第02讲 矩形的性质与判定（知识点+13题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

第02讲 矩形的性质与判定（知识点+13题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 矩形性质理解 题型2 利用矩形的性质求角度 题型3 根据矩形的性质求线段长 题型4 根据矩形的性质求面积 题型5 利用矩形的性质证明 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 题型7 矩形与折叠问题 题型8 斜边的中线等于斜边的一半 题型9 矩形的判定定理理解 题型10证明四边形是矩形 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 题型12根据矩形的性质与判定求线段长 题型13根据矩形的性质与判定求面积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 矩形的定义、矩形的边、角、对角线、矩形的对称性、矩形的性质、矩形的判定、直角三角形斜边中线定理、矩形的面积计算 1. 理解矩形的定义，认识矩形的边、内角、对角线，能用符号语言表示矩形，明确矩形与平行四边形的从属关系。 2. 掌握矩形的性质定理（四个角都是直角、对角线相等且互相平分）及直角三角形斜边中线等于斜边的一半的重要推论，了解矩形的轴对称性与中心对称性，能运用矩形的性质及推论进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证明。 3. 掌握矩形的三个判定定理（定义法、三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形），能运用判定定理证明一个四边形或平行四边形是矩形，并能准确区分矩形的性质与判定。 4. 掌握矩形的面积计算公式（长×宽），能解决与矩形相关的实际问题和折叠问题，体会转化与数形结合的数学思想。 学习重点：矩形的概念与表示方法、矩形的性质定理、矩形的判定定理、直角三角形斜边中线定理的应用。 学习难点：矩形性质与判定的综合应用，矩形与平行四边形、菱形的联系与区别，分类讨论思想在矩形折叠、对角线问题中的应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形） 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 即时即练已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【易错提醒】 判定矩形不可直接用“有一个直角的四边形是矩形”；必须满足两大条件，先为平行四边形，再存在一个内角为直角。 知识点02 矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，同时还有以下独特性质： 性质类别 具体内容 几何语言 对应易错提醒 角的性质 矩形的四个角都是直角 ∵ 四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 普通平行四边形对角相等、邻角互补，只有矩形四个内角全部为90°，切勿混淆。 对角线性质 矩形的对角线相等且互相平分 ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC=BD，OA=OB=OC=OD 矩形独有对角线相等；普通平行四边形对角线仅互相平分，并不相等，是高频易混点。 对称性 矩形是轴对称图形，有2条对称轴，分别为过对边中点的直线；同时也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 - 对称轴不是对角线；正方形有4条对称轴，普通矩形仅有2条，不要混淆。 教材重要推论（直角三角形性质）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何语言：在Rt△ABC中，O为斜边AC中点，则BO=AC 即时即练矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．四条边相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 知识点03 矩形的判定定理 满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是矩形： 判定方法 具体内容 几何语言 对应易错提醒 定义判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠A=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 前提必须是平行四边形，仅单个直角的四边形无法判定为矩形。 角判定 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 无需先证平行四边形；无需四个角都是直角，三个直角即可直接判定。 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 易错重灾区！不能说“对角线相等的四边形是矩形”，缺少平行四边形前提，命题错误。 即时即练下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 【易错提醒】 对角线互相平分代表四边形为平行四边形，叠加对角线相等，可直接判定为矩形。 知识点04 矩形的面积计算 1. 计算公式：S=长×宽 2. 本质：沿用平行四边形面积公式（底×高），矩形的长和宽互为底和高 即时即练如图，在中，．D在上，于，于F．已知．则四边形的面积为_______ ． 【易错提醒】 矩形不能套用菱形对角线面积公式；不可用×对角线乘积计算面积，极易和菱形公式混淆。 题型1 矩形性质理解 【例1】如图，在一个大矩形中不重叠放置4个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正确的是（） A．只与大矩形的长有关 B．只与大矩形的宽有关 C．与大矩形的长和宽都有关 D．与大矩形的长和宽都无关 【技巧归纳】 角：四个角都是直角 边：对边平行且相等 对角线：相等且互相平分（分成4个等腰三角形） 对称性：轴对称（2条对称轴）+中心对称 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 题型2 利用矩形的性质求角度 【例2】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 对角线平分后，OA=OB=OC=OD，出现多组等腰三角形 利用直角互余、邻角互补、对顶角相等推导 出现30°、45°、60°时，直接用特殊直角三角形角度关系 折叠问题中，对应角相等，折痕平分对应角 【变式2-1】如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 题型3 根据矩形的性质求线段长 【例3】如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A．60 B．120 C．156 D．180 【技巧归纳】 已知长和宽，求对角线必用勾股定理： 对角线被交点分成的四条线段长度相等 折叠问题：设未知数，将已知和未知边集中到一个直角三角形中用勾股 直角三角形中见斜边中点，立即想到斜边中线等于斜边一半 【变式3-1】如图，在矩形中，E是上一点，F是的中点，且．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型4 根据矩形的性质求面积 【例4】如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 核心公式：长×宽（底×高） 对角线将矩形分成4个面积相等的等腰三角形，每个面积为 利用面积相等可求斜边上的高 矩形中阴影面积常用割补法、等积变换法 【变式4-1】如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（   ） A． B．9 C． D．18 【变式4-2】如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 题型5 利用矩形的性质证明 【例5】如图，四边形是矩形，点是延长线上一点，过点作的垂线交于点．若，求证：四边形是菱形． 【技巧归纳】 证角相等：用直角互余、等腰三角形底角相等 证线段相等：用对边相等、对角线相等且平分 证垂直：用矩形的直角性质 常用辅助线：连接对角线 【变式5-1】如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当，，求的长． 【变式5-2】如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 【例6】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 边与坐标轴平行时：相邻顶点横/纵坐标相同 对角线中点坐标相同： 已知边长求坐标：横坐标差=水平边长，纵坐标差=垂直边长 注意多解：矩形可在不同象限或不同位置 【变式6-1】如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 故选：A． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型7 矩形与折叠问题 【例7】第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 折叠本质：轴对称，对应边相等、对应角相等 折痕是对应点连线的垂直平分线 通用步骤：设未知数→表示相关线段→找直角三角形→列勾股方程求解 常见结论：折叠后重叠部分一定是等腰三角形 【变式7-1】如图，在矩形中，，点是的中点，连接，将沿翻折，得到，延长交于点，若点恰好是的中点，则__________． 【变式7-2】如图，矩形中，，点为上一点，连接，过点作交于点，连接．将沿翻折，使点落在点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则的长为______． 题型8 斜边的中线等于斜边的一半 【例8】如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【技巧归纳】 适用条件：直角三角形+斜边中点，缺一不可 逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形 常与等腰三角形三线合一、勾股定理结合使用 看到“直角+中点”，第一反应连斜边中线 【变式8-1】如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点O 重合，折痕为，则五边形的周长为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式8-2】如图，是斜边的中线，E是的中点．若，，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 题型9 矩形的判定定理理解 【例9】我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【技巧归纳】 任意四边形：①三个角是直角；②对角线相等且互相平分 平行四边形：①有一个角是直角；②对角线相等 易错点：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先证是平行四边形 【变式9-1】活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 【变式9-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，都在格点上，，为，与格线的交点，则的长为___________． 题型10 证明四边形是矩形 【例10】如图，在平行四边形中，，．垂足为．求证：四边形是矩形． 【技巧归纳】 已知有直角：优先证三个角是直角，或证是平行四边形+一个直角 已知对角线：优先证对角线相等且平分，或证是平行四边形+对角线相等 已知是平行四边形：优先证一个角是直角，次证对角线相等 证明步骤：先证平行四边形（若需要），再证矩形特有条件 【变式10-1】如图，在中，点E、F分别在上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，则的长为 ． 【变式10-2】如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 【例11】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 第一步：严格按题型10的方法证明四边形是矩形 第二步：利用四个直角、对角线分成的等腰三角形求角 结合折叠、旋转等变换，利用角度不变性推导 出现特殊角（30°、45°、60°）时，直接套用特殊三角形结论 【变式11-1】两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【变式11-2】如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（        ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 【例12】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的长为_______．    【技巧归纳】 第一步：证明四边形是矩形，得到直角和对角线相等 第二步：在直角三角形中用勾股定理或斜边中线性质计算 利用矩形对边相等、对角线平分的性质转化线段 折叠问题仍遵循“设未知数+勾股定理”的通用解法 【变式12-1】如图，在一个长为的大矩形中，放入形状、大小完全相同的个小矩形，根据图中信息可得小矩形的面积为____． 【变式12-2】如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 题型13 根据矩形的性质与判定求面积 【例13】如图，在等腰中，，以为圆心，任意长为半径画弧交于，交于，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于，以、为邻边作，连接，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是矩形 第二步：已知长和宽用“长×宽”；已知对角线和高用等积法 若对角线互相垂直（即正方形），也可用 阴影面积常用“总面积-空白面积”的间接法计算 【变式13-1】小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点、、、分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料匹，那么需要乙布料（     ） A．匹 B．匹 C．匹 D．匹 【变式13-2】如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 一、单选题 1．在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 3．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（    ） A．测量两条对角线是否相等 B．测量门框的一组邻边是否相等 C．测量两条对角线是否互相平分 D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直 4．如图，矩形的对角线，相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 5．四边形，当，时，在下列选项中，添加一个条件，使得四边形是矩形的是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分每一组对角 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D 的坐标分别为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 8．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（     ） A． B． C．4 D． 9．如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时，则 B．当恰好为的中点时，则的面积为 C．在折叠的过程中，的周长有可能是的2倍 D．当时，连结，四边形是等腰梯形 12．迁移是一种重要的能力．如图，在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：．有下列两种说法： ①如图，在矩形中，若点是矩形内部一点，且，，，则； ②如图，在平行四边形中，对角线，点为边的中点，若，则的值为定值． 则下列判断正确的是（     ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 13．如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（     ） A．5 B．10 C． D． 二、填空题 14．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为．若y轴平分矩形的面积，则点C到y轴的距离是_______． 16．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 17．如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________． 18．如图，已知矩形中，，，为边上一点，连接，将点沿着折叠，点落在点处，连接并延长交于，若，则的长是________，的长是________． 19．如图，在四边形中，，，与相交于点，请添加一个条件______________，使四边形是矩形． 20．如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿折叠，使得点与点重合，则长为________． 21．如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 三、解答题 22．如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 23．如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 24．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作矩形，使点P在边上； (2)在图②中，作使点P为对称中心． 68．如图，在中，为的中点，为的中点，为的中点．若，求的长． 25．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 26．如图，在中，于点E． (1)尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； (2)求证：四边形是矩形． 27．如图，矩形的对角线，相交于点O． (1)尺规作图：在平面内确定一点E，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，四边形的面积为，求的长． 28．如图，在矩形中，点，分别为边，上的点，且，连接，． 求证：． 29．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 30．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 31．已知在矩形中，，，点是射线上的一个动点，以点为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段． (1)当点在线段上时， ①如图1，点为对角线，的交点，若，连接，求证：； ②如图2，连接，，，若为等腰三角形，求的面积； (2)如图3，连接，，在点的运动过程中，求的最小值． 32．【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 矩形的性质与判定（知识点+13题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 矩形性质理解 题型2 利用矩形的性质求角度 题型3 根据矩形的性质求线段长 题型4 根据矩形的性质求面积 题型5 利用矩形的性质证明 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 题型7 矩形与折叠问题 题型8 斜边的中线等于斜边的一半 题型9 矩形的判定定理理解 题型10证明四边形是矩形 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 题型12根据矩形的性质与判定求线段长 题型13根据矩形的性质与判定求面积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 矩形的定义矩形的边、角、对角线矩形的对称性矩形的性质矩形的判定直角三角形斜边中线定理矩形的面积计算 1. 理解矩形的定义，认识矩形的边、内角、对角线，能用符号语言表示矩形，明确矩形与平行四边形的从属关系。 2. 掌握矩形的性质定理（四个角都是直角、对角线相等且互相平分）及直角三角形斜边中线等于斜边的一半的重要推论，了解矩形的轴对称性与中心对称性，能运用矩形的性质及推论进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证明。 3. 掌握矩形的三个判定定理（定义法、三个角是直角的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形），能运用判定定理证明一个四边形或平行四边形是矩形，并能准确区分矩形的性质与判定。 4. 掌握矩形的面积计算公式（长×宽），能解决与矩形相关的实际问题和折叠问题，体会转化与数形结合的数学思想。 学习重点：矩形的概念与表示方法、矩形的性质定理、矩形的判定定理、直角三角形斜边中线定理的应用。 学习难点：矩形性质与判定的综合应用，矩形与平行四边形、菱形的联系与区别，分类讨论思想在矩形折叠、对角线问题中的应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形） 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 即时即练已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据已知条件判定四边形为矩形，再根据正方形的判定定理，添加使矩形成为正方形的条件即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 当添加条件时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形为正方形． 【易错提醒】 判定矩形不可直接用“有一个直角的四边形是矩形”；必须满足两大条件，先为平行四边形，再存在一个内角为直角。 知识点02 矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，同时还有以下独特性质： 性质类别 具体内容 几何语言 对应易错提醒 角的性质 矩形的四个角都是直角 ∵ 四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 普通平行四边形对角相等、邻角互补，只有矩形四个内角全部为90°，切勿混淆。 对角线性质 矩形的对角线相等且互相平分 ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AC=BD，OA=OB=OC=OD 矩形独有对角线相等；普通平行四边形对角线仅互相平分，并不相等，是高频易混点。 对称性 矩形是轴对称图形，有2条对称轴，分别为过对边中点的直线；同时也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 - 对称轴不是对角线；正方形有4条对称轴，普通矩形仅有2条，不要混淆。 教材重要推论（直角三角形性质）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何语言：在Rt△ABC中，O为斜边AC中点，则BO=AC 即时即练矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．四条边相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【详解】解：选项A，平行四边形的对角线互相平分，矩形和菱形都属于平行四边形，是两者共有的性质，不符合题意； 选项B，四条边相等是菱形具有的性质，矩形不具有，不符合题意； 选项C，矩形四个角都是直角，因此四个角相等，菱形仅对角相等，四个角不一定相等，符合题意； 选项D，对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不具有，不符合题意． 知识点03 矩形的判定定理 满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是矩形： 判定方法 具体内容 几何语言 对应易错提醒 定义判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠A=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 前提必须是平行四边形，仅单个直角的四边形无法判定为矩形。 角判定 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵∠A=∠B=∠C=90° ∴ 四边形ABCD是矩形 无需先证平行四边形；无需四个角都是直角，三个直角即可直接判定。 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD ∴ 四边形ABCD是矩形 易错重灾区！不能说“对角线相等的四边形是矩形”，缺少平行四边形前提，命题错误。 即时即练下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 【答案】C 【详解】解：选项A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A错误； 选项B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误； 选项C、初中矩形判定定理明确：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合判定规则，故C正确； 选项D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故D错误． 【易错提醒】 对角线互相平分代表四边形为平行四边形，叠加对角线相等，可直接判定为矩形。 知识点04 矩形的面积计算 1. 计算公式：S=长×宽 2. 本质：沿用平行四边形面积公式（底×高），矩形的长和宽互为底和高 即时即练如图，在中，．D在上，于，于F．已知．则四边形的面积为_______ ． 【答案】2 【分析】以为邻边构造矩形，延长交于点，延长交于点，根据矩形的性质，推出四边形的面积等于矩形的面积即可得出结果. 【详解】解：以为邻边构造矩形，延长交于点，延长交于点，如图， 由题意，可知，四边形均为矩形， ∴， ∵为矩形的对角线， ∴， 同理：，， ∴， 即四边形的面积. 【易错提醒】 矩形不能套用菱形对角线面积公式；不可用×对角线乘积计算面积，极易和菱形公式混淆。 题型1 矩形性质理解 【例1】如图，在一个大矩形中不重叠放置4个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正确的是（） A．只与大矩形的长有关 B．只与大矩形的宽有关 C．与大矩形的长和宽都有关 D．与大矩形的长和宽都无关 【答案】B 【分析】通过设未知数表示小矩形的长、宽和大矩形的长、宽，利用图形关系得到．分别写出两个阴影部分的周长表达式，再相加．化简后发现周长和仅等于，说明只与大矩形的宽有关． 【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，大矩形的长为m，宽为n． ∵由图形可知，． ∵左边阴影矩形的长为a，宽为， ∴左边阴影的周长为． 右边阴影矩形的长为，宽为， ∴右边阴影的周长为． ∴阴影部分的周长和为： ； ∵化简后周长和为，仅含大矩形的宽n， ∴阴影部分的周长和只与大矩形的宽有关． 【技巧归纳】 角：四个角都是直角 边：对边平行且相等 对角线：相等且互相平分（分成4个等腰三角形） 对称性：轴对称（2条对称轴）+中心对称 【变式1-1】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由矩形的性质不能得到，，． 【变式1-2】如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 题型2 利用矩形的性质求角度 【例2】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，，，故选项A符合题意； 选项B，，，故选项B不符合题意； 选项C，，，故选项C不符合题意； 选项D，，，故选项D不符合题意； 【技巧归纳】 对角线平分后，OA=OB=OC=OD，出现多组等腰三角形 利用直角互余、邻角互补、对顶角相等推导 出现30°、45°、60°时，直接用特殊直角三角形角度关系 折叠问题中，对应角相等，折痕平分对应角 【变式2-1】如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称的性质求出，然后根据矩形的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：∵ 根据题意得， ∵四边形是矩形 ∵， ∴ 根据题意得， ∵ ∴． 【变式2-2】如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，利用邻补角定义和等腰三角形的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 题型3 根据矩形的性质求线段长 【例3】如图，在矩形中，是边上一点，，分别是，的中点，连接，，，若，，，则的面积是（     ） A．60 B．120 C．156 D．180 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，由直角三角形的性质可得，，由三角形中位线定理可得，证明为直角三角形，且，最后再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，，为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴的面积是． 【技巧归纳】 已知长和宽，求对角线必用勾股定理： 对角线被交点分成的四条线段长度相等 折叠问题：设未知数，将已知和未知边集中到一个直角三角形中用勾股 直角三角形中见斜边中点，立即想到斜边中线等于斜边一半 【变式3-1】如图，在矩形中，E是上一点，F是的中点，且．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 题型4 根据矩形的性质求面积 【例4】如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【技巧归纳】 核心公式：长×宽（底×高） 对角线将矩形分成4个面积相等的等腰三角形，每个面积为 利用面积相等可求斜边上的高 矩形中阴影面积常用割补法、等积变换法 【变式4-1】如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，可得，，可证明是等边三角形，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 【变式4-2】如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 题型5 利用矩形的性质证明 【例5】如图，四边形是矩形，点是延长线上一点，过点作的垂线交于点．若，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， ，即， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【分析】先根据矩形的性质得到，，进而求出，证明四边形是平行四边形，利用证明四边形是菱形． 【详解】略． 【技巧归纳】 证角相等：用直角互余、等腰三角形底角相等 证线段相等：用对边相等、对角线相等且平分 证垂直：用矩形的直角性质 常用辅助线：连接对角线 【变式5-1】如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得到，，利用角的等量代换求出，即可证明； （2）先求出的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴在中，． 【变式5-2】如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中，∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 题型6 求矩形在坐标系中的坐标 【例6】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 【技巧归纳】 边与坐标轴平行时：相邻顶点横/纵坐标相同 对角线中点坐标相同： 已知边长求坐标：横坐标差=水平边长，纵坐标差=垂直边长 注意多解：矩形可在不同象限或不同位置 【变式6-1】如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标． 【详解】解：∵， ∴在矩形中，，， ∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1， ∴依此规律，，． 题型7 矩形与折叠问题 【例7】第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可得，利用勾股定理得到，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕， ∴ ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得：， 即：． 【技巧归纳】 折叠本质：轴对称，对应边相等、对应角相等 折痕是对应点连线的垂直平分线 通用步骤：设未知数→表示相关线段→找直角三角形→列勾股方程求解 常见结论：折叠后重叠部分一定是等腰三角形 【变式7-1】如图，在矩形中，，点是的中点，连接，将沿翻折，得到，延长交于点，若点恰好是的中点，则__________． 【答案】 【分析】连接，根据题意易得，，结合翻折的性质，可得，进而可得，，再证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式7-2】如图，矩形中，，点为上一点，连接，过点作交于点，连接．将沿翻折，使点落在点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或2 【分析】设，则，由折叠的性质可得，当是以为腰的等腰三角形时，分为两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则，由折叠的性质可得， 当是以为腰的等腰三角形时，分为以下两种情况： 如图1，当时，， ∵四边形是矩形， 在中，，即， 解得； 如图2，当时，过点作于， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴，即， 解得． 综上，的长为或2． 题型8 斜边的中线等于斜边的一半 【例8】如图，在菱形中，，交于点，，，于点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，为的中点， ∴． 【技巧归纳】 适用条件：直角三角形+斜边中点，缺一不可 逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形 常与等腰三角形三线合一、勾股定理结合使用 看到“直角+中点”，第一反应连斜边中线 【变式8-1】如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图方式折叠，使点 B 与点O 重合，折痕为，则五边形的周长为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，由菱形的性质得出，，由勾股定理得出，求出，证明是等边三角形，从而即可得，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ，，． ． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形． ∴， 结合折叠的性质可知：．， ∴， ∴， 是等边三角形． ∴， 同理可得：， ∴， ∴是等边三角形， ， 五边形的周长为． 故选 B． 【变式8-2】如图，是斜边的中线，E是的中点．若，，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，三线合一结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵是斜边的中线， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴. 题型9 矩形的判定定理理解 【例9】我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 【技巧归纳】 任意四边形：①三个角是直角；②对角线相等且互相平分 平行四边形：①有一个角是直角；②对角线相等 易错点：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先证是平行四边形 【变式9-1】活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两组对边是否分别平行 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 【变式9-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，都在格点上，，为，与格线的交点，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，取格点M，F，G，H，结合网格得到四边形是矩形，对角线交于格点D，四边形是矩形，对角线交于格点E，则点D为线段的中点，点E为线段的中点，由勾股定理得到，结合三角形中位线的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， 取格点M，F，G，H， ∴由格点特点得到四边形是矩形，对角线交于格点D， 四边形是矩形，对角线交于格点E， ∴点D为线段的中点，点E为线段的中点， ∴ ． 题型10 证明四边形是矩形 【例10】如图，在平行四边形中，，．垂足为．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形和平行线的性质，以及且垂足为，得到，从而证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∵，，垂足为， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【技巧归纳】 已知有直角：优先证三个角是直角，或证是平行四边形+一个直角 已知对角线：优先证对角线相等且平分，或证是平行四边形+对角线相等 已知是平行四边形：优先证一个角是直角，次证对角线相等 证明步骤：先证平行四边形（若需要），再证矩形特有条件 【变式10-1】如图，在中，点E、F分别在上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件可证明，，则可证明四边形是平行四边形，由垂线的定义得到，据此可证明平行四边形是矩形； （2）证明，得到，则，由勾股定理可得，由矩形的性质可得，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【变式10-2】如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合题意可推出，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，根据题意推出是等边三角形，得到，，进而求出，根据矩形的性质得到，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ． 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 【例11】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 【技巧归纳】 第一步：严格按题型10的方法证明四边形是矩形 第二步：利用四个直角、对角线分成的等腰三角形求角 结合折叠、旋转等变换，利用角度不变性推导 出现特殊角（30°、45°、60°）时，直接套用特殊三角形结论 【变式11-1】两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【变式11-2】如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（        ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE根据等底等高的三角形面积相等得出. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD ∴OA=OD=OC=OB ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=45°. ∵∠CAE=15°， ∴∠DAC=30°. ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAC=30°. ∴∠DOC=60°. ∵OD=OC， ∴△ODC是等边三角形. ∴①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°. ∴∠DAC=∠ACB=30°. ∴AC=2AB. ∵AC＞BC， ∴2AB＞BC. ∴②错误； ∵AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB=30°. ∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°， ∴∠DAE=∠BAE=45°. ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE. ∵△DOC是等边三角形， ∴DC=OD. ∴BE=BO. ∴∠BOE=75°， ∵∠AOB=∠DOC=60°， ∴∠AOE=135°. ∴③正确； ∵OA=OC， ∴根据等底等高的三角形面积相等可知， ∴④正确； 故正确答案是C. 【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用. 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 【例12】如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，则的长为_______．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，，在中，由勾股定理求出对角线的长度，从而计算出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，． 在中，， ． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是矩形，得到直角和对角线相等 第二步：在直角三角形中用勾股定理或斜边中线性质计算 利用矩形对边相等、对角线平分的性质转化线段 折叠问题仍遵循“设未知数+勾股定理”的通用解法 【变式12-1】如图，在一个长为的大矩形中，放入形状、大小完全相同的个小矩形，根据图中信息可得小矩形的面积为____． 【答案】 【分析】设小矩形的长为，宽为，根据图形，列出关于，的二元一次方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 由图形可知，， 解得：， ∴小矩形的面积为． 【变式12-2】如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． (2)， 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型13 根据矩形的性质与判定求面积 【例13】如图，在等腰中，，以为圆心，任意长为半径画弧交于，交于，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于，以、为邻边作，连接，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用等腰三角形“三线合一”可得且为中点；由平行四边形的性质得，利用勾股定理求出的长；证明四边形是矩形，利用矩形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图可知，平分， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 即，且， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是矩形， ． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是矩形 第二步：已知长和宽用“长×宽”；已知对角线和高用等积法 若对角线互相垂直（即正方形），也可用 阴影面积常用“总面积-空白面积”的间接法计算 【变式13-1】小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点、、、分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料匹，那么需要乙布料（     ） A．匹 B．匹 C．匹 D．匹 【答案】B 【分析】连接，利用三角形中位线，矩形的判定和性质，矩形的面积解答即可； 【详解】解：连接， 点、、、分别是四边形各边的中点， ，，，， 四边形是平行四边形； 风筝， ， ， ， 四边形是矩形； ； 风筝， ； ， 根据题意，生产这批风筝需要甲布料匹， 故需要乙布料也是30匹． 【变式13-2】如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点． （1）通过证明，得到，得证四边形是平行四边形，根据，得证结论． （2）根据矩形的性质得到，继而根据勾股定理得到， 根据平行四边形的性质得到，根据割补法计算四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 又为中点， ， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积为． 一、单选题 1．在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形、一个内角是90度的平行四边形是矩形来分析，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故A选项不符合题意；. 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故B选项不符合题意； 由无法推出平行四边形满足矩形的判定条件，不能判定是矩形，故C选项不符合题意； 当时，得平行四边形是矩形，故D选项符合题意； 2．如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 3．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（    ） A．测量两条对角线是否相等 B．测量门框的一组邻边是否相等 C．测量两条对角线是否互相平分 D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】已知门框四边形两组对边分别相等，可先判定该四边形是平行四边形，再结合平行四边形判定矩形的判定定理判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形两组对边分别相等， ∴该四边形是平行四边形． 对各选项逐一判断 A、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； C、平行四边形的对角线本来就互相平分，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意． 4．如图，矩形的对角线，相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形的性质得出，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，求出的度数，再代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．四边形，当，时，在下列选项中，添加一个条件，使得四边形是矩形的是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分每一组对角 【答案】B 【分析】先根据已知条件证明四边形是平行四边形，再结合矩形、菱形的判定定理对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 四边形是平行四边形， A、平行四边形对角线本来互相平分，添加该条件无法判定四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，因此添加对角线相等可判定四边形是矩形，故该选项符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故该选项不符合题意； D、对角线平分每一组对角的平行四边形是菱形，不是矩形，故该选项不符合题意． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D 的坐标分别为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 7．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴． 8．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（     ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出相等的边以及直角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵垂直平分于点E， ∴， ∴， 由勾股定理得． 9．如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出，进而得到，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ， ， ∵， ∵D为的中点， ∴． 10．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质与折叠性质，首先由求出，再由折叠性质得． 【详解】解：由矩形性质知， ， 由折叠性质知． 11．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时，则 B．当恰好为的中点时，则的面积为 C．在折叠的过程中，的周长有可能是的2倍 D．当时，连结，四边形是等腰梯形 【答案】D 【分析】A选项在中由勾股定理可得；B选项先证明，再由勾股定理得，故；C选项在折叠过程中，与的周长相等；D选项当时，，，故四边形是等腰梯形，故选项D正确． 【详解】解：，， ，四边形是矩形， 由折叠得，， ， ， 设，则，在中，有，解得，故选项A不正确； 当恰好为的中点时，则时，由折叠得F也为的中点，故， ， ， ，故选项B不正确； 在折叠过程中，，，， ∴， 又∵， 与的周长相等，故选项C不正确； 如图，当时，，， ∴， ，， ， ∵， ， ， 四边形是等腰梯形，故选项D正确． 12．迁移是一种重要的能力．如图，在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：．有下列两种说法： ①如图，在矩形中，若点是矩形内部一点，且，，，则； ②如图，在平行四边形中，对角线，点为边的中点，若，则的值为定值． 则下列判断正确的是（     ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】通过构造垂线，用勾股定理结合矩形性质，推导出矩形内点的恒等式，代入已知值计算得，与题中不符，故①错误；利用对角线垂直四边形的结论，结合平行四边形性质与中位线定理，代入已知条件推得为定值，故②正确． 【详解】解：判断①： 过点作于，延长交于，如图 ∵是矩形， ∴， 则，且四边形都是矩形， 在中：， 在中：， 在中：， 在中：， ∵， ∴ ， ∵，，， ∴， ， ， 解得， 即，因此①错误 判断②： 设与交于点，与交于点，连接， ∵在四边形中，，小军对这类四边形深入探究后，得到一个结论：， 即：结论对角线垂直的四边形满足：对边平方和相等， ∵在四边形中，， ∴， ∵在平行四边形中，对角线， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵平行四边形中，对角线交于点，点为边的中点， ∴， ∴， 即， 整理，得， ∴ 结果为定值，因此②正确， 综上，①错误，②正确． 13．如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（     ） A．5 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，再由勾股定理可得，证明，作交于H，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出即可得解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，，． ． 将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合， ，． ． ． ， ． ． ． 如图，作于H， 则． ∴四边形为矩形． ，． ． ． ． 二、填空题 14．彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 【答案】1 【分析】根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长为． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为1，5， ． ∵点，分别为边，的中点， ∴． ∵，点为的中点， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为．若y轴平分矩形的面积，则点C到y轴的距离是_______． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质可得轴经过矩形对角线的中点，再根据中点坐标公式即可求解． 【详解】解：∵y轴平分矩形的面积，矩形是中心对称图形， ∴轴经过矩形对角线的中点， 设点横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C到y轴的距离是． 16．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用矩形的性质、勾股定理求出对角线的长，再利用圆的半径相等求出的长，然后求出的长，最后用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 17．如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________． 【答案】80 【分析】根据平行线与折叠的性质求解即可. 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴． 18．如图，已知矩形中，，，为边上一点，连接，将点沿着折叠，点落在点处，连接并延长交于，若，则的长是________，的长是________． 【答案】 【分析】过点作于点H，交于点M，设，则，设，则，根据勾股定理，求解即可； 【详解】解：矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， ，， 过点作于点H，交于点M， ， ，四边形是矩形， ， ， 设，则， 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， ， 整理，得， 解得（边长不能为负，舍去）， 故，， ； 设，则， 根据勾股定理，得， ， 整理，得， 解得， 故； 19．如图，在四边形中，，，与相交于点，请添加一个条件______________，使四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】先利用两组对边相等判断，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形即可以求出添加的条件． 【详解】解： ，， 四边形是平行四边形． 使成为矩形， 添加的条件是（答案不唯一）． 20．如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿折叠，使得点与点重合，则长为________． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质可得，，则，在中，由勾股定理列方程求解． 【详解】解：设， 根据折叠的性质可得，， ∴， ∵矩形纸片中，， ∴在中，， ∴， 解得， 即长为． 21．如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，由平行线的性质可得，再证明，得到；证明，得到，则可证明，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 三、解答题 22．如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 【答案】 【分析】根据矩形的性质，求出的长，证明四边形为矩形，进而得到即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴. 23．如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 24．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、点P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作矩形，使点P在边上； (2)在图②中，作使点P为对称中心． 【答案】(1)如图，矩形即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）取点P所在的格线上的格点C、D，得格线、且使，再连接、、即可． （2）连接，并延长至格点E，连接，并延长至格点F，再连接、、即可． 【详解】（1）略 （2）略 68．如图，在中，为的中点，为的中点，为的中点．若，求的长． 【答案】20 【分析】先由三角形中位线定理得到，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：∵为的中点，为的中点，， ∴ ∵为的中点， ∴． 25．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 26．如图，在中，于点E． (1)尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而得到，即可证明四边形是矩形； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 27．如图，矩形的对角线，相交于点O． (1)尺规作图：在平面内确定一点E，使得四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，四边形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形四边相等，在的上侧作，即可； （2）由四边形是菱形， 面积为，可得．则．由四边形是平行四边形，． 【详解】（1）解：方法不唯一： 如：分别以A、D为圆心，长为半径作弧，交于点E，点E即为所求． （2）解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，． ， ． ∵四边形是矩形， ． ． ， 四边形是平行四边形． ． 28．如图，在矩形中，点，分别为边，上的点，且，连接，． 求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵，点，分别为边，上的点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】根据矩形的性质可得，，结合已知可得，进而得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证． 【详解】略 29．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； (2) 【详解】（1）略 （2）解：∵在矩形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴四边形是直角梯形，为梯形的高． ∴四边形的面积为． ∴四边形的面积为． 30．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，E、F在上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，再根据推得，即可得证； （2）由可推得，则平行四边形是矩形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， 则，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． 31．已知在矩形中，，，点是射线上的一个动点，以点为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段． (1)当点在线段上时， ①如图1，点为对角线，的交点，若，连接，求证：； ②如图2，连接，，，若为等腰三角形，求的面积； (2)如图3，连接，，在点的运动过程中，求的最小值． 【答案】(1)①过点作， 由旋转知，，， ∵矩形，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴点，，共线， ∴； ②的面积为或； (2) 【分析】（1）①过点作，证明，得到，则，得到为的中位线，据此即可得到； ②分情况讨论，当时，过点作交延长线于点，交延长线于点，证明，求得，再利用三角形面积公式求解即可；当时，同理求解即可； （2）设，，过点作交延长线于点，交延长线于点，利用勾股定理得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②由题意知，构成等腰三角形有三种情况， 而当时，点，，共线； ∴只有当和时，构成三角形， 当时， ∵，，， ∴， ∴， 过点作交延长线于点，交延长线于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， 同理， ∴， 过点作交延长线于点，交延长线于点， 同理， ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为或； （2）解：设，， 过点作交延长线于点，交延长线于点， 同理得， ∴，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴当且仅当时，和同时取到最小值，0 此时，取到最小值为． 32．【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ②； (3)的长为1或9 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，； （2）①证明：略； ②解：∵, ∴, 设，则， ， 、， 在中，， ，解得：， ∴． （3）解：分两种情况讨论： 当点Q在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知， 、、， ， 设，则、， ， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为1或9． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $