精品解析：河南省省直辖县级行政单位济源市2025--2026学年八年级数学下学期期末试卷

2025—2026学年下期期末学业质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号、考场号和座号．用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠、考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列根式是最简二次根式的是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的识别，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，根据定义判断即可. 【详解】解： A选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项， ，被开方数含分母，不是最简二次根式； C选项，，13是质数，无平方因数，是最简二次根式． 故选：C． 2. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 1，2， B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，6， 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用勾股定理的逆定理，先确定每组的最大边，再验证两条较小边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否组成直角三角形。 【详解】解： A ：三边为，最大边为，∵，∴能组成直角三角形，不符合题意； B ：三边为，最大边为，∵，，，∴，不能组成直角三角形，符合题意； C ：三边为，最大边为，∵，∴能组成直角三角形，不符合题意； D ：三边为，最大边为，∵，，∴，能组成直角三角形，不符合题意； 3. 下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（ ） A. 铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C. 圆的面积随半径的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A，由质量公式，得，符合正比例函数定义，符合题意； 选项B，矩形周长为，可得，整理得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项C，由圆的面积公式得，不符合正比例函数定义，不符合题意； 选项D，设单位路程耗油量为常数，可得，不符合正比例函数定义，不符合题意． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，错误． B．，正确． C．，错误． D．，错误． 5. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况如图所示，以下对各队队员的身高特点分析正确的是（ ） A. 最高的队员在甲队，最矮的队员在乙队 B. 丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小 C. 丁队队员的身高差距最小，身高较为集中 D. 丙队队员的身高差距最大，身高较为分散 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了箱线图，关键是读懂箱线图进行解答．根据箱线图、中位数分析即可得到答案． 【详解】解：A.最高的队员在甲队，最矮的队员在丁队，故原说法错误，本选项不符合题意； B.丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小，原说法正确，符合题意； C.乙队队员的身高差距最小，身高较为集中，故原说法错误，本选项不符合题意； D.丁队队员的身高差距最大，身高较为分散，故原说法错误，本选项不符合题意． 故选：B． 7. 小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示．从下列条件： ①；②；③；④平分中，选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形可知，由矩形变形到正方形所需要的条件，根据矩形的性质以及正方形的判定判断即可作答． 【详解】由图可知： 平行四边形中，当时，平行四边形为矩形， 平行四边形中，当，且时，平行四边形为正方形， 即：在矩形中，如果①或者③或者④平分时， 矩形为正方形， ∴所有正确选项的序号是①③④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定与性质，菱形的性质等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． 8. 如图，在点，，，中，一次函数的图象可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 ， 确定图象经过的象限以及与  轴的交点，结合各点坐标特征进行判断即可． 【详解】解：  一次函数  中 ，，   随的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，故排除A和C； ∵图象与  轴交于点 ，   当  时，；当  时，，故B符合题意，D不符合题意． 9. 如图，在四边形中，，，点是的中点，点是的中点，点在上，，与交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用三角形中位线定理证明且，结合已知条件证明四边形是平行四边形，从而得到，再利用直角三角形斜边中线定理求出的长即可． 【详解】解：连接， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ，， ，点在上， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，点是的中点， ， ， ， ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形的面积平分，则m的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D是的中点，从而求出D点坐标为，再由当直线经过点D时，可将矩形的面积平分，进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于点D， ∵当时， ∴点C的坐标为， ∵， ∴A点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴D是的中点， ∴D点坐标为， 当直线平移后经过点D时，可将矩形的面积平分， 由题意得平移后的直线解析式为， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，已知，两点在直线上，则与大小关系是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标和的大小． 【详解】解：对于直线 ，一次项系数 ， ∴随的增大而增大， ∵，，两点横坐标满足， ∴． 13. 某校组织八年级学生针对“综合素质评价”中的“运动与健康”这一维度，进行了本学期的户外运动测试，测试有跑步、立定跳远、原地掷实心球、抛绣球四项，每项满分均为分，在综合成绩中的占比如下表，小悦同学这四项的得分分别为分，分，分，分．则小悦这四项测试的综合成绩为________分． 项目 跑步 立定跳远 原地掷实心球 抛绣球 所占比例 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：（分）， 小悦这四项测试的综合成绩为分． 14. 数学文化中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形．若图（1）中大正方形的周长为，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查“赵爽弦图”，等积图形变换，勾股定理，图形的拼接，设，根据图（1）中间小正方形的与图（2）中小正方形的边长相等，得到，由图（1）中大正方形的周长为 ，则可求出长，利用勾股定理即可求出长度，则题目可解． 【详解】解：如图（2），设， 则图（1）中间小正方形的边长为，图（2）中小正方形的边长为a， ∴，即． ∵ 图（1）中大正方形的周长为， ∴大正方形的边长 由勾股定理可得 即， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，先证，由此得当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，再证四边形是矩形，且，根据勾股定理的，进而求得的最小值． 【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直， 和为直角三角形，且分别为斜边， ， ， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 在中，， ， 的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键． 三、解答题（共8道题，第16题共10分每小题5分，第17、18、19、20、21题每题9分，第22、23题每题10分，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为了更好地贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》以及教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》，更加扎实有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如图统计分析： 收集数据 七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数） 整理数据 将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩）A组：，B组：，C组：，D组：．其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组，B组的数据为：72，73，74，74，74，74，74，76，78；八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为：87，88，88，88，89，89，89，89 描述数据 根据统计数据，绘制成如图统计图： 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 74 八年级 （1）_________； （2）你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由（写出一条理由即可）． （3）七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分，成绩分别为：65，69，70，74，78．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 第二种 第一组人，第二组人 22 为了达到“组内离差平方和最小”，请你计算并做出选择．_________，选第_________种分法． 【答案】（1） （2）解：八年级的比赛成绩总体较好，理由如下； 虽然在平均分上八年级的比赛成绩略低于七年级，但八年级的中位数大幅高于七年级，说明八年级有一半成绩在分以上，而七年级低分段的学生较多；或者八年级的众数也远高于七年级，反映八年级大多数学生成绩集中在较高水平；或者另外八年级的方差更小，成绩更稳定（写出一条理由即可）． （3）；二 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可； （2）可以从四个维度进行评价（写出一条理由即可）； （3）离差平方和是指每个数据与平均数之差的平方之和，根据定义计算出，与作比较后，得出结论． 【小问1详解】 解：七年级的成绩中，B组占比为， ∴C组占比为， 由条形统计图和八年级C组的数据可知，八年级学生的比赛成绩的第11名与第10名的成绩对应C组的分与分， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ∴， ∵， ∴应该选第二种分法． 18. 梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． （1）求的长； （2）当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理列式代入数值进行计算，即可作答． （2）先理解题意得，，再算出，再结合线段的和差关系列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ， ∴在中，； 【小问2详解】 解：在中，，， ， ． 19. 五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空．其中，1号无人机从地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停止上升开始表演．在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x（单位：秒）．1号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米），2号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米）．记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 7 12 y1/米 0 6 12 18 24 42 72 y2/米 12 16 20 24 28 40 60 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米； 当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； ②求与的函数解析式； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 【答案】（1）用描点法画出y1与x的函数图象如图所示： （2）①30，10；②；③4或8 【解析】 【分析】（1）描点并连线即可； （2）①根据路程等于速度乘时间分别写出y1与x，y2与x之间的函数关系式，当时，求出对应y1的值，当时，求出对应x的值即可； ②利用待定系数法求解即可； ③当时，列关于x的绝对值方程并求解即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：①1号无人机上升速度为6米/秒，则y1与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为30米； 2号无人机上升速度为4米/秒，则y2与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∴当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为10秒； ②； ③当时，得， 解得或， ∴当1号，2号两架无人机上升4秒或8秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 20. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数（件） 1200 1000 每台价格（万元） 6 4 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于10500件． （1）设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y与x之间的关系式； （2）购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）y＝2x＋40；（2）购买3台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用为46万元. 【解析】 【分析】（1）根据总费用＝甲种型号机器人的费用＋乙种型号机器人的费用，求出y与x的关系式即可； （2）根据这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于10500件，列出不等式，求得x的取值范围，再利用（1）中函数，求出y的最小值即可． 【详解】解：（1）y与x之间的函数关系式为：y＝6x＋4（10−x）＝2x＋40； （2）由题可得：1200x＋1000（10−x）≥10500， 解得x≥2.5， ∵y＝2x＋40中2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y取得最小值， ∴y最小＝2×3＋40＝46（万元）， ∴购买3台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少，最少费用为46万元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解决此题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 21. 已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接，． 四边形为所求的菱形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）请说明四边形是菱形； （3）若，，则菱形的面积为        ． 【答案】（1） （2）证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又∵， ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可； （3）根据菱形的性质得，由勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 22. 【阅读理解】对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． （1）【初步探究】如图，函数的图象经过点； ①求函数的解析式； ②求该函数的“关联函数”的解析式； （2）【深入思考】在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与函数的“关联函数”的图象有交点，求的取值范围． 【答案】（1）① ② （2） 【解析】 【分析】（1）①将点代入可得答案；②根据“关联函数”的定义解答即可； （2）先确定函数在向上平移m个单位后解析式为，再得出它的“关联函数”为，然后根据两个函数有交点，即方程在范围有解，接下来求出方程的解，进而得出不等式组，最后求出解集判断答案即可． 【小问1详解】 解：①∵函数经过点， ∴， ∴函数关系式为； ②∵根据“关联函数”的定义两个函数的函数值之和为2，设关联函数为，根据题意，得 ， ∴， 所以“关联函数”的解析式为； 【小问2详解】 解：函数在向上平移m个单位后解析式为， 它的“关联函数”为． ∵两个函数有交点，即方程在范围有解， 解方程， 得， ∴， 解不等式，得； 解不等式，得， ∴m的取值范围是． 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积总有一个稳定不变的数量关系，即 ． 【深入探究】 在对（1）的实验与探究中，小新学习小组发现，正方形绕点转动的过程中，不仅两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积有一个稳定不变的数量关系，而且线段，，之间也一直存在某种数量关系．于是，小新学习小组对图1进一步探究． 小新说，我通过，将转化成，通过，将转化为，由正方形的性质得，根据勾股定理可推导出，，之间的数量关系是． 小红说，我有更简便的方法，我延长与交于点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系是． …… （2）【类比迁移】如图2，矩形对角线的交点是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； （3）【拓展应用】如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2）结论：， 证明：如图，延长交于，连接， ∵是矩形的中心， ∴点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，推出即可； （2）延长交于，连接，可证得，得出，，再由线段垂直平分线的性质可得，再运用勾股定理即可得出答案； （3）设，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积 ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， 当点在线段上时，连接， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为； 当点在延长线上时，作，交的延长线于，连接、， 同理可得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴此时线段的长度为， 综上所述，线段的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下期期末学业质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，在答题卷规定的位置写上学校、班级、姓名、准考证号、考场号和座号．用0.5mm黑色水笔作答，不能使用蓝色水笔，必须在答题卷的对应答题位置上答题，写在其它地方无效； 3．填涂时用2B铅笔将选项填满涂黑，修改时用橡皮擦干净； 4．保持答题卷整洁、不折叠、考试结束后，只交答题卷． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列根式是最简二次根式的是（      ） A. B. C. D. 2. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 1，2， B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，6， 3. 下列变量之间的关系，属于正比例函数关系的是（ ） A. 铁的密度为，铁块的质量随它的体积的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长随它邻边的变化而变化 C. 圆的面积随半径的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量随行驶路程的变化而变化 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况如图所示，以下对各队队员的身高特点分析正确的是（ ） A. 最高的队员在甲队，最矮的队员在乙队 B. 丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小 C. 丁队队员的身高差距最小，身高较为集中 D. 丙队队员的身高差距最大，身高较为分散 7. 小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示．从下列条件： ①；②；③；④平分中，选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 8. 如图，在点，，，中，一次函数的图象可能经过的点是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，点是的中点，点是的中点，点在上，，与交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形的面积平分，则m的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 在平面直角坐标系中，已知，两点在直线上，则与大小关系是________． 13. 某校组织八年级学生针对“综合素质评价”中的“运动与健康”这一维度，进行了本学期的户外运动测试，测试有跑步、立定跳远、原地掷实心球、抛绣球四项，每项满分均为分，在综合成绩中的占比如下表，小悦同学这四项的得分分别为分，分，分，分．则小悦这四项测试的综合成绩为________分． 项目 跑步 立定跳远 原地掷实心球 抛绣球 所占比例 14. 数学文化中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了如图（1）所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图（2）所示的矩形．若图（1）中大正方形的周长为，则的长为___________． 15. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________． 三、解答题（共8道题，第16题共10分每小题5分，第17、18、19、20、21题每题9分，第22、23题每题10分，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为了更好地贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》以及教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》，更加扎实有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某校组织七、八年级学生开展劳动技能知识比赛．为了解活动效果，从两个年级随机抽取部分学生成绩，进行如图统计分析： 收集数据 七年级共400人，八年级共500人，每个年级分别随机抽取20名学生的比赛成绩（满分100分，成绩均为整数） 整理数据 将抽取的学生比赛成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩）A组：，B组：，C组：，D组：．其中七年级20名学生的比赛成绩众数出现在B组，B组的数据为：72，73，74，74，74，74，74，76，78；八年级20名学生的比赛成绩中C组的数据为：87，88，88，88，89，89，89，89 描述数据 根据统计数据，绘制成如图统计图： 分析数据： 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 74 八年级 （1）_________； （2）你认为哪个年级劳动技能比赛的总体成绩较好，说明理由（写出一条理由即可）． （3）七（1）班“乐学”小组五位组员在本次比赛中均未达到80分，成绩分别为：65，69，70，74，78．他们决定分成两人组或三人组合作学习，如表． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 第一组人，第二组人 第二种 第一组人，第二组人 22 为了达到“组内离差平方和最小”，请你计算并做出选择．_________，选第_________种分法． 18. 梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点，滑块距点． （1）求的长； （2）当滑块向下滑至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少？ 19. 五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空．其中，1号无人机从地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停止上升开始表演．在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x（单位：秒）．1号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米），2号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米）．记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 7 12 y1/米 0 6 12 18 24 42 72 y2/米 12 16 20 24 28 40 60 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米； 当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； ②求与的函数解析式； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 20. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数（件） 1200 1000 每台价格（万元） 6 4 该公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递件数总和不少于10500件． （1）设购买甲种型号的机器人x台，购买这10台机器人所花的费用为y万元，求y与x之间的关系式； （2）购买几台甲种型号的机器人，能使购买这10台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 21. 已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接，． 四边形为所求的菱形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）请说明四边形是菱形； （3）若，，则菱形的面积为        ． 22. 【阅读理解】对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． （1）【初步探究】如图，函数的图象经过点； ①求函数的解析式； ②求该函数的“关联函数”的解析式； （2）【深入思考】在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与函数的“关联函数”的图象有交点，求的取值范围． 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积总有一个稳定不变的数量关系，即 ． 【深入探究】 在对（1）的实验与探究中，小新学习小组发现，正方形绕点转动的过程中，不仅两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积有一个稳定不变的数量关系，而且线段，，之间也一直存在某种数量关系．于是，小新学习小组对图1进一步探究． 小新说，我通过，将转化成，通过，将转化为，由正方形的性质得，根据勾股定理可推导出，，之间的数量关系是． 小红说，我有更简便的方法，我延长与交于点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系是． …… （2）【类比迁移】如图2，矩形对角线的交点是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明； （3）【拓展应用】如图3，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $