2.3 二次根式（二） 二次根式的乘除 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.3二次根式（二）——二次根式的乘除 知识归纳与题型总结 考点01 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 考向01 二次根式的乘法 【例1】下列各式中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【对点1】下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点02 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 考点03 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 考向01 二次根式的除法 【例1】下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 考向02 二次根式的乘除混合运算 【例2】计算： (1)； (2)． 【对点1】计算： (1)； (2)． 【对点2】计算 (1)； (2)． 考点04 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 考点05 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 考向01 最简二次根式的判断 【例1】下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 考向02 化为最简二次根式 【例2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 考向03 已知最简二次根式求参数 【例3】若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 考向04 同类二次根式 【例4】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【对点1】下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【对点2】与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【对点3】若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【对点4】与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.3二次根式（二）——二次根式的乘除 知识归纳与题型总结 考点01 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 考向01 二次根式的乘法 【例1】下列各式中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用同类二次根式合并法则和二次根式乘法法则判断，只有同类二次根式可以合并，合并时系数相加被开方数不变，二次根式乘法满足． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，A错误； ，B错误； 根据二次根式乘法法则，，计算符合法则，C正确； 与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 【对点1】下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加减乘除法则逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：和不是同类二次根式，不能合并，∴A错误． 选项B：，∴B错误． 选项C：，∴C错误． 选项D：，计算正确，∴D正确． 考点02 积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 考点03 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 考向01 二次根式的除法 【例1】下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的四则运算，按照二次根式的运算法则逐一判断选项即可； 【详解】解： 对于选项A．， A错误． 对于选项B．与不是同类二次根式，无法合并，， B错误． 对于选项C．根据二次根式乘法法则：当时，，可得， C正确． 对于选项D．， D错误． 考向02 二次根式的乘除混合运算 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先根据二次根式性质化简，然后再按照二次根式的加减运算法则计算即可； （2）先根据二次根式性质化简，然后再按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【对点1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） 【对点2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 考点04 商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 考点05 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 考向01 最简二次根式的判断 【例1】下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，依次验证各选项即可． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 选项B：的被开方数是质数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义； 选项C：分母含二次根式，即被开方数含分母，化简后为，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 考向02 化为最简二次根式 【例2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，逐一化简计算即可判断． 【详解】对于选项A：和不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； 对于选项B：和不是同类二次根式，不能合并，∴B错误； 对于选项C：，原计算错误，∴C错误； 对于选项D：，计算正确，∴D正确． 考向03 已知最简二次根式求参数 【例3】若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 对选项逐一判断： A、，被开方数含分母，不满足条件，错误； B、，是能开得尽方的因数，不满足条件，错误； C、，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，正确； D、，被开方数含分母，不满足条件，错误． 考向04 同类二次根式 【例4】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B选项：，化简后被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； C选项：，化简后不是二次根式，不是同类二次根式； D选项：，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 【对点1】下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A.，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B.，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，符合定义，是最简二次根式，本选项符合题意； C.，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D.，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意． 【对点2】与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同类二次根式定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项B：，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项C：，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 对于选项D：，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式． 【对点3】若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式被开方数相同列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 二者为同类二次根式，被开方数相等，即， 移项得， ， 系数化为得． 【对点4】与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 【答案】 【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $