第07讲 立方根（暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第07讲 立方根 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 立方根概念理解 题型2 求一个数的立方根 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 题型4 立方根的性质 题型5 与立方根有关的程序运算问题 题型6 利用开立方解方程 题型7 平方根与立方根的综合 题型8 立方根的应用 题型9 与立方根有关的规律探究问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 立方根、三次根号、立方运算、性质、负数立方根、开立方。 1. 理解立方根的概念，掌握立方根的符号表示（），能求出一个数的立方根。 2. 掌握立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 3. 理解平方根与立方根的区别（如负数有立方根而无平方根），能正确区分二者。 4. 能用立方根解决简单的实际问题，体会数系扩充的必要性与数学的实用性。 学习重点:立方根的概念及其性质，特别是负数也有立方根（区别于平方根）。 学习难点:理解立方根与平方根的区别与联系（如负数立方根的存在性、 = 的恒等变形），以及立方根的估算与近似计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【易错提醒】 立方根定义易错警示：若x3=a，则x是a的立方根，记作。任何实数都有唯一立方根，符号与被开方数相同（正、负、0均可）。注意与平方根区分（负数没有平方根）。 即时即练1．计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．已知a的立方根为，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】此题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，根据a的立方根为，可得：，据此求出a的值是多少即可． 【详解】解∵a的立方根为， ∴． 故答案为：． 知识点02 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【易错提醒】 立方根性质易错警示： = ；=a（对任意实数成立）。注意与平方根性质区分（平方根有 = |a|，立方根则无需绝对值）。勿混淆。 即时即练若，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查的是立方根及平方根的定义，掌握立方根及平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 的平方根是， 故答案为：． 知识点03 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【易错提醒】 立方根小数点移位易错警示：被开方数小数点每移动三位，立方根小数点向相同方向移动一位。注意与平方根（移动两位）区分。仅适用于小数位数移动，且被开方数需为完全立方数附近。 即时即练完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 题型1 立方根概念理解 【例1】下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【例2】下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 【答案】C 【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 【详解】解：A. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 立方根等于本身的数只有和0，故该选项不正确，不符合题意． 【技巧归纳】 若x3=a，则x是a的立方根，记作。任何实数都有唯一立方根，符号与原数相同。负数立方根为负，0立方根为0。 = 。 【变式1-1】下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意； C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 利用立方根的定义及求法逐项判断即可． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、有立方根，为，原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 题型2 求一个数的立方根 【例3】64的立方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是立方根的含义，根据立方根的含义求解即可． 【详解】解：64的立方根是， 故答案为：． 【例4】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 根据立方根的性质求解即可． 【详解】． 故答案为：． 【技巧归纳】 求立方根：正数立方根为正，负数为负。可将数分解质因数，找出三个相同因子，提取一个。分数则分子分母分别开立方，小数化分数。 【变式1-1】的平方根是 ．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握平方根和立方根的求解过程． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：， ； ， ； 故答案为：，． 2．填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ． （2） ___________________ ；_____ ． （3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ． 【答案】 0或 8 2 【分析】（1）结合立方根的性质，得出0或都满足自身的立方根等于它本身，即可作答． （2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答． （3）先开立方根再算平方根得出的平方根是；先求出64的算术平方根，再求出其立方根，即可作答． 【详解】解：（1）的立方根等于0，的立方根等于，的立方根等于 即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0或； （2）， （3）先化简得，的平方根为； 化简，的立方根为． 题型3 已知一个数的立方根，求这个数 【例5】已知一个数的立方根为，则这个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握立方根的概念是关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵一个数的立方根为， ∴这个数是． 故答案为：． 【例6】一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 【技巧归纳】 已知立方根求原数，直接将立方根进行立方运算。注意立方根符号与原数一致，负数的立方根为负，立方后仍得负数。如=2，则a=8；若=-3\)，则a=-27。 【变式1-1】已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____． 【答案】 【分析】根据立方根、算术平方根的定义求出、的值，进而求出的值，再求其立方根即可． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是3， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 【变式2】已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 题型4 立方根的性质 【例7】已知，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的计算，掌握立方根的性质是关键． 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． 【详解】解：，即一个数的立方根等于它本身， ∴当时， 解得，； 当时， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或 ． 【例8】数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 【技巧归纳】 立方根性质：=a。负数立方根性质： = 。用于化简、比较大小。 【变式1-1】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 8．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简： (2)若实数，满足，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知，，，，根据二次根式的性质、绝对值的性质求解即可； （2）根据非负数的性质求得实数，的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，， ∴ ； （2）解：，，， ，， ，， 故的立方根为：． 题型5 与立方根有关的程序运算问题 【例9】如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______． 【答案】 【分析】先把输入计算出8的立方根为2，由于2是有理数，则把作为新数输入，再求出2开立方的结果，若结果为有理数，则重复上述过程，若结果为无理数，则把结果输出即可． 【详解】解：第一次输入8时，是有理数， 第二次输入2时，是无理数，则输出的结果为． 【例10】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 【答案】 【分析】根据程序流程图，先取729的立方根为9，再取9的算术平方根为3，然后取3的立方根即可． 【详解】解：若开始输入的的值是729，取立方根为，是有理数， 取算术平方根为，是有理数， 取立方根为，是无理数，则输出． 【技巧归纳】 按流程图顺序执行，输入数值后依次开立方、加减乘除等。注意立方根符号可能改变正负，可用性质 = 简化。遇到循环结构，多次开立方可能趋近于1或-1。列表跟踪中间值。 【变式1-1】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________． 【答案】 【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． 【详解】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得，是无理数，所以输出的数为． 故答案为：． 7．小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为_____． 【答案】/ 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入，则，然后，4的倒数为，然后得到， ∴输出的数为． 题型6 利用开立方解方程 【例11】解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根，立方根定义求解方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）先整理为，再利用平方根定义解方程即可； （2）先整理为 ，再利用立方根定义解方程即可； 【详解】（1）解：由 得 所以 所以 或 解得 或 （2）解：由 得 所以 所以 解得 【例12】求下列各式中的x (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【技巧归纳】 解形如x3=a的方程：两边同时开立方得x=。若方程为 (ax+b)3=c，则开立方得ax+b=，再解一次方程。注意实根唯一，无增根。 【变式1-1】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（）把移到右边，再根据平方根的定义解答即可； （）把移到右边，再根据立方根的定义解答即可； 本题考查了利用平方根和立方根解答方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查由平方根运算、立方根运算解方程，熟练掌握平方根及立方根运算是解决问题的关键． （1）由平方根运算，直接开平方求解即可得到答案； （2）由立方根运算，直接开立方求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得或； （2）解：， ， 即， 解得． 题型7 平方根与立方根的综合 【例13】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【例14】已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 【技巧归纳】 平方根非负，立方根保号。混合运算时注意运算顺序，先开方再加减乘除。解方程时，平方根需考虑正负，立方根唯一。化简要区分= |a|与=a。 【变式1-1】已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)± 【分析】（）根据平方根和立方根的定义可得，解方程即可得到答案； （）根据（）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ； （2）解： ， ， 的平方根为． 【变式2】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型8 立方根的应用 【例15】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据立方根的性质解答即可求解． 【详解】解：∵它的体积为， ∴它的棱长是． 【例16】将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【技巧归纳】 立方根应用：求立方体边长（体积开立方）、球体半径（体积反推）、缩放比例。实际问题中注意单位一致，结果取正根。如体积为V的正方体，边长a=。比较大小也用立方根。 【变式1-1】如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 题型9 与立方根有关的规律探究问题 【例17】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． (3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】(1)右；一； (2)； (3)； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【详解】（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 【例18】观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 【技巧归纳】 计算若干立方根值，观察结果整数部分、小数变化或循环。猜想含n的通项公式，如=n。验证递推关系，并用立方运算法则证明规律。 【变式1-1】（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 12．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 一、单选题 1．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 2．在下列实数中：，，，，，…（每两个1之间多一个0）其中无理数有（     ） A． B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先化简可开方的数，再根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可． 【详解】解：先化简给出的数：，， 由整数，分数，有限小数都属于有理数，即，，，都是有理数； 无理数为无限不循环小数，是无限不循环小数，（每两个1之间多一个0）是无限不循环小数，均为无理数． 综上，无理数共有个． 3．下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意； 故选：A． 4．是的平方根，是的立方根，则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．或5 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据平方根和立方根的定义求出和，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平方根， ∴， ∵是的立方根， ∴， 当时，， 当时，， 因此的值为或． 5．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．9的平方根是________，的立方根是________． 【答案】 / 【详解】解：， 的平方根是； ， 的立方根是． 7．已知，则的值是_____． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再将代入所求式子，根据立方根的定义计算得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 8．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根是___． 【答案】3 【分析】先根据题意，列式，解得，再求出的值，最后求出的算术平方根，即可作答． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴， 解得 则， 解得， ∴， ∵的算术平方根是． ∴的算术平方根是． 9．已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则的算术平方根是___________． 【答案】或/或 【分析】根据立方根的定义求出a，估算无理数的大小得到b的值，根据平方根的定义得到c的值，代入代数式求值再求算术平方根即可． 【详解】解：∵a的立方根是2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵c是9的平方根， ∴， 当时，，算术平方根为； 当时，，算术平方根为； 综上分析可知，的算术平方根为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，考查分类讨论的思想，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解． 10．（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【答案】 0.2646 300 【详解】解：（1）∵，则； （2）已知 则 ． 三、解答题 11．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解： 开平方，得． 当时，解得 ； 当时，解得． 所以或； （2） 解： 整理，得． 开立方，得 ． 解得． 12．已知一个正数的两个平方根分别为和，是的整数部分． (1)求的值，并求这个正数； (2)求的立方根． 【答案】(1)，这个正数为100； (2)3； 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程求出a的值，进而求出这个正数； （2）先根据无理数的估算，求得b的值，再把a，b的值代入中进行计算，最后求出它的立方根即可解答． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是100， （2）解：∵， ∴， ∵b是的整数部分， ∴； 当，时， ， ∴的立方根． 13．已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意计算得，，则，计算的算术平方根即可； （2）根据题意计算得，则，计算的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得， ∵的立方根为， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为． 14．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2 (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】（1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为，则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：∵魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， ∵正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， ， ∵点A与重合， 点D在数轴上表示的数为． 15．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 16．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第07讲立方根 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解建框架.精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点· 破方法：典型题型深度拆解 题型1立方根概念理解 题型2求一个数的立方根 题型3已知一个数的立方根，求这个数 题型4立方根的性质 题型5与立方根有关的程序运算问题 题型6利用开立方解方程 题型7平方根与立方根的综合 题型8立方根的应用 题型9与立方根有关的规律探究问题 04过关检测→练考点· 强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解立方根的概念，掌握立方根的符号表示()，能求出一个数的立 立方根、三次根号、立 方根。 2.掌握立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立 方运算、性质、负数立 方根是0。 方根、开立方。 3.理解平方根与立方根的区别（如负数有立方根而无平方根），能正确区分 二者。 4.能用立方根解决简单的实际问题，体会数系扩充的必要性与数学的实用性。 学习重点：立方根的概念及其性质，特别是负数也有立方根（区别于平方根）。 学习难点：理解立方根与平方根的区别与联系（如负数立方根的存在性、一a-一的恒等变形） 以及立方根的估算与近似计算。 02 教材全解 知1识|框|架 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如果一个数x的立方等于a,即x=a,那 个实数一个根 立方根判定 定义 么X叫做a的立方根 解题方法与口诀 开立方逆运算 立方根的概念 表示方法 记作Ja,读作三次根号a 运算口诀 符号跟若被开方敌走 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方 立方根符号写错 正数的立方根是正数 立方根唯一性忽略 高频易错点 立方根的性质 负数的立方根是负数 平方根与立方根混淆 0的立方根是0 立方根概含辨析 立方根的唯一性 立方根 每个实数有且只有一个立方根 立方根符号理解 立方根与立方逆运算 高频考点 定义不同 开立方运算 平方根与评方逆运算 立方根与平方根综合 正数有一个立方根 个数不同 直接得出立方根 完全立方数 正数有两个平方根 利用夹渔法 立方根符号唯一 估算近似值 立方根的计算 立方根与平方根的区别 符号不同 精确到指定位数 平方根有正负 常用功能按罐 计算器求立方根 负数有立方根 取值范围不同 负数无平方根 f-a=-3fa 运算不同 J(-a)无意义 知|识|精I讲 知识点01立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x3=a,那么 x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方， 注意：一个数a的立方根，用√a表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算， 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个 互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【易错提醒】 立方根定义易错警示：若x3-a,则x是a的立方根，记作。任何实数都有唯一立方根，符号与被开方数 相同（正、负、0均可）。注意与平方根区分（负数没有平方根）。 即时即练1.计算：-64= 2。已☑的立方根为子则的能为 知识点02立方根的性质 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 &a -Na a =a (Na)"-a 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 【易错提醒】 立方根性质易错警示： 一a--;3=a(对任意实数成立)。注意与平方根性质区分（平方根 有√a2=lal,立方根则无需绝对值)。勿混淆。 即时即练若(8+a)=(2a-3),则a的平方根是 知识点03立方根小数点位数移动规健 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如， 3/0.000216=0.06,30.216=0.6,216=6,3216000=60. 【易错提醒】 立方根小数点移位易错警示：被开方数小数点每移动三位，立方根小数点向相同方向移动一位。注意与平 方根（移动两位）区分。仅适用于小数位数移动，且被开方数需为完全立方数附近。 即时即练完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题 0.064 0.64 64 6400 64000 0.25298 0.8 m 252.98 0.4 0.8618 n 18.566 40 (1)表格中的m三 (2)已知V5≈3.873，√1.5≈1.22474，估计√150和√0.15的值；（结果保留四位小数） (3)若√a≈14.1421,700≈b,估计a+b的值.（参考数据： √2≈1.41421,20≈4.4721,7≈1.9129,30.7≈0.88790).（结果保留四位小数） 03 题型突破 题型1立方根概念理解 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例1】下列语句正确的是() A.负数没有立方根 B.64的立方根是±2 C.立方根等于本身的数只有±1 D.8=-⑧ 【例2】下列选项正确的是() A.8的立方根是±2 B.-3=3 1 27=-3 D.立方根等于本身的数只有1和0 【技巧归纳】 若x3=a,则x是a的立方根，记作。任何实数都有唯一立方根，符号与原数相同。负数立方根为负，0立方 根为0。a=-。 【变式1-1】下列说法中，正确的是() A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B.一个非零数的立方根与这个数同号 C.负数没有平方根也没有立方根 D.算术平方根一定是正数 【变式2】下列说法正确的是() A.64的立方根是±4 B.-27没有立方根 C.立方根等于本身的数是0和1 D.-27=-3 题型2求一个数的立方根 【例3】64的立方根是」 【例4】计算：-27= 【技巧归纳】 求立方根：正数立方根为正，负数为负。可将数分解质因数，找出三个相同因子，提取一个。分数则份子分母分 别开立方，小数化分数。 【变式1-1】64的平方根是 ⑧1的立方根是 2.填空题 (1)如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 2) 27 ；(8)= (3)64的平方根是 ；64的立方根是 题型3已知一个数的立方根，求这个数 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例5】已知一个数的立方表为了则这个数为 【例6】一个正数的平方根分别是2a-5和2a+1,b-30的立方根是-3，则√a+b的算术平方根为 【技巧归纳】 已知立方根求原数，直接将立方根进行立方运算。注意立方根符号与原数一致，负数的立方根为负，立方后仍得 负数。 如a=2,则a=8;若a=30,则a=27。 【变式1-1】已知a的立方根是-1，b的算术平方根是3，则a+b的立方根为 【变式2】已知：2a-7和a+4是正数M的平方根，b-7的立方根为-2，则3a+2b的算术平方根 题型4立方根的性质 【例7】已知a-3=a-3,则a的值为 【例8】数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简Va+b-√-b)+的结果为 b a0c→ 【技巧归纳】 立方根性质：a3=。负数过方根牲质：一a=一。用于化简、 比较大小。 【变式1-1】根据立方根的意义填空： 2= ，0=，-2莎= 3 观察上述结果，猜想对于实数a,a等于什么？对于式子a(n≥2，n是整数)的化简，你有怎样的认识？ 8.己知实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示： a -20b2 (①)化简：√b-a-b+a+b (2若实数a,b满足a+3+2b-3=0,求b的立方根。 题型5与立方根有关的程序运算问题 【例9】如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是 输入 取立方根 →有理数否输出 是 5/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例10】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是729，则输出的y的值是 是无理数 输入x 取立方根 是有理数 是无理数 输出y 取算术平方根 是有理数 【技巧归纳】 按流程图顺序执行，输入数值后依次开立方、加减乘除等。注意立方根符号可能改变正负，可用性质一a= 简化。遇到循环结构，多次牙开立方可能趋近于1或1。列表跟踪中间值。 【变式1-1】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 有理数 取算术 是有理数 输入x值 取立 是无理数 平方根 方根 输出y 无理数 1. 小明编写了一个程序，如图， 若输入x=一8，则输出的值为 立方根 倒数 算数平方根 输出 题型6利用开立方解方程 【例11】解下列方程： (1)16(x+1)2=49; (2)8(1-x)3=125. 【例12】求下列各式中的x (1)3(x-4)3=-375: (2)2x-13+8=0; 【技巧到归纳】 解形如x-a的方程：两边同时开立方得x一及。若方程为(a+b=c,则开立方得ax+b-C,再解一次方程。 注意实根唯一，无增根。 【变式1-1】解下列方程： (1x-1)2-9=0; 0 22(x-3+4 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】求下列各式中x的值： (1)3(5x+1)2-48=0: 2)2(x-1)2=-125 4 题型7平方根与立方根的综合 【例13】已知3m-2的平方根是±2，m+2n+4的立方根是2. (1)求m,n的值： (2)求2mn+5的算术平方根， 【例14】己知实数3a+10的算术平方根是2，a+b的立方根是2. (1)求a,b的值： (2)求5a+2b的平方根， 【技巧归纳】 平方根非负，立方根保号。混合运算时注意运算顺序，先开方再加减承除。解方程时，平方根需考虑正负，立方 根唯一。 化简腰区分Va2=la与a3=a。 【变式1-1】已知正数2a-1的算术平方根是3，b-1的立方根是2 (1)求a,b的值； (2)求4a-b+5的平方根， 【变式2】已知3a-5的立方根是-2，b+1的算术平方根是3. (1)求a,b的值； (2)若c<√5<c+1,且c是整数，求b-2a+2c的平方根。 题型8立方根的应用 【例15】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为216cm3,它的棱长是多少？ 【例16】将棱长为6cm的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体 铁块的长、宽、高的比为1：1：8，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少cm? 【技巧归纳】 立方根应用：求立方体边长（体积开立方）、球体半径（体积反推）、缩放比例。实际问题中注意单位一致，结 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 果取正根。如体积为V的正方体，边长a=下。比较大小地用立方根。 【变式1-1】如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块 (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方 体铁块.若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长， 【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆 柱体)，并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为216m3,小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降 了0.5cm. (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取3）？ 题型9与立方根有关的规律探究问题 【例17】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 6 0.16 1.6 16 160 1600 (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的 小数点就向 移动 位： (2)运用你发现的规律，探究下列问题：己知3≈2.35，则0.013≈ 13000≈】 (3)类比上述立方根运算：已知3.66≈1.913，则√366≈ 36600≈ 【例18】观察下列规律回答问题： -0.001=-0.1,-1=-1,-1000=-10,0.001=0.1,近=1,1000=10，… (1)0.000001=，105= (2)已知=1.587，若万=-0.1587，用含x的代数式表示y,则y= (3)根据规律写出a与a的大小情况. 【技巧归纳】 计算若干立方根值，观察结果整数部分、小数变化或循环。猜想含n的通项公式，如3=。验证递推关系， 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 并用立方运算法测证明规律。 【变式1-1】(1)填表： a 0.000008 0.008 8000 a (2)观察上表，表中数α的小数点的移动与它的立方根ā的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述 这个规律： (3)根据你发现的规律解答： ①已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140介于哪两个整数之间？ ②已知30.001843≈0.1226，则1843≈—： ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01 平方米) 0.000008 0.008 8 8000 a 0.02 02 2 20 12.小明在学完立方根后研究了如下问题： 如何求出-1728的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000，所以1728是两位数： ②其次观察了立方数：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512， 93=729;猜想1728的个位数字是2； ③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为13=1,23=8，所以1728的十位数字应为1，于是猜想 1728=12,验证得：1728的立方根是12： ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到-1728=-12，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个 数的立方根也互为相反数；反之也成立 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)-3375=- (2)若5-4x=-x+10,则x=_: (3)已知x-2+2=x,且3y-1与1-2x互为相反数，求x,y的值. 04过关检测 9/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.式子-8=-2表示的意义是() A.-8的平方根是-2 B.-2的立方根是-8 C.-8的立方根是-2 D.-2的平方根是-8 2.在下列实数中：4，号，，06， -2.010010001…(每两个1之间多一个0)其中无理数有 27 () A.1 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列结论正确的是() A.(-9=-9 B.-36的平方根是-6 C.若√a=a,则a=1 D.64的立方根是±4 4.x是（的平方根，y是-8的立方根，则x+y的值为(） A.1或-5 B.-5 C.1 D.-1或5 5.如果2.37≈1.333,23.7≈2.872，那么23700约等于() A.28.72 B.0.2872 C.13.33 D.0.1333 二、填空题 6.9的平方根是 27的立方根是 ’-125 7.已知√a=9,则a-17的值是 8.已知2a-1的平方根是3,3a+2b+4的立方根是3，则a+b的算术平方根是 9.己知a的立方根是2，b是√15的整数部分，c是9的平方根，则a+b+c的算术平方根是 10.(1)已知V7≈2.646，则0.07≈；(2)已知0.3≈0.669，x≈6.69，则x≈ 三、解答题 11.求下列各式中x的值： (1)(x-1)2=4; (2)64(x+1)3=-125. 12.已知一个正数的两个平方根分别为2a-4和-3-a,b是√6的整数部分. (1)求a的值，并求这个正数； (2)求3a+3b的立方根， 13.已知2a-1的平方根为3,3a-b-1的立方根为2. (1)求3a-b的算术平方根； 10/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若c是√7的整数部分，求a+2b+5c的立方根. 14.如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8. B B D A 4-3-2-101234x A ① ② (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的面积及其边长： (3)把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与表示-2的点重合，那么点D在数轴上表示的数为 15.探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 0.0001 0.01 100 10000 a 0.01 100 (1)表格中x= y (2)从表格中探究a与√ā数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知10≈3.16，则V1000≈ ②已知√3.24=1.8，若√a=180,则a= (3)拓展：已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140= 16.【观察】 ①近+-1=1+(-1)=0： ②8+-8=2+(-2)=0： ③1000+-1000=10+(-10)=0； 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数α，b, 若a+b=0,则a+b= ，反之也成立 【应用】根据(2)中的结论，解答问题：(3)若2x-5+1-x=0,求2x+1的算术平方根， 11/11