第08讲 二次根式及其乘除法（暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第08讲 二次根式及其乘除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断二次根式 题型2 根据二次根式有意义条件求范围 题型3 二次根式的乘法 题型4 二次根式的除法 题型5 二次根式的乘除混合运算 题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型8 复杂的复合二次根式化简 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次根式、被开方数非负、= |a|、乘法法则、除法法则、最简二次根式。 1. 理解二次根式的概念，掌握被开方数必须为非负数这一前提条件。 2. 掌握二次根式的基本性质：≥0（a≥0），=a（a≥0），= |a|。 3. 掌握二次根式的乘法法则：= （a≥0, b≥0），除法法则：=（a≥0, b>0）。 4. 能运用法则进行二次根式的乘除运算，并能将结果化为最简二次根式。 学习重点:二次根式的概念、基本性质，以及乘除法则的运用和最简二次根式的化简。 学习难点:理解= |a|中绝对值符号的必要性（区分a≥0和a < 0的情况），以及运用乘除法则时被开方数非负的条件限制。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 4.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 【易错提醒】 二次根式概念易错警示：形如(a≥)的式子。注意：被开方数必须非负；表示算术平方根，结果非负。若a<0，无意义。勿与立方根混淆。 即时即练1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的识别，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 3．如果，那么 ． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解题的关键是掌握这些知识点． 根据二次根式有意义的条件得，解得，则把代入进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 知识点02 二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 【易错提醒】 1. =|a|，不是a（a为负时易错）。 2. =（a,b≥0），勿忽略范围。 3. 分母有理化时，注意分子分母同乘适当因式，结果化为最简。 即时即练1．已知，化简 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 2．若，则化简的结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则成立的条件得出且，即可求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：若， 则且， 解得， ∴ ， 故答案为：5． 知识点03 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 【易错提醒】 =（a,b≥0）。注意：系数分别相乘，根号内相乘。结果须化为最简（开得尽方的因数要移出根号）。勿忽略a,b非负条件。 即时即练设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （2）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （3）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （4）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ； （4）解：， ． 知识点04 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广：. 【易错提醒】 。注意：分母不能为0，结果要化简（分母不含根号，被开方数不含分母）。勿忽略b>0条件。 即时即练计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 题型1 判断二次根式 【例1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，形如（）的式子称为二次根式，若被开方数为负数，则不属于二次根式，据此依次判断即可. 【详解】解：选项A：，被开方数，不符合题意； 选项B：，无论取何值，，故， 不符合题意； 选项C：，被开方数为（，故），符合题意； 选项D：，被开方数， 不符合题意. 故选：C. 【例2】下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 【技巧归纳】 二次根式定义为形如（a≥0）的式子。判断关键：被开方数非负，根指数为2（通常省略）。注意区分 与，化简后仍为二次根式如是常数不是根式。 【变式1-1】给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 【变式1-2】下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 题型2 根据二次根式有意义条件求范围 【例3】使二次根式有意义的的值为 （写出一个符合题意的值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ∴使二次根式有意义的的值可以为1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一）． 【例4】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 即， 故答案为：． 【技巧归纳】 二次根式有意义：被开方数 ≥ 0；分母中有根式时，分母≠0；奇次根式被开方数为全体实数。多个条件联立取交集。注意隐含着平方、绝对值等非负条件，化简前先依原式列式。 【变式2-1】若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 【变式2-2】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，结合已知条件求得的值是解题的关键．利用二次根式有意义的条件求得的值，然后求得的值，将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 题型3 二次根式的乘法 【例5】计算： (1)； (2)； (3)4； (4)3． 【答案】(1) (2)64 (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可； （2）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可； （3）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可； （4）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)7 (4)30 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式即可． （1）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式； （2）二次根式的乘法则计算即可； （3）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式； （4）二次根式的乘法则计算，最后结果化为最简二次根式； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ＝； （4） ＝6 ＝6 ＝6 ＝30． 【技巧归纳】 =（a,b≥0）。先确定被开方数非负，再合并根号内相乘，最后化简（提平方因子）。系数相乘放在根号外。注意负号处理，如 \(\sqrt{-a}\) 无意义时不可直接乘。 【变式3-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的乘法法则，（，）计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式3-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)（，）． 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）利用二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型4 二次根式的除法 【例7】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则可解决问题． （2）根据二次根式的除法法则可解决问题． 【详解】（1） （2） 【例8】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【技巧归纳】 。先保证被开方数非负且分母不为0，再合并根号内相除，化简为最简二次根式（分母不含根号）。系数相除放外，结果可分母有理化。 【变式4-1】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式除法运算及逐题计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型5 二次根式的乘除混合运算 【例9】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键， （1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 【例10】计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【技巧归纳】 统一为形式，系数乘除放外，根号内乘除合并。先化简每个根式，再乘除。注意运算顺序：从左到右，除法变乘法（乘倒数）。最后化为最简二次根式（分母有理化，开尽方）。 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题各小题根据二次根式的乘法和除法运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 题型6 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 【例11】当时，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质即可得出答案． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【例12】已知，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式性质和绝对值化简．根据二次根式性质和绝对值意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：1． 【技巧归纳】 先由条件确定参数范围，判断根号内表达式符号。利用=|a|去掉根号，根据范围去掉绝对值。再合并同类项化简。注意被开方数为完全平方时直接开方，结果为非负。 【变式6-1】当时， ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了化简二次根式和化简绝对值，把原式变形为，再根据化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：2． 【变式6-2】若，，化简____________________． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 题型7 含隐含条件的参数范围化简二次根式 【例13】化简结果为（    ） A． B． C．2ab D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：； 故选：A． 【例14】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件确定，再根据二次根式的性质进行化简即可．掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是正确化简的前提． 【详解】解：由于二次根式有意义， 所以， 所以， 故选：B． 【技巧归纳】 挖掘隐含条件：如+ 有意义得a=2。先根据被开方数非负、分母非零推出参数具体值或范围，再判断根号内其他表达式的符号，最后利用=|a|化简，去掉绝对值。 【变式7-1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再运用二次根式的性质进行化简． 先根据被开方数非负确定的正负，再利用二次根式的性质对原式进行化简． 【详解】因为二次根式有意义，则， 所以． 则． 答案选B． 【变式7-2】已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y的正负，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型8 复杂的复合二次根式化简 【例15】形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【知识点】复合二次根式的化简、二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 【例16】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 【技巧归纳】 尝试配方法：将根号内化为，即m+n为有理数，2为根式部分。也可设 =+平方求解，注意x,y为有理数，检验非负。 【变式8-1】阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 【答案】(1) (2)9 (3)米 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 【变式8-2】阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， 而，则 ∴ （3）解： ． 一、单选题 1．下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（        ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义逐个判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式； ②：被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式； ③：根指数为2，，，满足被开方数非负，是二次根式； ④：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； ⑤：根指数为2，被开方数，是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个，故选B． 2．下列说法不正确的是（    ） A．（）是二次根式 B．当时， C．（）是最简二次根式 D．成立的条件是 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义、性质、最简二次根式的定义，逐一判断即可. 【详解】解：∵根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵当时， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵当时，不是最简二次根式， ∴C选项说法不正确，符合题意； ∵等式，当即时，， ∴D选项说法正确，不符合题意； 故选：C. 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ 4．若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 5．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 二、填空题 6．若二次根式有意义，任写一个满足条件的的值是__________． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，因此根据二次根式有意义的条件，求出的取值范围，在取值范围内任写一个符合要求的的值即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得， 故在范围内任取一个值，例如． 7．化简：__________． 【答案】/ 【详解】解：． 8．化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 9．对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 10．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 三、解答题 11．运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果； （2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算； （3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 13．观察下列各式：；；……，请你猜想： (1)________，________； (2)计算（请写出推导过程）：； (3)请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来：_____________． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）仿照题干式子求解； （2）利用二次根式的性质化简； （3）根据以上式子总结规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解：根据题意得，． 14．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 15．阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； (2)利用上面的规律，则__________； (3)写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)29 (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （2）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （3）用n表示连续的整数，结合完全平方公式，写出规律再证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解： ； （3）猜想：． 证明： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第08讲二次根式及其乘除法 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解一建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断二次根式 题型2根据二次根式有意义条件求范围 题型3二次根式的乘法 题型4二次根式的除法 题型5二次根式的乘除混合运算 题型6根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 题型7含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型8复杂的复合二次根式化简 04过关检测→练考点· 强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解二次根式的概念，掌握被开方数必须为非负数这一前提条件。 二次根式、被开方数非2.掌握二次根式的基本性质： a20(≥0)，(W)2-a(a20),2=-l 负、Va2=la、乘法法 a。 则、除法法则、最简二 3.掌握二次根式的乘法法则：√·√6=√ab 次根式。 (a≥0，b20),除法法则：石= V层(20，b>0)。 4.能运用法则进行二次根式的乘除运算，并能将结果化为最简二次根式。 学习重点：二次根式的概念、基本性质，以及乘除法则的运用和最简二次根式的化简。 学习难点：理解√a2=la中绝对值符号的必要性（区分20和a<0的情况），以及运用乘除法则时被 开方数非负的条件限制。 02 教材全解 知1识1框|架 1/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根号内化到最简 化简口诀 系敌除根号乐除 乘除口诀 解题方法与口诀 定义形如/a(a≥0)的式子 同乖共轭去分母根 分母有理化口快 二次根式的概念 被开方数必烦是非负数 忽略被开方数非负条件 双里非负性Jaz0且az0 Ja?化简符号出错 高频易错点 (Ja)2=a(az0) 乘法法测使用条件遗漏 az0时等于a Ja'=lal 分母有理化方法错误 二次根式的性质 a<0时等于-a 二次根式有意义的条件 Jab=Ja-Jb(az0.bz0) 住质应用与化简 高频考点 二次根式及其乘除法 f(a/b)=fa/fb(az0.b>0) 除法计算 法则 fa-/b=jab(az0.b20) 二次根式的乘法 分母有理化 系敌相乘 先乘除后加减运算顺序 运算步骤 被开方数相乘 交换律结合律分配律运算律应用 二次根式的混合运算 化简结果 化为最简二次根式结果要求 法测 fa/fb=(a/b)(az0.b>0) 二次根式的除法 被开方数不含分母 去掉分母中的根号 条件 最简二次根式 分母有理化 被开方数不含开得尽的因数因式 常用方法：乘共轭根式 知|识1精|讲 知识点01二次根式 1.二次根式的概念：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子的式子叫做二次根式，“√厂”称为称为二次根号. 都是二次根式。 2.二次根式满足条件：(1)必须含有二次根号“√”；(2)被开方数必须是非负数 3.二次根式有意义：被开方数为非负数，即a有意义台a≥0： 4.二次根式无意义：被开方数为负数，即√a无意义台a<0. 【易错提醒】 二次根式概念易错警示：形如√a(a≥的式子。注意：被开方数必须非负； √日表示算术平方根，结果非负。 若a<0,Va无意义。 勿与立方根混淆 即时即练1.下列各式中，一定是二次根式的是() A.√2a B.va+1 C.2a+1 D.a 2.若√x+3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 3.如果y=√x-2+V2-x+1,那么=一 知识点02二次根式的性质 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.二次根式√a(a≥0)的非负性 √a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，Va(a≥0)是一个非负数，即Va≥0(a≥0). 2.二次根式Na的性质：（Na2=a(a≥0) 3.二次根式Va2的性质： Va2 =a= a(a≥0) -a(a<0) 【易错提醒】 l.Va2=a,不是a(a为负时易错)。 2.Va·V5-√ab(a,b20),勿忽略范围。 3.分母有理化时，注意分子分母同乘适当因式，结果化为最简。 即时练1.已知a<3,化简V3-a)2- 2.若Vx(3-x=V3-x,则化简Vx+)+x-4的结果是 知识点03二次根式的乘法法测 1.二次根式的乘法法则：√a·√b=√b(a≥0，b≥0)（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广： (1)√a√b=√abc(a≥0，b≥0，c≥0) (2)aVb·c√d=ac√bd(b≥0，d≥0)，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进 行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数， 3.二次根式的乘法法则的逆用：√b=√a·Vb(a≥0，b≥0)（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平 方根的性质) 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：√abcd=√a√6VC√da≥0，b≥0，c≥0，d≥0) 【易错提醒】 √·V6-√ab(a,b20)。注意：系数分别相乘，根号内相乘。结果须化为最简（开得尽方的因数要移出根 号)。勿忽略a,b非负条件。 即时即练设a>0,b≥0，计算下列各式： ox得 4)a22b.L8b. 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点04二次根式的除法法测 1.二次根式的除法法则： V口=9(a≥0，b>0)(二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变) 6V6 2.二次根式的除法法则的推广：√a÷Vb÷VC=√a÷b÷c(a≥0，b>0,c>0) 【易错提醒】 66 (α≥0，b>0。注意：分母不能为0，结果要化简（分母不含根号，被开方数不含分母）。勿忽略b >0条件。 即时即练计算： (1)√75÷15 (2)√80÷√2 (3)√108÷3√6 ,月 漂语 6 网55 03 题型突破 题型1判断二次根式 【例1】下列式子中，不属于二次根式的是() A.5 B.va'+1 C.元 D.6 【例2】下列式子中： V2, √-5000， 27,8,-2025，二次根式的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【技巧归纳】 二次根式定义为形如√a(20)的试子。判断关键：被开方数非负，根指数妫2（通常省略）。注意区分√a与 ,化简后仍为二次根式如√4是常数不是根式。 【变式11】给出下列式子：①V8；②√4；③√a2+1；④√2a;⑤，其中一定是二次根式的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4/13 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】下列各式中，是二次根式有() ①V7；②V3;③10：④√-3-x;⑤√a2+9;⑥ 1 Vx2+1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型2根据二次根式有意义条件求范围 【例3】使二次根式√有意义的x的值为（写出一个符合题意的值即可）· 【例4】若代数式√x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 【技巧归纳】 二次根式有意义：被开方数之0；分母中有根式时，分母0：奇次根式被开方数为全体实数。多个条件联立取交 集。注意隐含着平方、绝对值等非负条件，化简前先依原式列试。 【变式2-1】若二次根式√x-2026有意义，则x的取值范围是 【变式2-2】已知y=√x-8+V16-2x+9,则Vxy的值为」 题型3二次根式的乘法 【例5】计算： (1)25x36; (2)8√2x2√8； aurB (4)3√5a.2V10b. 【例6】计算： (1)√2xV5: 5v. (3)V14x√万； (4)3√5×2V10. 【技巧归纳】 Vab-vab (α，b20)。先确定被开方数非负，再合并根号内相乘，最后化简（提平方因子）。系数相乘放在 根号外。注意负号处理，如sqt{-a)无意义时不可直接乘。 【变式3-1】计算： 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()V30xV5; owE得 (3)25×4v6; 4,G 【变式3-2】计算： m5v厉. (2)5V27×-3V3: 33*25 43、ab×6 (a≥0，b>0). 题型4一次根式的除法 【例7】计算： (1)48÷√6 a--信周 【例8】计算： ()g 6: 居周 865r3V5 【技巧归纳】 V口-，日（a之0，b>0。先保证被开方数负且分母不为0，再合并根号内相除，化简为最简二次根式（分8 66 不含根号)。系数相除放外，结果可分母有理化。 【变式4-1】计算： 1)514÷(-7) 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)2V18÷32 -62w6 【变式4-2】计算： (1)54÷√6； @G 2V6 4 (4ab÷ 25a 题型5二次根式的乘除混合运算 【例9】计算： w6x 21 (2)27×V50÷2√6. 【例10】计算： 255x方 a居月 【技巧归纳】 统一为形式，系数乘除放外，根号内乘除合并。先化简每个根式，再乘除。注境运算顺序：从左到右，除法校 乘法（乘倒数）。最后化为最简二次根式（分母有理化，开尽方）。 【变式5-1】计算： 022×552: 4 (2)-6√⑧×2√6÷4V27; e4g×36-(o月 (④212×455： 7/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ⑨56-+名24 【变式5-2】计算： 6得vg, )9 3r. 题型6根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 【例11】当a>0时，化简V9a2=一 【例12】己知2<x<3,化简Vx-2)+x-3到= 【技支巧归纳】 先由条件确定参数范围，判断根号内表达式符号。利用√a2=-去掉根号，根据范围去掉绝对值。再合并同类项 化简。注意被妍方数妫完全平方时值接开方，结果为非负。 【变式6-1】当1<x<3时，1-x+V2-6x+9= 【变式6-2】若a<0,b<0,化简2ab3-3Vab= 题型7含隐含条件的参数范用化简二次根式 【例13】化简V4ab结果为() A.2abb B.4abb C.2ab D.2abab 【例14】化简√-a3的结果是() A.aa B.-a-a C.-ava D.ava 【技巧归纳】 挖掘隐含条件：如√a一2+√2一a有意义得a=2。先根据被开方数非负、分母到非委推出参数具体值或范围，再 判断根号内其他表达式的符号，最后利用a2=a化简，去掉绝对值。 【变式7-1】化简m, 1的结果是() 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.√m B.-√m C.-m D.√-m 【变式7-2】已知x<y,则化简二次根式√-xy的结果是() A.-x-xy B.-xVx灯 C.x-xy D.xy 题型8复杂的复合二次根式化简 【例15】形如√m±2√n的化简，只要找到两个正数a,b,使a+b=m,ab=n,即(a)2+(b)2=m, VaVb=√n,挪么便有√m±2n=VNa±b)=Va±b(a>b): 例如：化简V7+4√5 解：V7+4√3=√7+2√2，这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12， 7+4=7+2i厉=4+5=2+6. 请仿照上例解下列问题： (1)填空：V4+23= ,V9-45=-,V8-60= (2化简：√3+√5（请写出计算过程）； 1 1 1 1 1 (3化简： √3+⑧V5+√24√7+√48'V9+80V11+120 【例16】有这样一类题目：将√a±2√6化简，如果你能找到两个数m、n,使m2+n2=a且mn=√b,则可 将a±26将变成m2+n2±2mn,即变成(m+n)',从而使得Va±2√万化简.例如， 5±26=3+2±26=（列+(+22×5=(W5±2，“5±2W6=5±=(5±2）.这种 方法叫做配方法，换一种思路，假设化简5±26的结果是VF±√F(x>y>0),可知5±26=（乐±√.整 理，得5±2V=x+y±2√，比较等式两边的组成，可得x+y=5,y=6,即x=3,y=2,所以 5±2√6=(3±2)： 尝试化简下列各式： (1)V7+45; (2V8-√6o 【技巧归纳】 尝试酒配方法： 根号内化伪m±V回，即m+n为有理数2mn为根式部分.也可设V日十V石反h 平方求解，注意xy为有理数，检验非负。 9/13 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式8-1】阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简.例 如： 5-2W6=3+2-2-5)+(-2x2x5=5-2=3-2=5-2: 5+2万-5+2x1x5=VP+(W2+2x1x万-1+'=1+=1+5. 解决下列问题： (1)化简：V9-4√5； (2)化简并求出：V52-14V5+V7+4√5的值 (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为4√15平方米，形成新正 方形花圃ABCD,求出新正方形花圃ABCD的边长. D B 【变式8-2】阅读材料：把根式√x±2y进行化简，若能找到两个数m,n,使m2+n2=x,mn=V下，即把 x±2下变成m2+n2±2mn=(m±n2,从而可以对根式Vx士2√下进行化简.。 例如：化简：√5-2√6 解：5-26=3-26+2=(5-2×3xv2+(V2=(V5-V2), 5-2w=5-=5-2. 根据上述材料，解答下列问题. (1)化简：V11+6√2· (2)化简：√m+2m-1. (3)计算：V12+6√5-V16-85. 04 过关检测 一、单选题 10/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.下列式子① 1 中，二次根式的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.下列说法不正确的是（) A.√a(a≥0)是二次根式 B.当a<0时，Va2=-a C.Va2+b(b≥0)是最简二次根式 D.Vx+3)2=x+3成立的条件是x2-3 3.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简Va-1)2-Vb-1)2的结果是（) b01a> A.-a+b-2 B.-a-b C.a-b D.a+b-2 4若心0，则化简xy所得结果为《) 4. B. C.√ D.xy xy 5.一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：√万、√6-√、 √3+2√2都是复合二次根式.其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：√3+22= √2+(V2+2x1×万=1+2列=1+V万.请你利用上述方法化简复合二次根式：8-2=() A.√6-√2 B.√5-√5 C.15-1 D.√7-1 二、填空题 6.若二次根式√4-x有意义，任写一个满足条件的x的值是 7.化简：V3-π2 8.化尚6西（ 的结果为 9.对于任意不相等的两个非负实数a.,新定义一种运算#如下：a#h=反x6b>d,则3#7 √b-a 10.阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：√， √6-√5，√6+2√5等都是复合二次根式.其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如： V6+25=+25+5=2+2x1x5+(5=V1+5=1+5.请利用上述运算法则化简： 7-45= 11/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 11.运算能力计算： 0255: 得居 12.计算： 0厚25分月 a母 （ 13观察下列各式：写2得+日：写4店·销你路起： 1),4+- 6 5+7 (2)计算（请写出推导过程）：15+， 17 (3)请你将猜想到的规律用含有自然数nn≥1)的代数式表达出来： 14.有这样一类题目：将√a+2万化简，如果你能找到两个数m、n,使m2+n2=a且n=√b,则将 a+2√b变成m2+n2+2mm,即变成(m+n),从而使得√a+2万得以化简. 例如：5+2V6=3+2+26=(V5+(W2+22V3=(3+V2)月 8+27=1+7+27=(+万+2万=(+7=(1+7) (1)请仿照上例化简：12+235=-，9+4V5=- (2)请运用上述方法化简V11-2√30.（写出计算过程） (3)若a+25=(Nm+m',且a、m、均为整数，求a的值. 15.阅读下列解题过程： 第1个等式：V1×2×3×4+1=V1×4)×(2×3)+1=V4×6+1=√25=5； 第2个等式：V2×3x4×5+1=V2×5)×3x4)+1=V10x12+1=V121=11; 第3个等式：V3×4×5×6+1=V3×6)×4×5)+1=18×20+1=V361=19: 12/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式√4×5×6x7+1= (2)利用上面的规律，则√2025×2026×2027×2028+1-20262= (3)写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： (用含的等式表示)，并证明. 13/13