25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&专题三 根与系数的关系的运用（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

25.2.4一元二次方 基础过关 >逐点击破 知识点1直接利用根与系数的关系求两根之和 与两根之积 1.(广西中考)已知x1,x2是方程x2一20x一25=0 的两个实数根，则x1十x2的值为() A.-25 B.-20 C.20 D.25 2.若a,3是一元二次方程2x2-3x一4=0的两 个根，则α3的值是 ) A-号R是 C.-2 D.2 3.(湖北模拟)一元二次方程x2一2x一5=0 的两个实数根为x1,x2,下列结论正确的 是 ( A.x1十x2=-2 B.x1+x2=-5 C.x1x2=2 D.x1x2=-5 4.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下 列方程两个根x1,x2的和与积： (1)x2-4x+1=0: (2)-3x2-2x+6=0: (3)2x2-10=x2-8x. 程的根与系数的关系 知识点2利用根与系数的关系求方程的解、 待定字母及相关代数式的值 5.如果关于x的一元二次方程x2十x十q=0 的两个根分别是3，一6，那么p,q的值分别 为 A.p=3,q=-18 B.p=3,g=18 C.p=-3,q=-18D.p=-3,q=18 6.若关于x的一元二次方程x2十2x十1一2m=0 的两个实数根之积是负数，则实数m的取值 范围是 7.已知关于x的方程x2十mx一20=0的一个 根是一4，则它的另一个根是 8.(眉山中考)已知方程x2-2x一5=0的两根 分别为x1,x2,则(x1十1)(x2十1)的值为 !易错点已知根与系数的关系求字母参 数的值时，忽视△≥0而致错 9.过程纠错新趋势已知关于x的一元二次方 程x2一(2m一1)x十m2=0的两根为a,b,且 a十b=ab-4,求m的值， 佳佳的解题过程如下： 解：由根与系数的关系，得 a+b=2m-1,ab=m2. .a+b=ab-4, .∴.2m-1=m2-4, 解得m1=-1,m2=3. 佳佳的解题过程未考虑哪个条件？请写出 正确的解题过程. 第二十五章一元二次方程14 口能力提升 ··整合运用 10.(河北中考)若一元二次方程x(x十2)一3=0 的两根之和与两根之积分别为m,n,则点 (m,n)在平面直角坐标系中位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二 次方程时，小影在化简过程中写错了常数 项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬 在化简过程中写错了一次项的系数，因而 得到方程的两个根是一2和一5.原来的方 程是 () A.x2+6.x+5=0B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6.x-10=0 12.若菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别 为关于x的一元二次方程2.x2一11x m=0的两个根，且S菱形ABCD=3,则m的值 为 A.4 B.8 C.-12 D.-24 13.整体思想新理念（成都一模）若a,b是方程 x2+2025.x一2026=0的两个实数根，则 a2+2026a+b-ab的值为 14.（易错题)关于x的一元二次方程x2 (a2一2a)x十a一1=0的两个实数根互为相 反数，求a的值 15数学九年级上册配R版 【思维拓展 ◆··强化素养 15.类比探究新趋势阅读材料： 已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2 n-1=0,且m≠n,则m,n是方程x2一x 1=0的两个不相等的实数根，由根与系数 的关系可知m十n=1,mn=一1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)直接应用： 已知实数a,b满足a2一7a十1=0，b- 7b十1=0，且a≠b,则a十b的值为， ab的值为 ； (2)间接应用： 在的条件下.求六方的位： (3)拓展应用： 已知实数m,n满足1十1=7，n m十m =7,且m子一1，求十心的值。 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·热点】 (新课标、教材将一元二次方程根与系数的关系的选学标识删除) 类型1已知一根，求另一根或待定字母的值类型3求方程中待定字母的值或取值范围 1.关于x的一元二次方程2x2十kx一4=0的5.已知关于x的一元二次方程x2-6x十2m十 一个根x1=一2，则方程的另一个根x2和k 1=0有实数根， 的值分别为 (1)求m的取值范围； A.x2=1,k=2 B.x2=2,k=2 (2)如果方程的两个实数根分别为x1,x2,且 D.x2=2,k=-1 2x1x2十x1十x2≥20，求m的取值范围. C.x2=1,k=-1 2.(苏州中考)已知x1,x2是关于x的一元二 次方程x2+2x一m=0的两个实数根，其中 x1=1,则x2的值为 类型2求与两根有关的对称代数式的值 名师点拨：一元二次方程的两根分别为1，x2,在运 用根与系数的关系解题时，常见的恒等变形有： L+1=十，xg十ix,=1(0十)， 6.（周口期末)已知关于x的一元二次方程x2一 x斤+x号=(x1十x2)2-2x1x2, (2k十1)x十k+2k=0有两个实数根1，x2. (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, (1)求实数的取值范围； (2)若x+x2=11,求k的值. x1-x2|=(x十x2)2-4.xx2: 3.(乐山中考)若方程x2一x一2=0的两个根 是x1和x2,则xx2十x1x的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2 4.(教材P18习题T11变式)已知1,2是方程 5.x2十x一5=0的两个根，求下列各式的值： (1)x1x2一x1-x2= (2)1+1 (3)(x1-2)(x2-2)= (4)2+西= T1 I2 (5)|x1-x2|= 【变式题】与根的定义结合降次构造对称式 易错总结：利用根与系数的关系解决方程ax2十bx十 若m,n是一元二次方程x2+3.x一9=0的两 c二0相关问题时，需注意使用的前提是a≠0，A≥0， 个根，则m2+4m十n的值是， 提示 请完成阶段微测试（一）汇25.1~25.2] 第二十五章一元二次方程1625.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础过关 2.C3.D4.解：(1)十x=二（-4)=4，x1=1,(2)z1十x三 八2 6 xm=3=-2.(3)方程化为x2十8x-10=0m十x2=-8,x1x=-10. 5.A6m>号7.58-29.解：佳佳的解题过程末考虑△≥0这个条件.正确的 解题过程如下：根据题意，得△=[一(2m-1)]-4m2≥0，解得m≤子.由根与系数的 关系，得a十b=2m-1,ab=m2,,a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2= 3.m≤心m=-1. 能力提升 10.C11.B12.C13.202714.解：，方程x2十(a-2a)x十a一1=0的两个实数 根互为相反数，.x1十x2=-a2十2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2 1=0,符合题意；当a=2时，原方程为x2十1=0，方程无实数根，舍去，∴a=0. 思维拓展 15.解：(1)71 0右 =3.(3)令=a,-n=6,则d2+a-7=0,+b-7=0.:m≠-1. :元≠一n,即a≠k.“a,b是方程r十x一7=0的两个不相等的实数根.∴a士b正 a6=-.+n=d+=(a+b-2a=(-1-2X(-0=15. 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·热点】 1.A2.-33.C41)-号(2)片(3)号（④）-}(6)@【变式题 25 5 5.解：(1)由题意，得△=(-6)2-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)由根与系数的关系，得 1十x2=6,x12=2m十1.：2x1x2十x1十x2≥20，.2(2m十1)十6≥20，解得m≥3. :m≤4，.3≤m≤4.6.解：(1)：方程有两个实数根，∴△=[-(2k十1)]-4×1× (:十2)≥0.4十4k十1-4状一8≥0.-4k十1≥0.解得≤子(2)由根与系数 的关系，得x1十x2=2k十1，x1x2=k2十2k.:x1十x号=(x1十x2)2-2x1x2=11, (2k十1)2-2(k2+2k)=11.整理，得2k2十1=11，.k2=5.解得k1=√5，k2=-√5. :≤子=后 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 基础过关 1.A2.43.解：设这个矩形菜园垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32一2x)= 120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，32一2x=20>18,不合题意，舍去：当x=10时，32 -2x=12<18,符合题意..x=10.答：这个矩形菜园垂直于墙的边长为10m.4.C 5.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9.解得x1=0.5, x2=8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m.6.2 能力提升 7.C8.29.√5-110.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为 (80-x)cm根据题意得（学）十(0)=20.解得==40.要使这两个正 方形的面积之和为200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为 yem,则另一段绳长为(80-m根据题意，得（宁）+(0)=8，解得 一8（不符合题意，舍去），y2=88(不符合题意，舍去).∴这两个正方形的面积之和不可 能为488cm. 思维拓展 11.解：，四边形ABCD为矩形，∴.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN CM-BC-BM-8-2t,DN-CD-CN-6-1SAAMNxA8X6- 合×6×21-号×(8-24)×1-7×8X(6-)=号×8×6.整理，得-6t+8=0.解 得有=2，=4.当=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的3 -52 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 基础过关 1.D2.63.解：设每个人一节课教会了x名同学.根据题意，得1十x十x(1十x)= 49.解得x1=6,x2=一8（不符合题意，舍去）.答：每个人一节课教会了6名同学，4.C 5.20%6.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x,根据题意，得1200(1一x) =972.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年 平均下降率为10%. 能力提升 7.C8.69.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200× (1-20%)(1十x)=193.6.解得1=0.1=10%，x2=-2.1(不符合题意，舍去).答： 11,12这两个月销售额的月平均增长率为10%.10.解：(1)根据题意，得1十x十x2= 111.解得x1=10,x2=一11（不符合题意，舍去）.∴.x的值为10.(2)经过三轮转发之 后，参与人数为1十10十100十1000=1111（人），四轮转发之后，参与人数为1十10十 100十1000+10000=11111（人）.：11111>10000，.再经过两轮转发后，参与人数 会超过10000人. 思维拓展 11,解：(1)10000(1+2x)10000(1+x)2(2)根据题意，得10000(1十x)2-10000 (1十2x)=25.解得x1=0.05=5%,x2=-0.05(不符合题意，舍去).答：该理财产品的 年利率为5%， 第3课时循环、数字与销售问题 基础过关 1.C【变式题】112.解：设全班有x名学生，根据题意，得x(x-1)=1640.解得 x1=41,x2=-40(不符合题意，舍去).答：全班有41名学生，3.B4.325.解：设 这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x十1).根据题意，得x(x十1)=72.解得 x1=8,x2=一9（不符合题意，舍去）.答：这个两位数为98.6.137.解：(1)400 8000(2)设每件文创商品应降价x元.根据题意，得(80-50-x)(200十20x)= 7500.解得x1=5,x2=15..商店要减少库存，降价越多，销售量越大，库存越少， .x=15.答：每件文创商品应降价15元. 能力提升 8.C9.3610.解：(1)设参加聚会的人数为x.根据题意，得2x(x-1)=28.解得 x1=8,x2=-7(不符合题意，舍去).答：参加聚会的人数为8.(2)根据题意，得 (m+2)(m十1)=21.解得m=5,m=-8(不符合题意，舍去).∴m的值为5.(3)根 1 据题意，得2n-3)十9=2(m十1D(m十1-3).解得n=10.∴边数n的值为10. 思维拓展 11,解：（任务1）设从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为 x.根据题意，得1500(1十x)2=2160.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍 去).答：从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率为20%.（任 务2)设下调后每人的用费为y元，根据短意：得(30十909。产)=3200.解得1二 400,y2=800.y≥750，∴.y=800.答：下调后每人的团费为800元. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.:AC=AB·BC,.a=1-a,解 得a=5a=有（不符合题意，含去.∴AC=5.(2)设AC=则BC=: 2 -2.∴.AB=AC十BC=2x-2.,AC=AB·BC,∴x2=(2x-2)(x-2).解得x1=3 十√5，x2=3-√5（不符合题意，舍去）.∴.AB=2x-2=4十25.3.解：【实践操作】 ,1【实践探索】：二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，“千斤”下面一截 2 琴弦长为80×5,1=405-40(cm. 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1解：)r-x+1-(-号)+子>0，a+6叶c=0.(2a+b+c=0b=-a -c..ax2-bx十c=0可化为ax2十(a十c)x十c=0..A=(a十c)2-4ac=(a-c)2>0. x=二a法0n=台=-1.2解将a20+c代入2+名=号 2a 2 得方千十+方=心2c十(2b十c)c=(26+c)6.化简，得2b-36c一c2=0.把c看作常 数，利用求根公式进行计算，得6=3±四.：b>c>0,b=3士亚。.a= 53 5士亚。.a:6:c=5十厘：3士应：1，答案不唯一，取满足这个比例式的正数 2 4 值即可，如：a=10十2√17，b=3十√17，c=4, 第二十五章章末复习 思维导图 一 整式2不相等相等无一bC aa 考点整合 1.B2.C3.x2-3x=0(答案不唯一)4.45.A6.D7.解：(1)整理，得(x-2)2 =24.由此可得x-2=士2√6，x-2=2√6，或x-2=-2V6,即x1=2+2√6，x2= 2-2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)十2(x一2)=0.左边分解因式，得(x-2)(x十1十2) =0.于是x-2=0,或x十3=0，即x1=2,x2=-3.(3)方程化为2x2十2√2x十1=0，此 时a=2,b=2√2，c=1,∴.△=b2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0.方程有两个相等的实数 根1==一名 三6=_22=，一号.8.C9.一110.解：(1)根据题意，得4= [-2(m十1)]2-4(m2十5)>0，解得m>2.(2)由根与系数的关系，得十x2= 2(m十1)，x1x2=m2+5.(x1-1)(x2-1)=7,x1x2-(x1十x2)十1=7，即m2+5- 2(m十1)十1=7，解得m1=3,m2=-1.由(1)知m>2,.m=3.(3):x1≠x2,∴.7是方 程的一个根.将x=7代入原方程，得49-14(m十1)十m2十5=0，解得m1=4,m2=10.当 m=4时，方程的另一个根为3，此时三边长分别为7,7,3，符合三边关系；当m=10时， 方程的另一个根为15，此时三边长分别为7,7,15，不能构成三角形，舍去.∴.这个三角 形的周长为7十7十3=17.11，B12.-2或113.解：(1)设该店11、12月份销量的 月增长率为x.根据题意，得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍 去).答：该店11、12月份销量的月增长率为20%.(2)设每箱的售价应定为m元.根据 题意，得(-60)[300+(100-m)×10]=12000.解得m1=100,m2=90.:要尽可能 让顾客得到优惠，.m=90.答：每箱的售价应定为90元. 聚焦课标 14.解：(1)①相等②1(2)设矩形花圃的一边AB的长为ym,则BC的长为(150-3y)m. :水池长70m,150-3y≤70，解得≥26号.根据题意，得y(150-3y)=180.解 得y=30,y2=20(不符合题意，舍去).答：矩形花圃的一边AB的长为30m. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 基础过关 1.B2.y=5x2-5x5-53.-24.A5.y=-2x2+8x6.y=-10x2+560x -735021x≤25.2 能力提升 7.C8.B9.y=60十60(1十x)十60(1十x)10.解：(1)由题意，得y=x[30-x-(x -2)]=-2x十32x.自变量x的取值范围是2<x<16.(2)由题意，得y=-2x2十32x =56,解得x1=2(不合题意，舍去)x2=14..x的值为14. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 基础过关 1.D2.A3.解：(1)如图所示 6 (2)开口向上，对称轴为y轴，顶点 -6-4-20246x -2 -4 -6 坐标为(0,0).(3)当x>2时，y>1.4.B5.D6.<【变式题】<7.解：(1)将(2， 一2)代入y=a2,得-2=4a,解得a=一合这个二次函数的解析式为y=一号. (2)这个二次函数的最大值为0.(3)当x<0时，函数值y随x的增大而增大.8.士4 能力提升 9.B10.2(答案不唯一)11.a>b>c>d12.解：(1)根据题意，得k十20，且k2十k 一4=2，解得k=一3.(2)由(1)，得k=一3，则y=x2..函数图象的顶点坐标为 (0,0),对称轴为y轴.(3)一1≤x≤2，-1<0，∴.当x=0时，y有最大值，最大值为 0:当x=2时，y有最小值，最小值为-2=-4.13.解：(1)1.8(2)由题意，得CE= 0.2m,则z=0.2-1.8=-16.令y=-1.6,则-号r=-1.6,解得x=士E.EF =√2-(-J2)=22(m) 54