25.2.3因式分解法（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

25.2.3因式分解法（教学设计）

1.教学内容

本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第二节《降次----解一元二次方程》，25.2.3因式分解法.核心内容：掌握因式分解法解一元二次方程的理论依据（若ab=0，则a=0或b=0）；学会用提公因式法、公式法（平方差、完全平方） 对一元二次方程左边因式分解；掌握因式分解法解方程的标准化步骤；能根据方程结构特点，对比直接开平方法、配方法、公式法，选择最简解法，体会解方程方法的灵活性.

2.内容解析

因式分解法是解一元二次方程最简便、最高效的特殊解法，是继直接开平方法、配方法、公式法后的第四种解法。本节课承接整式因式分解知识与一元二次方程通用解法，是初中解方程体系的重要补充，属于本章重点实操内容.前置知识为七年级整式因式分解、本章配方法与公式法解方程；后续服务于一元二次方程实际应用、二次函数零点求解、分式方程化简等核心内容，是衔接初中代数方程与函数知识的关键纽带.本节课核心渗透降次转化的核心数学思想，将二次方程转化为一次方程求解，培养学生观察、辨析、择优解题的能力，提升数学运算与逻辑推理核心素养.

基于以上分析，本节课的教学重点为：掌握因式分解法解一元二次方程的原理和完整解题步骤；熟练运用提公因式法、乘法公式法解可因式分解的一元二次方程.

1. 教学目标

(1)理解因式分解法解一元二次方程的原理，熟记“积为0则至少一个因式为0”的核心依据.熟练掌握提公因式、乘法公式两种因式分解技巧解一元二次方程.掌握因式分解法标准化解题步骤，能根据方程特征灵活选择最优解法.

（2）经历“观察方程结构—因式分解—降次转化—求解方程”的探究过程，体会转化、降次的数学思想.通过多种解法对比，学会辨析不同解方程方法的适用场景，培养归纳总结、择优解题的思维能力.

（3）在简便解题的探究过程中，感受数学方法的多样性与简洁性，提升数学学习兴趣.养成先观察、再解题、规范书写的良好数学习惯，培养严谨的代数运算思维.

2.目标解析

目标1学生跳出公式法的固定运算模式，掌握针对性、简便化的解方程方法，精准区分四种解法的适用范围，完善一元二次方程解题知识体系，实现解题效率的提升.

目标2依托因式分解降次的探究过程，让学生掌握高次方程化低次方程的转化思路，突破机械套公式的解题局限，培养灵活解题、举一反三的能力.

目标3通过题型辨析、方法对比、错题纠正，落实数学运算、数学抽象、逻辑推理核心素养，帮助学生建立系统化的方程解题思维模型.

九年级学生已熟练掌握整式的因式分解（提公因式、平方差、完全平方公式），且已掌握三种一元二次方程解法，具备扎实的前置知识储备，能快速衔接本节课内容.学生具备基础的代数运算和方程求解能力，习惯于公式法固定解题流程，但缺乏观察方程结构、择优解题的意识，思维灵活性不足.学生容易忽略“方程右边必须化为0”的前提；习惯性两边同除含未知数因式导致丢根；因式分解不彻底、步骤书写不规范，是

本节课重点纠错内容.

基于以上分析，本节课的教学难点确定为：准确观察方程结构，灵活选择因式分解的方法，实现二次方程的降次转化.规避“方程两边随意消含未知数因式”“未化为积为0形式直接分解”等典型错误.

创设情景，引入新课

复习回顾：提问学生公式法解一元二次方程的步骤，解方程（用公式法）.

师生互动：学生独立完成后，教师提问：该方程结构简单，是否有更简便的解法？不用复杂计算、不用套公式即可快速求解？

导入课题：引出本节课简便解法——因式分解法解一元二次方程.

(设计意图：通过常规公式法解题，凸显通用解法的繁琐，制造认知冲突，激发学生探究简便解法的欲望，自然衔接新旧知识.)

探究点1  探究原理，理解核心

活动1：物体经过多少秒落回地⾯?

问题： 根据物理学规律 , 如果把⼀个物体从地⾯以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过2s后的离地⾼度 (单位:m)约为.根据上述规律,物体经过多少秒落回地⾯?

设物体经过xs落回地⾯,这时它离地⾯的⾼度为0m , 即.

追问1：将⽅程的左边分解因式得到的方程是什么？

将⽅程的左边分解因式,得x(10-5x)=0.

追问2：若两个代数式的乘积为0，这两个代数式之间具有什么关系？

若两个代数式的乘积为0，即a·b=0，则a=0或 b=0.;反之,如果a=0或 b=0，则 a·b=0.

追问3：根据上述原理，怎样解方程x(10-5x) =0.

⽅程x(10-5x) =0.的两个根是.

追问4：物体经过多少秒落回地⾯ ?

对于这两个根, 表示物体抛离地⾯的时刻,即在Os时物体被抛 出,此刻物体的⾼度是0m ;⽽表示物体在抛离地⾯2s时落回地⾯.

活动2：怎样用因式分解法解一元二次方程

思考：解⽅程时 , ⼆次⽅程是如何降为⼀次的?

学生交流讨论：可以发现, 在上述解法中,由到或的过程,不是 ⽤开平⽅降次,⽽是先分解因式,使⽅程化为两个⼀次式的乘积等 于0的形式,再使这两个⼀次式分别等于O ,从⽽实现降次.这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分解法 .

师生归纳：把一元二次方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，通过降次转化为两个一元一次方程求解的方法，叫做因式分解法。

（设计意图：从简单方程入手，拆解因式分解降次的核心逻辑，让学生理解解法原理，而非机械模仿步骤，突破本节课思维难点，渗透转化降次思想.）

探究点2  归纳因式分解法步骤

活动3：因式分解法解一元二次方程的步骤

师生通过以上解方程过程，共同归纳因式分解法解题步骤：

一化：移项，将方程所有项移到左边，使方程右边=0；

二分：将方程左边整式因式分解，化为两个一次因式乘积形式；

三列：根据积为0原理，列出两个一元一次方程；

四解：分别解一次方程，得出方程的两个根.

及时巩固：解方程x(x+2)=2(x+2)

移项得x(x+2)-2(x+2)=0，分解得(x+2)(x-2)=0，解得.

探究点3  择优合适方法解方程

活动4：总结三种解法的适用场景，明确能因式分解优先用因式分解法.

学生讨论根据不同方程，择优选择合适的方法.

及时巩固：让学生自主选择最优解法：

(1)（优选直接开平方法/因式分解法）

(2)（优选因式分解法/求根公式法）

(3)（无整数因式，优选公式法）

(设计意图：通过综合对比训练，打破学生单一解题思维，培养学生观察辨析、择优解题的能力，构建完整的解方程知识体系，实现知识融会贯通.)

典型例题

例1.因式分解法解方程：(1)；  (2)；(3)

【分析】(1)利用提取公式法因式分解解一元二次方程．

(2)利用完全公式法因式分解解一元二次方程．

(3)利用平方差公式法因式分解解一元二次方程．

解：(1)提公因式：3x(x+2)=0

得3x=0或x+2=0

∴

(2)整理得

公式法因式分解：

得x-2=0

∴

(3)解：因式分解：(x+3)(x-3)=0

得x+3=0或x-3=0

∴

例2.解方程：(1)；   (2)．

【分析】（1）利用公式法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；熟练掌握公式法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．

【详解】（1）解：，，，

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