第二章 实数 单元测试 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第二章实数单元卷，90分钟100分，覆盖无理数、二次根式运算、勾股定理等核心知识，通过几何直观、运算推理与创新应用设计，适配单元复习，提升数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、二次根式运算、勾股定理|第4题切割拼图考查几何直观，第7题圆滚动结合数轴体现数形结合| |填空题|5/20|二次根式化简、新定义“环心数”|第14题新定义结合完全平方数，考查推理意识与应用能力| |解答题|5/50|运算、面积计算、规律探究|第20题阅读材料类比归纳，培养模型意识与创新思维，贴合核心素养要求|

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 实数 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）八年级上册第二章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列四个实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 4．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 5．若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 6．如图，在中，，，．以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点P，则点P所表示的数是（     ） A．2.2 B．2 C． D． 7．如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 8．下列算式中，运算错误的是（   ） A． B． C． D． 9．对于两个正整数、，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，，，，时，对应的值分别为，，，，，若，则，其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知，则______． 12．已知，，是三边的长，则的值为________． 13．两个正方形如图摆放，图1，2中阴影三角形的面积分别为，，则图3中阴影三角形的面积为_______（用含，的式子表示）． 14．若一个各位数字均不为零的四位正整数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字与百位数字不等，则称这个四位数为“环心数”．将“环心数”t的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，我们将得到一个新的四位数，记．例如，，则．若m是最小的“环心数”，则_______；已知两个“环心数”p和，其中，（其中，，且）．记，若能被12整除，且M为完全平方数，则满足条件的所有M的和是_______． 15．已知：，求_________． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．计算： (1)； (2)． 17．计算 (1)； (2)． 18．一块三角形铁片的一边长为，这条边上的高为，求这块三角形铁片的面积． 19．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 20．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 实数 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）八年级上册第二章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列计算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，错误． B．，正确． C．，错误． D．，错误． 2．下列四个实数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，先化简相关选项再根据定义判断即可． 【详解】解：是整数，整数属于有理数，，是整数，整数属于有理数，是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数， 是分数，分数属于有理数． 3．若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且， ， ． 4．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：左图两个正方形的面积之和为， 所以右图的正方形的面积为，边长为． 5．若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题已知直角三角形的两边长，未明确是直角边还是斜边，因此需要分类讨论，利用勾股定理计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况一：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 情况二：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 综上，的值为或． 6．如图，在中，，，．以点O为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点P，则点P所表示的数是（     ） A．2.2 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求得，进而由点P在数轴的正半轴即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由题意，， ∴点P所表示的数是． 7．如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 8．下列算式中，运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据二次根式的运算规则逐个判断即可得到结果． 【详解】解：A选项：∵，∴A运算正确． B选项：与不是同类二次根式，无法合并，，∴B运算错误． C选项：∵，∴C运算正确． D选项：∵，∴D运算正确． 综上，运算错误的是B． 9．对于两个正整数、，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，，，，时，对应的值分别为，，，，，若，则，其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】结合新定义，算术平方根性质和推导，的关系式，可判断（1）、（2）；进一步得到规律：，可判断（3）． 【详解】解：由题意得：，， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，，故说法（1）正确； 当时，，故说法（2）正确； 当，，，，时， 则，，，，， ∴， 当时， ， 故说法（3）正确； 综上所述，三个说法均正确，正确个数是个． 10．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据“完美方根数对”的定义推导得出正整数满足，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：根据定义，若是“完美方根数对”，则（为正整数），两边平方得： ，即， ①验证： ，， 是“完美方根数对”，①正确； ②验证： 若是“完美方根数对”， 则，即， 该方程无正整数解，因此不可能是“完美方根数对”，②正确； ③若，是“完美方根数对”： ， ， 又是正整数， ，为正整数，得， ，， 可取，共组，③正确； 综上，三个结论都正确，正确结论个数为． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 12．已知，，是三边的长，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系得到，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：∵a，b，c分别是的三边， ∴， ∴ ． 13．两个正方形如图摆放，图1，2中阴影三角形的面积分别为，，则图3中阴影三角形的面积为_______（用含，的式子表示）． 【答案】/ 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，先结合图形求出与之间的等式关系，再计算图3中阴影三角形的面积即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由题意得： ， ， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴图3中阴影三角形的面积为 ． 14．若一个各位数字均不为零的四位正整数满足千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，且千位数字与百位数字不等，则称这个四位数为“环心数”．将“环心数”t的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，我们将得到一个新的四位数，记．例如，，则．若m是最小的“环心数”，则_______；已知两个“环心数”p和，其中，（其中，，且）．记，若能被12整除，且M为完全平方数，则满足条件的所有M的和是_______． 【答案】 【分析】首先根据“环心数”定义推导的一般表达式，再找出最小的“环心数”计算第一空；然后根据整除条件得到所有符合要求的，结合是完全平方数，找出所有符合条件的再求和． 【详解】解：设“环心数”，即千位为，百位为，则：，对调后得到，则． 要得到最小的“环心数”，各位不为，千位最小取，百位不等于千位且最小取，因此最小的“环心数”，． 已知，，则，，则，，． 由题意，能被整除，即能被整除，∴能被整除，即为偶数． 对分类讨论：当，，，不能被整除，舍去； 当，，代入均不能被整除，舍去； 当，仅时，，能被整除，得； 当，仅时，，能被整除，得． ， 设，则，为非负完全平方数： ①当，，，可能的完全平方数为； ②对，，，可能的完全平方数为． ∴去重后所有满足条件的为，和为． 15．已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．一块三角形铁片的一边长为，这条边上的高为，求这块三角形铁片的面积． 【答案】 【分析】本题先根据三角形面积公式列出面积表达式，再利用平方差公式简化二次根式的运算，化简后即可得到结果． 【详解】解： 19．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据相邻两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：； （3）解：原式 20．【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 (3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【答案】(1)①， ；② ， (2)，． (3)45 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【详解】（1）① ； ② ． （2）解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． （3）解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $