，连接，，，利用三角形相似的性质求解即可． 【详解】过点A作，且使得，连接，，，构造，利用相似三角形的性质求出，然后根据即可求解． ∵，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 因为， 当B，F，E三点共线时，的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，，连接、交于点，且．过点作线段的垂线，分别交边和的延长线于点、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若的长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，三角函数，勾股定理． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据可证四边形为矩形； （2）根据矩形的性质得到，即，进而根据得到，根据三角函数求出，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形； （2）解：四边形为矩形， ，即． ， ， 即， ， ， ，即， 在中，，即，解得（负值已舍去）， 的长为5． 12．如图，四边形的对角线与相交于点O，，． 有下列条件：①；②． (1)请从①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)选择①． 证明：，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 选择②． 证明：，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）选①或选②都先证明四边形是平行四边形，然后再根据即可得出四边形是矩形． （2）由矩形的性质得出，．由等边对等角得出，进而可得出，由含30度直角三角形的性质得出． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵由（1）可得四边形为矩形， ，． ， ， ． 又，， ． 13．已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． (1)求的度数； (2)求矩形纸片的面积． 【答案】(1)的度数为，的度数为 (2) 【分析】（1）利用矩形对边平行的性质，得到内错角相等，结合折叠前后对应角相等的性质，可推导的度数，再利用平角为的性质计算的度数． （2）先在直角三角形中，结合的度数与的长度，利用直角三角形的边角关系求出和的长度．然后根据折叠的性质得到对应边相等，可知与长度相等，再求出的长度，再根据矩形面积公式计算矩形的面积． 【详解】（1）解：∵ 四边形是矩形， ∴，， ∴． 根据折叠性质，折叠前后对应角相等， ∴． ∴． 在中，． （2）解：∵，，， ∴． 由勾股定理得：​． 根据折叠性质，得， ∴． ∴矩形面积​． 14．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，过点D作于点E，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形． (2) 【分析】（1）证明的对角线即可得证矩形； （2）根据矩形的性质得到，因此，根据垂直的定义与直角三角形两锐角互余求出，根据角的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，． (1)求证：； (2)若菱形的边长为，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：为菱形， ， ， 四边形是平行四边形． ， ∴， 平行四边形是矩形；   ； (2) 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，，根据勾股定理得出，最后根据矩形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $