精品解析：江西省抚州市高新技术产业开发区2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度下学期学生学业质量监测 七年级数学试卷 一、单选选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项定义、幂的乘方法则、单项式乘以单项式、完全平方公式逐一判断选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，A错误． 选项B：，B正确． 选项C：，C错误． 选项D：，D错误． 综上，正确选项为B． 2. “人文陕西，大美三秦”．陕西是中华文明的重要发祥地之一，拥有丰富的非物质文化遗产．下列陕西民间艺术图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 开车前行前面路口是红灯 B. 掷出一枚硬币，反面朝上 C. 明天会很冷 D. 任意画一个三角形，它的内角和为180° 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件．据此进行解答即可． 【详解】解：∵选项A：开车前行到路口遇到红灯，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； 选项B：掷出一枚硬币反面朝上，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； 选项C：明天会很冷，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； 选项D：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都是，是一定会发生的事件，属于必然事件． 4. 如图，将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据和得出的度数，再由平行线的性质求出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图， ， ， ， ∵， ， ． 5. 如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：C.． 6. 如图所示，，，，以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； 由证明，得出，得出①②正确；由证明，得出对应边相等③正确；由证明，得出④正确，根据题干条件无法得出⑤，故错误． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确； ∴，， ∴，即，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 题干中并未给出点N是的中点，因此无法推出，故⑤错误； 综上所述：正确的结论个数有4个； 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000037m，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值小于1时，为负整数，的绝对值与原数小数点移动的位数相同，据此确定和的值即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 8. 如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，根据题意要求用“”判定，则需添加两个角相等的条件，或者添加即可． 【详解】，，根据题意要用“”判定， 若添加一个条件是则， 在和中， ， ， 若添加一个条件是， ， 故答案为或． 9. 若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a，b的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：∵，且， 解得：， 设三角形的第三边为， 当时，，不能构成三角形， 当时，，能构成三角形； 此时，三角形的周长， 综上，该等腰三角形的周长是14． 10. 甲、乙两人匀速骑行，从地出发前往地．两人与地的距离与骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据题意和函数图象中的数据求出两人的速度，从而可以求当时甲、乙两人相距的路程． 【详解】解：甲的速度为：， 乙的速度为：， 当时，甲、乙两人相距：， 故答案为：． 11. 如图，将一张长方形纸带沿折叠，将点、分别折至、，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先由折叠的性质得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由折叠得， ，， ，  四边形是长方形，  ， ， ． 12. 一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时_______． 【答案】75或120或165 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，解题的关键在于数形结合，分类讨论．分情况讨论：当时，当时，当时，结合图形，根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：如图，当时， 此时与重合， ∴； 如图，当时，      ∴； 如图，当时，       ∴， ∵， ∴； 综上，或或． 故答案为：75或120或165． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算和证明： （1）； （2）如图，点在边上，，，．求证：． 【答案】（1） （2）证明：， ， 则， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可求解； （2）先由题中条件得到，再由两个三角形全等的判定与性质求证即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据整式的运算法则化简，再根据，计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 15. 如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定和性质解答． 根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出，利用平行线的性质解答即可． 【详解】证明：，为边的中点， ， ， ∴， ∴，， ， ， ． 16. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作的垂直平分线； （2）在图2中作的重心． 【答案】（1）如图所示，的垂直平分线即为所求： （2）如图所示，的重心O即为所求： 【解析】 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）分别作出的边的中点，连接交于点O，则点O为的重心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是“平衡多项式”，的值是平衡因子． （1）根据“平衡多项式”的定义，试判断：，，_________（是或不是）平衡多项式； （2）已知，，是“平衡多项式”，求平衡因子． 【答案】（1）是； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据“平衡多项式”的定义并且结合完全平方公式和多项式乘多项式的计算法则，计算的结果是否为常数； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算，求得结果为，再利用“平衡多项式”的定义即可知的系数需为常数，即可求解的值． 【小问1详解】 解：根据“平衡多项式”的定义，三个多项式对应，，，需计算的值是否为常数， ，， ， ，，是“平衡多项式”； 【小问2详解】 解：，，是“平衡多项式”， ， 整理得， ， 因为结果是常数，所以含项的系数为； ， ， ， 平衡因子． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某超市叠放的购物车如图所示，小敏尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小敏测得的一些数据： 购物车数量/辆 2 3 4 5 6 车身总长 1.2 1.4 1.6 1.8 2 根据表格，回答下列问题： （1）如表中自变量是_____________，因变量是____________． （2）一辆购物车的车身长为__________． （3）请直接写出与之间的关系式，并求出叠放10辆购物车时车身的总长． 【答案】（1）购物车数量，车身总长； （2）1； （3），． 【解析】 【分析】本题主要考查了列出函数关系式，求函数值，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义求解即可； （2）直接观察表格，即可求解； （3）根据（2）中的结论，可得车身总长与购物车辆数之间函数的关系式，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 根据题意得，如表中自变量是购物车数量，因变量是车身总长； 【小问2详解】 解：根据题意得：随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加； ∴一辆购物车的车身长为； 【小问3详解】 解：∵购物车数量每增加1辆，车身总长增加，1辆车身长为， ∴ 当时， ∴与之间的关系式为，叠放10辆购物车时车身的总长为． 19. 我市中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）． 根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）________，________． （2）补全上图中的条形统计图． （3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球． （4）在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从这10名女生中，选取1名参加全市中学生女子羽毛球比赛，求选中小红或小燕的概率． 【答案】（1）100；5 （2）见解析 （3）400 （4） 【解析】 【分析】（1）利用篮球人数除以对应占比可得到的值；用排球人数除以总人数再乘以求出的值； （2）求出足球的人数，补全条形图即可； （3）利用“样本估计总体”方法进行求解即可； （4）利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由条形图和扇形图可知：篮球人数为30且占比， 则（名）， 由于排球有5人， 则排球的占比为，即； 【小问2详解】 解：足球的人数为：（名）， 补全条形图如下； 【小问3详解】 解：（名）， 答：该校约有400名学生喜爱打乒乓球； 【小问4详解】 解：从10名女生中任选1名，共有10种等可能选取结果，其中选中小红或小燕有2种结果， 则选中小红或小燕的概率为． 20. 完成以下问题 （1）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； （2）【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； （3）【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可； （2）根据角平分线的性质，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； （3）确定O为三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【小问1详解】 解：∵是的角平分线，，， ∴； 【小问2详解】 解：作，，垂足分别为和， ∵是的角平分线， ∴． 设， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； 【小问3详解】 解：作，，垂足分别为和，连接， ∵、分别平分和，， ∴，． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是13，即， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用图中大正方形的面积写出完全平方公式； （2）号纸片的数量展开后的系数； （3）①由即可求解的值； ②采用换元法，令，则，，由，计算出的值，即的值． 【小问1详解】 解：由图中大正方形的面积可得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴需要3张号纸片； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②令，则，， ∵， ∴， ∴，即． 22. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秩》节目中的机器人名为H1，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】图①是H1练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【问题解决】 （1）解：如图②，过点作，过点作，则． ∵，， ∴， ∵，， ∴（_________）， ∴（_________）． ∵， ∴ ， 所以； 【迁移应用】 （2）如图③，在一款手推车的平面示意图中．写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （3）如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；； （2）， 理由如下：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ ． 六、（本大题共12分） 23. 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 （2）如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1），SAS，AD， （2）见解析 （3）12.5 【解析】 【分析】(1) 观察图形可知，结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形的对应角相等，再通过进一步推导可以求出； (2) 首先结合第 (1) 问的图形结构证明 ，然后利用全等的性质和已知条件确定 的度数，进而证明即可； (3) 依据前 2 问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解． 【小问1详解】 解：如图1，设，交于点． ， 为等边三角形， ，，， ，即 ， ， ，， 又， ； 【小问2详解】 证明： 线段绕点 逆时针旋转 得到， ，， ． 为等边三角形， ，， ，即 ． 在 和 中， ， ． 三点共线，， ， ， ， ，即平分； 【小问3详解】 解：答案12.5．理由： 如图 2，延长到，使 ． ，， 在四边形中， ． ， ． 在 和 中， ． ，， ， ． ，， ． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形（等边三角形）的性质．能够在探究的过程中掌握基本图形的结构并加以应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期学生学业质量监测 七年级数学试卷 一、单选选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “人文陕西，大美三秦”．陕西是中华文明的重要发祥地之一，拥有丰富的非物质文化遗产．下列陕西民间艺术图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 开车前行前面路口是红灯 B. 掷出一枚硬币，反面朝上 C. 明天会很冷 D. 任意画一个三角形，它的内角和为180° 4. 如图，将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，的垂直平分线交于D，连接，交的垂直平分线于点F，则的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，，，，以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为0.000037m，用科学记数法表示为______． 8. 如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是_____． 9. 若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是______． 10. 甲、乙两人匀速骑行，从地出发前往地．两人与地的距离与骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距_____． 11. 如图，将一张长方形纸带沿折叠，将点、分别折至、，若，则的度数为______． 12. 一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算和证明： （1）； （2）如图，点在边上，，，．求证：． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 16. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作的垂直平分线； （2）在图2中作的重心． 17. 爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是“平衡多项式”，的值是平衡因子． （1）根据“平衡多项式”的定义，试判断：，，_________（是或不是）平衡多项式； （2）已知，，是“平衡多项式”，求平衡因子． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某超市叠放的购物车如图所示，小敏尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小敏测得的一些数据： 购物车数量/辆 2 3 4 5 6 车身总长 1.2 1.4 1.6 1.8 2 根据表格，回答下列问题： （1）如表中自变量是_____________，因变量是____________． （2）一辆购物车的车身长为__________． （3）请直接写出与之间的关系式，并求出叠放10辆购物车时车身的总长． 19. 我市中学准备开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）． 根据以上统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）________，________． （2）补全上图中的条形统计图． （3）若全校共有2000名学生，请求出该校约有多少名学生喜爱打乒乓球． （4）在抽查的m名学生中，有小薇、小燕、小红、小梅等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从这10名女生中，选取1名参加全市中学生女子羽毛球比赛，求选中小红或小燕的概率． 20. 完成以下问题 （1）【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； （2）【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； （3）【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （2）若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 22. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秩》节目中的机器人名为H1，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】图①是H1练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【问题解决】 （1）解：如图②，过点作，过点作，则． ∵，， ∴， ∵，， ∴（_________）， ∴（_________）． ∵， ∴ ， 所以； 【迁移应用】 （2）如图③，在一款手推车的平面示意图中．写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （3）如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 六、（本大题共12分） 23. 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 （1）如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 （2）如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； （3）如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $