专题2.4 实数章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+31个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题】-2026-2027学年北师大版数学八年级上册同步讲义

该初中数学实数章节复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，知识梳理涵盖平方根、无理数、立方根、实数及二次根式等10个核心知识点，利用表格对比呈现二次根式有意义条件等内容，清晰展现从概念到运算的递进关系，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于31个题型讲练设计，每个题型含典例精讲与变式训练，如无理数大小估算、利用算术平方根非负性解题等，结合中考真题与基础夯实、培优拔高分层训练，培养学生运算能力与推理意识。资料支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学，提升复习效率。

专题2.4 实数（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+31个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 平方根 3 知识点二 无理数 4 知识点三 立方根的定义 4 知识点四 实数 5 知识点五 二次根式 5 知识点六 二次根式的乘除法法则 6 知识点七 最简二次根式 6 知识点八 同类二次根式 7 知识点九 二次根式的加减 7 知识点十 二次根式的混合运算 7 题型讲练 7 题型一 无理数的大小估算 7 题型二 实数的性质 8 题型三 实数与数轴 8 题型四 实数的大小比较 9 题型五 勾股定理与无理数 10 题型六 利用算术平方根的非负性解题 11 题型七 估计算术平方根的取值范围 12 题型八 无理数整数部分的有关计算 13 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 14 题型十 求代数式的平方根 15 题型十一 已知一个数的平方根，求这个数 16 题型十二 利用平方根解方程 17 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 18 题型十四 与立方根有关的规律探索 20 题型十五 立方根的实际应用 20 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 21 题型十七 求二次根式的值 22 题型十八 求二次根式中的参数 23 题型十九 利用二次根式的性质化简 23 题型二十 复合二次根式的化简 24 题型二十一 二次根式的乘除混合运算 25 题型二十二 已知最简二次根式求参数 26 题型二十三 二次根式的混合运算 27 题型二十四 已知字母的值，化简求值 28 题型二十五 已知条件式，化简求值 29 题型二十六 比较二次根式的大小 30 题型二十七 二次根式的应用 31 题型二十八 实数的混合运算 32 题型二十九 新定义下的实数运算 33 题型三十 实数运算的实际应用 33 题型三十一 与实数运算相关的规律题 35 中考真题演练 37 难度分层训练 42 【基础夯实】 42 【培优拔高】 45 知识点一 平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点二 无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点三 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点四 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 知识点五 二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 2.二次根式有无意义的条件 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 知识点六 二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法 （3） 则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 知识点七 最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点八 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点九 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点十 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期末）估计无理数的值是在（    ）． A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】B 【分析】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算无理数的方法是解本题的关键． 先算出，，，，再进行比较即可． 【详解】解：∵， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算出的大小，再估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型二 实数的性质 【典例精讲】（24-25七年级下·河北唐山·期中）化简：________． 【答案】 【分析】此题考查了实数的性质，根据相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式训练】（2025·山东临沂·二模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较，正确求出绝对值是解题的关键．先分别求每个数的绝对值，再比较实数的大小即可． 【详解】解：，，，， ， 绝对值最大的是， 故选：A． 题型三 实数与数轴 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A，B两点所表示的数分别是0，3，与数轴垂直，且，连接，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由数轴可知，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴； 故答案为． 【变式训练】（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，勾股定理． 根据勾股定理求出的长，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数为． ∴点D表示的数为． 故选：D． 题型四 实数的大小比较 【典例精讲】（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据即可解答，熟知（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·期末）比较大小：______3．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题关键．通过比较平方值的大小来判断算术平方根的大小即可． 【详解】解：∵，，且11 > 9， ∴． 故答案为：． 题型五 勾股定理与无理数 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 【详解】解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，中，，，点M在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为1，若，则数轴上点A表示的数是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，数轴上的点表示实数．先根据勾股定理求出的长，得到的长，即可解答． 【详解】解：∵点M在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为1， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴点A表示的数为． 故答案为：． 题型六 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）已知直角三角形的两边，满足． (1)求，的值； (2)求这个直角三角形第三边的长度． 【答案】(1)， (2)这个直角三角形的第三边的长度是或 【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质； （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）需分两种情况讨论：①已知两边均为直角边；②较长的边为斜边，另一边为直角边．再根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，. ∵，为三角形的两边， ∴舍去， ∴，. （2）解：①若，都为直角边，则第三边长度为； ②若为斜边，为直角边，则第三边长度为. 综上所述，这个直角三角形的第三边的长度是或. 【变式训练】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为____________． 【答案】30 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理． 根据非负数的性质，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，并计算面积，即可求解． 【详解】解：因为，且，，， 所以，，， 解得，，． 因为，， 所以， 因此是以为斜边的直角三角形． 直角边为和，面积． 故答案为：30． 题型七 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·福建宁德·期末）已知一块正方形木板的面积为，则它的边长（单位：）介于（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算、算术平方根的应用等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据正方形面积公式求出边长为面积的算术平方根，再通过估算无理数的大小，即可确定边长所在的范围． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 又∵，且， ∴<<，即． ∴正方形木板的边长介于4到5之间． 故选C． 【变式训练】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知是正整数，并且，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数大小是解题关键． 先判断的取值范围，再判断的取值范围，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值为． 故选：B． 题型八 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）若的整数部分为，小数部分为，则________，________． 【答案】 / 【分析】本题考查了对无理数整数部分和小数部分概念的理解与求解．解决本题的关键在于找到与根号下数字相邻的两个完全平方数． 通过比较平方数确定的整数范围，从而得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵，所以， ∴的整数部分，小数部分． 故答案为：，． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）小数部分是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算的值，确定其整数部分为3，则小数部分为． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为． 故答案为∶. 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）通过计算发现：，，，，仔细观察上面几道题的计算结果，请猜想_____． 【答案】5050 【分析】本题属于与算术平方根有关的规律探索题，主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．根据，，，，发现一般规律，再利用规律进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ……… ∴． 故答案为：5050． 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）先填写表，通过观察后再回答问题． a 0.0004 0.004 0.04 0.4 4 40 400 4000 40000 0.02 0.0632 0.2 0.632 2 6.32 20 63.2 200 从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则 _________ ； ②已知，，用含m的代数式表示n，则 _____________ ． 【答案】 26.5 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用．观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍． ①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案； ②根据题意可得，可得到，进而得到答案． 【详解】解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十 求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， 则的平方根是． 【变式训练】一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 题型十一 已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·四川眉山·期末）正数的两个平方根分别是和，则的立方根为_________． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．利用平方根的性质，两个平方根互为相反数，列方程求出值，再求出值，然后计算的立方根即可得答案． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根为． 故答案为： 【变式训练】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题考查平方根，立方根，算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．一个正数的两个不同的平方根分别是与，则与互为相反数；的立方根是，则，由此可求出的值，代入求出其算术平方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ， 解得． 的立方根是， ， 解得， ， 的算术平方根是4． 题型十二 利用平方根解方程 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先两边都除以4，再根据平方根的定义解方程即可； （2）先整理，再根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 两边都除以4，得， 开方，得， ∴或； （2）解： ， 整理，得， 开立方，得， 解得． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握相关定义是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)4 【分析】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根是解决本题的关键． （1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）根据算术平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴的算术平方根为4． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义和立方根的定义，能熟记平方根和立方根的定义是解此题的关键． （1）根据立方根的定义进行解方程，即可得到答案； （2）先移项，再根据平方根的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 题型十四 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（1）已知，则______； （2）已知，，则______． 【答案】 0.2646 6.69 【分析】本题考查算术平方根，立方根，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质即可求得答案； （2）根据立方根的性质即可求得答案． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2） ， ， 故答案为：6.69． 【变式训练】根据你发现的规律填空：已知，若，则_________ 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 题型十五 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期末）体积为8立方米的正方体的棱长是______米． 【答案】2 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a米，则， 因此，则体积为8立方米的正方体的棱长是米． 故答案为：2． 【变式训练】（25-26八年级上·河北沧州·期末）一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据正方体体积公式，棱长的立方等于体积，求体积的立方根即可得到棱长． 【详解】解：∵正方体水槽的体积为， ∴该正方体水槽的棱长是． 故答案为：4． 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，根据定义计算即可． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∵的立方根是 − 1  ， ∴， 解得：， 的平方根是． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段检测）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 题型十七 求二次根式的值 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃平凉·期末）的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，二次根式．熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的相反数为， 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）当时，二次根式的值是_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，掌握二次根式的值的求法是解答本题的关键．将代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：4． 题型十八 求二次根式中的参数 【典例精讲】（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据题意可得是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件． 故答案为：1 【变式训练】已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 题型十九 利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，是一块正方形场地，小华和小芳在边上取定了一点E，测量知，，求这块场地的边长． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简______． 【答案】a 【分析】由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 题型二十 复合二次根式的化简 【典例精讲】（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）计算（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·自主招生）_____． 【答案】 【分析】本题考查了初中数学中的二次方程求解、平方根的性质以及无限嵌套结构的理解．解题的关键在于设未知数 x 表示无限嵌套的平方根式．设 ，通过平方化简为二次方程进行求解，根据算术平方根的非负性确定答案． 【详解】解：设所求的值为x，则原式可表示为： ， ， 解得，， 算术平方根的结果非负， ， 故答案为：1 题型二十一 二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查乘法公式及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据乘法公式可进行求解； （2）根据二次根式的乘除运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 题型二十二 已知最简二次根式求参数 【典例精讲】若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相同，因此需使，求解的值，熟练掌握最简二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得， 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简，得到，再根据同类二次根式的定义，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， 即最简二次根式与是同类二次根式， 故， 解得． 故答案为：． 题型二十三 二次根式的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类项即可； （2）运用乘法公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先运用零次幂、二次根式的性质、负整数次幂化简，然后合并同类二次根式即可； （2）直接运用二次根式的混合运算法则化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型二十四 已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）设 ， ，则 _______；_______． 【答案】 15 【分析】本题考查二次根式的计算：通过有理化分母化简a和b的值，然后分别计算和． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为： ；15． 【变式训练】（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，则______． 【答案】2029 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，利用已知条件变形，得到，再通过平方运算求出的值，最后代入原式计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：2029． 题型二十五 已知条件式，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的性质进行解题是关键． （1）先进行二次根式的乘除法运算，然后再进行减法运算即可； （2）将利用完全平方公式进行变形，得到，然后代入进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）由可得， 则， ， 即， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 题型二十六 比较二次根式的大小 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的大小比较，核心方法是：对于正数，通过平方转化为有理数比较；对于负数，先比较绝对值(平方后比较)，再根据“绝对值大的负数更小”判断． 【详解】（1）解：先计算两数的平方： ， ， 又，且，， ； （2）解：先计算两数的绝对值并平方： ，， ，， 又， ， 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小， ． 【变式训练】（2025八年级上·上海·专题练习）比大小：______（填写“＞”、“=”、或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，可以通过平方后比较数值，再比较大小得出结论． 【详解】解：，，， ∴， 故答案为：． 题型二十七 二次根式的应用 【典例精讲】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆南岸·期末）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 【答案】42次 【分析】本题考查了二次根式的应用，先理解题意，再代入数值到，求出，再结合一分钟，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，取， 则， ∵一分钟， ∴， 即该座钟在一分钟内大约发出次嘀嗒声． 题型二十八 实数的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根和立方根，零指数幂，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先进行算术平方根和立方根以及零指数幂运算，再进行加减运算； （2）利用算术平方根以及立方根运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)3 【分析】本题考查了实数的混合运算和整式化简计算，涉及算术平方根、零指数幂、幂的运算等知识点，解题的关键是熟知相关运算法则． （1）先利用积的乘方和同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可； （2）根据乘方、算术平方根进行计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型二十九 新定义下的实数运算 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（   ） A．1 B．4 C．－2 D．9 【答案】B 【分析】根据定义的运算，先利用平方差公式简化表达式，再代入数值计算. 本题考查了二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵ , 且 , ∴ . 代入 : ∴ ， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）现对实数，定义一种运算：．则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，算术平方根、立方根的计算，掌握新定义的运算规则是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 题型三十 实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25． (1)大正方形的边长是__________，小正方形的边长是__________． (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，二次根式的化简，二次根式的乘法，二次根式的加减，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的解答，二次根式的运算是解题的关键． （1）根据正方形的性质，利用求算术平方根的方法解答即可． （2）根据周长的定义，二次根式的乘法，加减混合计算解答即可． 【详解】（1）解：∵长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25． ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故答案为：，． （2）解：根据题意，得阴影的周长为： ． 【变式训练】阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ，． (1)请你写出的有理化因式：___________； (2)请仿照上面给出的方法简化； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简； （3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将，的值代入即可求解． 【详解】（1）解：， 是的有理化因式， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ，， ，， ． 题型三十一 与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是_______；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是_______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察可知第n行有个数，且这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根，据此求出前五行一共有多少个数字即可得到第一空的答案；先求出前行的数字的个数，再加上，所得结果取算术平方根即可得到第二空的答案． 【详解】解：第一行有个数， 第二行有个数， 第三行有个数， ……， 以此类推，可知，第n行有个数， ∴前五行一共有个数， ∵这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根 ∴第5行的最后一个数是； 前行一共有个数， ∴第n（n为整数且）行从左向右数第个数是， 故答案为：；． 【变式训练】（24-25八年级下·云南大理·期末）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 【真题演练1】（2025·江苏泰州·中考真题）若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，由已知条件得出x满足方程，然后利用该方程简化表达式并求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴原式 ． 故选：D． 【真题演练2】（2025·浙江宁波·中考真题）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简运算、因式分解及分母有理化，解题的关键是对分母进行因式分解，建立分母与分子的数量关联，通过约分简化表达式后完成分母有理化． 先对分母提取公因式 2 进行初步变形；再观察发现分子与的乘积等于分母提取公因式后的剩余部分，据此将分母表示为含分子的形式；约去分子与分母的公因式，最后对剩余分式进行分母有理化，得出结果后对比选项． 【详解】解：原式 故选：D． 【真题演练3】（2025·江西景德镇·中考真题）若，则的最大值是__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，设，得，继而得到，故得到，配方，利用非负性解答即可． 本题考查了二次根式的定义，换元，配方，非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 设，则， 故， 故 ， 而， 故， 故当时，此时，y取最大值，且为． 故答案为：． 【真题演练4】（2025·重庆渝北·中考真题）若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 【答案】 1001 【分析】本题考查整式的混合运算，化简二次根式，二元一次方程的解，熟练掌握新定义是解题的关键，根据新定义，结合，得到，根据最小的“蛟龙数”得到，得到，进而得到时，最小，求出最小的“蛟龙数”，求出，进而得到，根据式子的结果是整数，得到为完全平方数，根据，推出，根据，，得到，根据，得到蛟龙数最大时，，此时只能为0，得到的最大值为9，进而求出此时的值，即可得出结果． 【详解】解：∵是蛟龙数，且M满足， ∴， ∴， ∴， ∵蛟龙数最小， ∴， ∴， ∴当时，蛟龙数最小，为； ∵ ， ∴， ∵式子的结果是整数， ∴为完全平方数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0， ∵， ∴最大为9， ∴， ∴， ∴最大的蛟龙数为：； 故答案为：1001，． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)6；3 (2)所用的篱笆至少为36米 (3)四边形面积的最小值为25 【分析】本题考查了实数的大小比较、完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（a、b均为正实数）中，当且仅当a、b满足时，有最小值是解题的关键． 本题主要考查了完全平方公式的变形在求最值中的应用，正确理解题意并举一反三是解题关键； （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6，故可得解； （2）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的篱笆，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形ABCD的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 由，得， 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为 故答案为：6；3； （2）解：由题意，设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的篱笆， 又令，， 由， ． 当且仅当，即（负值舍去）时，代数式取到最小值，最小值为36， 答：所用的篱笆至少为36米． （3）解：由题意，设， 与底边上的高相等，与底边上的高相等， ， 又， ， 当时，即（负值舍去）时取等号． 四边形面积的最小值为25． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，计算各条线段的长度，后判定它们的属性解答即可． 本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是无理数，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在格点上，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，割补法求出的面积，再利用面积关系求出点到直线的距离即可． 【详解】解：由勾股定理，得， 设点到直线的距离为， 则， ∴； 故选C． 3．（25-26八年级上·广东惠州·期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键． 先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长． 【详解】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知直角三角形两条直角边长的比是，面积是48，则这个直角三角形的周长为____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的混合运算，设两条直角边长分别为x和，根据面积公式求出x的值，再利用勾股定理求出斜边长，最后列式求和得到周长，即可作答． 【详解】解：直角三角形两条直角边长的比是， ∴设两条直角边长分别为x和， 则面积为， 解得（负值已舍去）， ∴两条直角边分别为和， 斜边长为， ∴周长为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山西运城·期末）【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 【答案】(1)9.22 (2)②的形式精确度更高，理由见解析 (3)或． 【分析】本题考查完全平方公式的应用及无理数近似值的估算． （1）先通过夹逼法确定的整数范围：，因此设（），和题干的对应；利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项（因为，远小于一次项，对结果影响可忽略），把二次方程降为一次方程求解；最后计算近似值，结果精确到0.01． （2）这一问是误差分析，本质是比较两种近似方法的误差大小：两种方法的误差都来自“忽略的二次项”：形式①忽略，形式②忽略；误差的大小由和的大小决定：、越小，、就越小，忽略带来的误差就越小，精确度越高；计算两种形式的、，对比大小即可得出结论。 （3）先找相邻的两个完全平方数，确定的整数范围；结合的要求，选择“整数”或“整数”的形式；注意：更接近，因此优先设（也可设）． 【详解】（1）解：因为，所以 即 因为比较小，所以将忽略不计， 所以，即 得， 故 （2）解：②的形式精确度更高 理由： ∵更接近 ∴②的形式精确度更高 （答案不唯一）比如： ∵85更接近81 ∴②的形式精确度更高 （3）解：因为，，且， 所以， 又，因此可设或（二者均可以） 【培优拔高】 1．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，记，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，……，19个9，1个10，由此即可求解． 【详解】解：， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，……，19个9，1个10， ． ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再根据规律计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 3．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，取的中点，连接，将沿折叠，当点恰好落在边上的点处时，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质；延长与交于点，由长方形得到，再证明，得到，，根据折叠得到，，再根据勾股定理求出，则，再在中，根据，解得，得到，即可根据勾股定理得到，最后根据求解即可． 【详解】解：延长与交于点， ∵在长方形中，， ∴，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∴，， ∴， 中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）对于实数a，b，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据min的定义，由得，由得，故，结合a和b为两个连续正整数，且，求得，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故， ∵a和b为两个连续正整数，且， ∴，，则，， 故． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·四川达州·期中）观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是掌握分母有理化． （1）利用分母有理化的方法进行求解即可； （2）先化简，根据，求得的值，进而代入代数式求解即可； （3）分析所给的式子的特点，逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③． （2）解：∵，， 的整数部分是，的小数部分是， ∵，， ∴， ∴ （3）解： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 实数（章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+31个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共77题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 3 知识梳理 3 知识点一 平方根 3 知识点二 无理数 4 知识点三 立方根的定义 4 知识点四 实数 5 知识点五 二次根式 5 知识点六 二次根式的乘除法法则 6 知识点七 最简二次根式 6 知识点八 同类二次根式 7 知识点九 二次根式的加减 7 知识点十 二次根式的混合运算 7 题型讲练 7 题型一 无理数的大小估算 7 题型二 实数的性质 7 题型三 实数与数轴 8 题型四 实数的大小比较 8 题型五 勾股定理与无理数 8 题型六 利用算术平方根的非负性解题 9 题型七 估计算术平方根的取值范围 9 题型八 无理数整数部分的有关计算 9 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 9 题型十 求代数式的平方根 10 题型十一 已知一个数的平方根，求这个数 10 题型十二 利用平方根解方程 10 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 11 题型十四 与立方根有关的规律探索 11 题型十五 立方根的实际应用 11 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 12 题型十七 求二次根式的值 12 题型十八 求二次根式中的参数 12 题型十九 利用二次根式的性质化简 12 题型二十 复合二次根式的化简 13 题型二十一 二次根式的乘除混合运算 13 题型二十二 已知最简二次根式求参数 13 题型二十三 二次根式的混合运算 14 题型二十四 已知字母的值，化简求值 14 题型二十五 已知条件式，化简求值 14 题型二十六 比较二次根式的大小 15 题型二十七 二次根式的应用 15 题型二十八 实数的混合运算 16 题型二十九 新定义下的实数运算 16 题型三十 实数运算的实际应用 16 题型三十一 与实数运算相关的规律题 17 中考真题演练 17 难度分层训练 19 【基础夯实】 19 【培优拔高】 20 知识点一 平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点二 无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点三 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点四 实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 知识点五 二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 2.二次根式有无意义的条件 3.二次根式的性质 (1)有最小值，为0 (2) 知识点六 二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法 （3） 则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 知识点七 最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点八 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点九 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点十 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期末）估计无理数的值是在（    ）． A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 实数的性质 【典例精讲】（24-25七年级下·河北唐山·期中）化简：________． 【变式训练】（2025·山东临沂·二模）下列各数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C．2 D． 题型三 实数与数轴 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A，B两点所表示的数分别是0，3，与数轴垂直，且，连接，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为________． 【变式训练】（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，中，，，点A在数轴上表示为数为1，点B在数轴上表示为数为2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 题型四 实数的大小比较 【典例精讲】（25-26八年级上·上海虹口·期中）比较大小：___________9． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·期末）比较大小：______3．（填“”“”或“”） 题型五 勾股定理与无理数 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，中，，，点M在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为1，若，则数轴上点A表示的数是__________． 题型六 利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）已知直角三角形的两边，满足． (1)求，的值； (2)求这个直角三角形第三边的长度． 【变式训练】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为____________． 题型七 估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·福建宁德·期末）已知一块正方形木板的面积为，则它的边长（单位：）介于（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式训练】（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知是正整数，并且，则的值为（   ）． A． B． C． D． 题型八 无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）若的整数部分为，小数部分为，则________，________． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）小数部分是______． 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）通过计算发现：，，，，仔细观察上面几道题的计算结果，请猜想_____． 【变式训练】（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）先填写表，通过观察后再回答问题． a 0.0004 0.004 0.04 0.4 4 40 400 4000 40000 0.02 0.0632 0.2 0.632 2 6.32 20 63.2 200 从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则 _________ ； ②已知，，用含m的代数式表示n，则 _____________ ． 题型十 求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段检测）已知为4的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【变式训练】一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 题型十一 已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·四川眉山·期末）正数的两个平方根分别是和，则的立方根为_________． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是，求的算术平方根． 题型十二 利用平方根解方程 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）求的值： (1)； (2)． 题型十四 与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（1）已知，则______； （2）已知，，则______． 【变式训练】根据你发现的规律填空：已知，若，则_________ 题型十五 立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期末）体积为8立方米的正方体的棱长是______米． 【变式训练】（25-26八年级上·河北沧州·期末）一个正方体水槽的体积为，则该正方体水槽的棱长是______． 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段检测）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型十七 求二次根式的值 【典例精讲】（23-24八年级下·甘肃平凉·期末）的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）当时，二次根式的值是_______． 题型十八 求二次根式中的参数 【典例精讲】（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为___________． 【变式训练】已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 题型十九 利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，是一块正方形场地，小华和小芳在边上取定了一点E，测量知，，求这块场地的边长． 【变式训练】（24-25八年级上·福建福州·期末）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简______． 题型二十 复合二次根式的化简 【典例精讲】（2024八年级上·湖南怀化·竞赛）计算（   ） A． B． C．5 D．1 【变式训练】（25-26八年级上·重庆·自主招生）_____． 题型二十一 二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·山东济南·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型二十二 已知最简二次根式求参数 【典例精讲】若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式训练】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是_______． 题型二十三 二次根式的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）计算： (1) ； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 题型二十四 已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）设 ， ，则 _______；_______． 【变式训练】（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，则______． 题型二十五 已知条件式，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【变式训练】（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 题型二十六 比较二次根式的大小 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）比较大小： (1)与 (2)与 【变式训练】（2025八年级上·上海·专题练习）比大小：______（填写“＞”、“=”、或“＜”）． 题型二十七 二次根式的应用 【典例精讲】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式训练】（25-26八年级上·重庆南岸·期末）喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 题型二十八 实数的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）计算： (1) (2) 【变式训练】（25-26八年级上·广东韶关·阶段检测）计算 (1)； (2)． 题型二十九 新定义下的实数运算 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（   ） A．1 B．4 C．－2 D．9 【变式训练】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）现对实数，定义一种运算：．则的值为______． 题型三十 实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和25． (1)大正方形的边长是__________，小正方形的边长是__________． (2)求图中阴影部分的周长． 【变式训练】阅读下面的材料，解答后面给出的问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： ，． (1)请你写出的有理化因式：___________； (2)请仿照上面给出的方法简化； (3)已知，，求的值． 题型三十一 与实数运算相关的规律题 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是_______；第n（n为整数且）行从左向右数第个数是_______（用含n的代数式表示）． 【变式训练】（24-25八年级下·云南大理·期末）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【真题演练1】（2025·江苏泰州·中考真题）若，则的值为（） A．4 B． C．2 D． 【真题演练2】（2025·浙江宁波·中考真题）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·江西景德镇·中考真题）若，则的最大值是__________． 【真题演练4】（2025·重庆渝北·中考真题）若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形（提示：）； ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． (1)若，代数式的最小值为_________，此时_________． (2)某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (3)如图2，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别为9和4，求四边形面积的最小值． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在格点上，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东惠州·期末）小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知直角三角形两条直角边长的比是，面积是48，则这个直角三角形的周长为____． 5．（25-26八年级上·山西运城·期末）【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 【培优拔高】 1．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，记，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 3．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，取的中点，连接，将沿折叠，当点恰好落在边上的点处时，则的长为___________． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）对于实数a，b，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为_______． 5．（25-26八年级上·四川达州·期中）观察下列等式： ； ； ； … (1)求下列各式的值： ①______； ②______； ③______（为正整数）． (2)已知，，若的整数部分是，的小数部分是，则的值为______． (3)计算． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull