精品解析：吉林省吉林市吉林毓文中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

吉林毓文中学2024-2025学年度下学期高二年级期末考试 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义即可得出结论. 【详解】根据题意可知，命题的否定为. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3. 若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（   ） A. 72 B. 60 C. 48 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先排列男生；再在男生之间及两端的空隙中选择位置排列女生；最后根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】分两步进行： 第一步：先安排3个男生，不同排法有种； 第二步：利用插空法安排2个女生，不同的排法有种； 则女生不相邻的排法数有种. 故选：A. 4. 已知函数，则函数（ ） A. 是奇函数，且在上单增 B. 是奇函数，且在上单减 C. 偶函数，且在上单增 D. 是偶函数，且在上单减 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性的定义，得到函数为奇函数，再结合指数函数的图象与性质，得到函数是增函数，即可求解. 【详解】由题意，函数定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为奇函数， 又由， 根据指数函数的图象与性质，可得函数和都是增函数， 所以函数是增函数. 故选：A 5. 展开式中常数项为（ ） A. 48 B. C. 24 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为：， 令，可得， 所以常数项为， 故选：C 6. 已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B 7. 某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 线性回归方程中 C. 当时，残差为- D. 可以预测当时能耗约为2.2吨 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 【详解】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D 8. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以为周期函数且周期， ∴，∵，∴，∴. 故选:C． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若不等式的解集为，则 C. 设，则“”是“”的充要条件 D. 已知函数，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC，通过举特例可判断选项正误；对于B，由二次不等式解可得，的根为或3，然后由韦达定理可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，因不等式的解集为， 则，的根为或3，由韦达定理，，. 则，从而，故B正确； 对于C，取，则，则“”不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，易得定义域为R， 注意到， 则，又，则，故D正确. 故选：BD 10. 已知，则（） A. 是的极大值点 B. 有且仅有三个零点 C. 当且仅当时有 D. 点是曲线的对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】对子A，利用导数研究函数的单调性即可判断的极值点；对于B，求出极值，画出大致图象可判断的零点；对于C，由单调性可判C；对于D，只需验证是否成立即可. 【详解】对于A，的定义域为． 令得或，令得， 在单调递增，在单调递增，在单调递减， 是的极小值点，故A错误； 对于B，由A可知是的极大值点， ， 又，， 当时，，当时，， 的图象如图所示，由图可知有三个零点，故B正确； 对于C，由B可知， 又，结合图象可知故当且仅当时有，故C正确； 对于D， ， 关于点成中心对称，D正确； 故选：BCD 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由基本不等式得，对于B，配方结合A选项即可判断；对于CD，也可以由基本不等式判断. 【详解】对于A，，得，当且仅当，时取等号，故A正确； 对于，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当，时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当，时取等号，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随机变量X服从正态分布，，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为随机变量服从正态分布且， 则， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】由对数运算性质结合分段函数解析式可得答案. 【详解】因，则. 从而. 故答案为：. 14. 已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为对恒成立，，再次构造函数求得最值即可得解. 【详解】不等式，可化为，， 令，则， 所以在上单调递增， 因为，，所以，，则， 所以不等式，即为， ，即对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，则，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）减区间，增区间 （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解不等式，即可； （2）结合（1）可知单调性，进而求最值. 【小问1详解】 ， 得；得； 则的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）得当，单调递减，当，单调递增， 因，， 故当时，的最大值为，最小值为. 16. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 单位：人 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 100 女 60 合计 200 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？ （2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望． 附：． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10828 【答案】（1）列联表见解析，可以推断喜爱马拉松与性别无关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）完善列联表后求出卡方，根据临界值表可得相应的判断； （2）根据超几何分布可求分布列及数学期望. 【小问1详解】 由题意数据完善列联表： 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 40 60 100 合计 100 100 200 零假设为：喜爱马拉松与性别无关. 经计算得， 依据小概率值独立性检验，推断成立，即可以推断喜爱马拉松与性别无关. 【小问2详解】 由题意及分层抽样性质知5人中，有3个男运动员，2个女运动员，故， ；；. 所以的分布列为 0 1 2 期望. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上是递减函数，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. 【小问3详解】 由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 18. 设函数. （1）若，求函数的极值点； （2）设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 【答案】（1）函数的极大值点为，函数没有极小值点； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得单调性，据此可得的极值点； （2）由，可得.令，由导数知识可得 大致图像，随后由图象与有2个交点可得答案. 【小问1详解】 ， 则. . 则在上单调递增，在上单调递减. 则在时取极大值； 所以函数的极大值点为，函数没有极小值点； 【小问2详解】 令，因， 则.令，则. 令，则， 从而在上递增，又注意到， 则， 则， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，可画出大致图象. 又在上有两个零点等价于图象与有2个交点. 则由图可得. 19. 某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案： 方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收； 方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收.若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收. 假设拟购进的这批原料的合格率为，并用P作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担. （1）若，求： ①方案一和方案二通过检验的概率； ②设方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列与期望： （2）分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案？请说明理由. 【答案】（1）①；；②分布列见解析，期望为； （2）方案1通过的概率为；方案2通过的概率为； 原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高. 【解析】 【分析】（1）①由题意可得方案一和方案二通过检验的概率；②随机变量X的值可能取值是50,100，分别求出概率即可求出分布列，进而可求出数学期望； （2）分别求出方案一和方案二的概率，由作差法可得关于p的表达式，利用导数讨论函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 ①方案一通过检验的概率为：； 方案二通过检验的概率为：； ②由题可得方案二中所需的检验费用X可能为50，100. 当对应的事件表示随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，出现了1个不合格品然后又抽取了容量为5的样本，全部检验， 则，从而. 则分布列为： 50 100 从而期望为：； 【小问2详解】 由方案1，这批原料通过检验的概率为：； 由方案2，这批原料通过检验的概率为：； 则. 令. 则，从而， 则在上单调递增，注意到，则， 则原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林毓文中学2024-2025学年度下学期高二年级期末考试 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（   ） A. 72 B. 60 C. 48 D. 12 4 已知函数，则函数（ ） A. 是奇函数，且在上单增 B. 是奇函数，且在上单减 C. 是偶函数，且在上单增 D. 是偶函数，且在上单减 5. 展开式中常数项为（ ） A. 48 B. C. 24 D. 6. 已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 线性回归方程中 C. 当时，残差为- D. 可以预测当时能耗约为2.2吨 8. 已知函数定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确是（ ） A. 若，，则 B. 若不等式的解集为，则 C. 设，则“”是“”的充要条件 D. 已知函数，若，则 10. 已知，则（） A. 是的极大值点 B. 有且仅有三个零点 C. 当且仅当时有 D. 点是曲线的对称中心 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随机变量X服从正态分布，，______． 13. 已知函数，则________. 14. 已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表： 单位：人 性别 马拉松 合计 喜爱 不喜爱 男 60 100 女 60 合计 200 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？ （2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望． 附：． 0100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18. 设函数. （1）若，求函数极值点； （2）设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 19. 某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案： 方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收； 方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收.若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收. 假设拟购进的这批原料的合格率为，并用P作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品所需的检验费用为10元，且费用由工厂承担. （1）若，求： ①方案一和方案二通过检验的概率； ②设方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列与期望： （2）分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$