第二章 实数 重难点训练讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 实数 题型1 无理数的大小估算 题型2 实数与数轴 题型3 勾股定理与无理数 题型4 求一个数的算术平方根 题型5 求代数式的平方根 题型6 利用平方根解方程 题型7 求一个数的立方根 题型8 算术平方根和立方根的综合应用 题型9 求二次根式的值 题型10 求二次根式中的参数 题型11 复合二次根式的化简 题型12 已知最简二次根式求参数 题型13 二次根式的混合运算 题型14 分母有理化 题型15 比较二次根式的大小 题型16 新定义下的实数运算 【无理数的大小估算】 1．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 2．已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】无限不循环小数即为无理数，据此即可作答． 【详解】解：∵m是无理数，且， ∴一个符合条件的m为（答案不唯一）． 3．如图，在中，，若，，估计的值在（    ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即的值在6到7之间． 【实数与数轴】 4．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点（点位于点的左侧），则点表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，由作法得：，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， 由作法得：， 根据题意得：点B表示的数为2，点位于点的左侧， ∴点表示的数为． 5．如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出的长，结合以及数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴点E表示的实数是． 6．如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可知：，，即可判断选项A，B，C，根据即可判断选项D． 【详解】解：根据数轴可知：，， 故A选项错误，B选项正确，C选项错误， ∵， ∴D选项错误． 【与无理数】 7．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的数为________． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理得到，根据作图可知，即可求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． 8．如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再由题意得到，最后由数轴上的点表示对应的实数方法计算即可． 【详解】解：在中，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，长为半径作弧， ， 则点表示的数为． 9．图1，图2均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形． (1)在图1中画一条长度等于的线段． (2)只用无刻度的直尺在图2中，画一格点，使得． 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据作图即可； （2）根据网格和勾股定理构造等腰直角三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴． 【求一个数的算术平方根】 10．“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．如图是小华在公园里跑步的路线图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方处，点在点的正北方处． (1)求证：； (2)当跑步的速度保持不变，小华想尽快到达点，请你通过计算，建议小华走哪条路更快到达？（参考数据：） 【答案】(1)证明：在中，，，， ，， ， ， ； (2)建议小华走这条路能更快到达 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定即可； （2）根据勾股定理可求的长度，比较和即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， 由勾股定理，得， ， ． ， 路线较短， ∴建议小华走这条路能更快到达． 11．已知，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质得到的所有可能值，再根据二次根式有意义的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ，即， ，二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ， 解得， 不符合题意，舍去， ∴， 将代入得， ． 12．化去根号里的分母： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【求代数式的平方根】 13．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 14．已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根与平方根、算术平方根，熟练掌握立方根与平方根的性质是解题关键． （1）先根据立方根和算术平方根可得，，再解方程即可得； （2）先根据（1）的结果求出的值，再根据平方根的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴，， ∴， 将代入得：， ∴． （2）解：由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴的平方根为． 15．已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根： （1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解； （2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是， 所以， 所以． （2）解：因为，， 所以， 所以． 因为25的平方根是， 所以的平方根是． 【平方根解方程】 16．已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 17．计算与求值． (1)计算：； (2)求满足的的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先分别化简立方根、绝对值、算术平方根，再合并计算结果； （2）先将系数化为1，再根据平方根定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，求出． 【详解】（1）解：． （2）解：， 两边同时除以25： ， 由平方根定义得： ， ， 即，． 18．求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) , (2) 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 【求一个数的立方根】 19．已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，立方根进行求解即可； （2）根据实数的大小比较法则进行比较即可． 【详解】（1）解：，，， ∵d是2的算术平方根， ∴； （2）解：∵，，，， ∴， 即． 20．下列说法正确的是（     ） A． B．是9的平方根 C．的算术平方根是2 D．的立方根为0 【答案】B 【详解】A．，故该选项错误，不符合题意； B．，是9的平方根，故该选项正确，符合题意； C．，2的算术平方根是，不是2，故该选项错误，不符合题意； D．，1的立方根是1，不是0，故该选项错误，不符合题意； 21．计算 (1)计算：． (2)求出的值：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据实数的运算性质去绝对值，求得算术平方根，计算即可； （2）根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， ． 【算术平方根和立方根的综合应用】 22．实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴，正确化简各式是解题关键，直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案． 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 23．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是2， ， ， ， 的算术平方根为． 24．已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】 【分析】先从“平方根是它本身”确定为零，再根据立方根和算术平方根的定义分别列出关于和的方程并求解，最后将的值代入目标代数式，求其平方根． 【详解】解：的平方根是它本身， ． 的立方根是3， ，解得． 的算术平方根是5， ，解得． ． 【二次根式的值】 25．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 26．先化简，再求值：，其中， 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，以及平方差公式、完全平方公式的应用．熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及合并同类项的技巧是解题的关键． 利用平方差公式、完全平方公式以及合并同类项进行化简．化简完成后，再将给定的和的值代入化简后的式子中，求出最终的结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 27．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 【求二次根式中的参数】 28．若最简二次根式与相等，则_______． 【答案】2 【分析】根据定义得出，求出，然后代入计算即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与相等， ∴， 解得， ∴． 29．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【答案】18 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合是正整数，可知为正的完全平方数，要得到正整数的最大值，只需要让取最小的正完全平方数即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴，是整数， 解得， ∴是完全平方数， 要使正整数的值最大，需使取最小的完全平方数，即， 解得． 30．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 【复合二次根式的化简】 31．计算：． 【答案】 【分析】先对两个根号内的多项式配方，将其整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，化简过程去绝对值符号再运算即可． 【详解】解：， ， ∴原式． 32．化简下列各式． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的化简法则，先把分母有理化，再合并即可解答； （2）先对式子进行平方，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， 又， ． 33．_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 【最简二次根式求参数】 34．若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，能合并的二次根式为同类二次根式，先化简，再结合为整数，求出除外符合条件的的值． 【详解】解：， ∵二次根式与能合并， ∴化简后被开方数为， ∴，其中为正整数，且， 当时，，解得：，为题目给出的已知值； 当时，，解得，符合整数要求． 35．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】4 【分析】根据题意，两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，则它们的根指数都为2，且被开方数相等，据此列出关于的方程组求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴． 36．与最简二次根式能合并，则__________． 【答案】4 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得：， 【二次根式的混合运算】 37．计算：． 【答案】 【分析】本题先计算二次根式乘法，再根据绝对值的性质判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号，再计算二次根式的平方，最后合并同类项得到结果，用到二次根式乘法法则、绝对值的性质、二次根式的性质． 【详解】解： ． 38．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 39．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【分母有理化】 40．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 41．计算： 【答案】 【分析】先利用负整数次幂、二次根式的性质、绝对值、零次幂、分母有理化化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 42．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【二次根式的大小】 43．如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是 ． 44．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 45．比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【答案】< 【分析】对于两个正无理数比较大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】，， ， ， 又， ， ． 【新定义下的实数运算】 46．计算下列各题： (1)对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． (2)已知多项式，，求． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：将，代入得： ． 47．对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解：由定义，得： （2）解：由定义，得： ． 48．定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、有理数的加减运算、立方根、平方根以及解一元一次方程： （1）根据定义进行加法运算即可； （2）利用题意列等式，利用新定义将等式的左边化简为一元一次方程，再求解出，最后计算其平方根． 【详解】（1）解：． （2）解：的立方根是2， ， ， ， ， 解得， 的平方根为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 实数 题型1 无理数的大小估算 题型2 实数与数轴 题型3 勾股定理与无理数 题型4 求一个数的算术平方根 题型5 求代数式的平方根 题型6 利用平方根解方程 题型7 求一个数的立方根 题型8 算术平方根和立方根的综合应用 题型9 求二次根式的值 题型10 求二次根式中的参数 题型11 复合二次根式的化简 题型12 已知最简二次根式求参数 题型13 二次根式的混合运算 题型14 分母有理化 题型15 比较二次根式的大小 题型16 新定义下的实数运算 【无理数的大小估算】 1．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 2．已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 3．如图，在中，，若，，估计的值在（    ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【实数与数轴】 4．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点（点位于点的左侧），则点表示的数为___________． 5．如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（     ） A． B． C．2 D． 6．如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【与无理数】 7．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的数为________． 8．如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 9．图1，图2均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形． (1)在图1中画一条长度等于的线段． (2)只用无刻度的直尺在图2中，画一格点，使得． 【求一个数的算术平方根】 10．“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．如图是小华在公园里跑步的路线图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方处，点在点的正北方处． (1)求证：； (2)当跑步的速度保持不变，小华想尽快到达点，请你通过计算，建议小华走哪条路更快到达？（参考数据：） 11．已知，且，则的值为_________． 12．化去根号里的分母： (1)； (2)． 【求代数式的平方根】 13．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 14．已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 15．已知，b是9的算术平方根，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【平方根解方程】 16．已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 17．计算与求值． (1)计算：； (2)求满足的的值． 18．求的值： (1)； (2)． 【求一个数的立方根】 19．已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 20．下列说法正确的是（     ） A． B．是9的平方根 C．的算术平方根是2 D．的立方根为0 21．计算 (1)计算：． (2)求出的值：． 【算术平方根和立方根的综合应用】 22．实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 23．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 24．已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 【二次根式的值】 25．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 26．先化简，再求值：，其中， 27．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【求二次根式中的参数】 28．若最简二次根式与相等，则_______． 29．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 30．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【复合二次根式的化简】 31．计算：． 32．化简下列各式． (1)； (2) 33．_____． 【最简二次根式求参数】 34．若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 35．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 36．与最简二次根式能合并，则__________． 【二次根式的混合运算】 37．计算：． 38．计算： (1)； (2)． 39．计算： (1)； (2)． 【分母有理化】 40．计算： (1) (2) (3) (4) 41．计算： 42．计算：． 【二次根式的大小】 43．如图，数轴上被墨水覆盖的点表示的无理数可能是（     ） A． B． C． D． 44．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 45．比较大小：__________．（填“<”，“=”或“>”） 【新定义下的实数运算】 46．计算下列各题： (1)对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． (2)已知多项式，，求． 47．对于新运算※和*规定如下：，．（，） (1)求的值； (2)求的值． 48．定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $