1.3勾股定理的应用 课件2026-2027学年数学北师大版（2024）八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，通过“几何侦查团”任务（如卷尺定垂直、折叠算长度）导入，衔接勾股定理及逆定理前期知识，以实际问题为支架引导学生抽象直角三角形模型。 其亮点是情境化任务与核心素养结合，如装修检测砖边垂直培养数学眼光，折叠问题用方程思想发展数学思维，古题新作构建模型强化数学语言。采用问题探究与实例分析，小结转化步骤，助学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第一章 勾股定理 八上数学 BSD 1.3 勾股定理的应用 1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题. 2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题. 问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB. D C A B 情境启航 亲爱的同学们，经过前面课程的学习，我们已经知道了勾股定理及其逆定理，今天我们接到了三个“几何侦查团”的任务，帮助求助者破解难题，你要挑战吗？ 一把卷尺定垂直 神秘折叠算长度 古题新作测水深 问题构建 一把卷尺定垂直 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB.李叔叔随身带了卷尺， 问题1：如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ 现实情境：地板砖边缘垂直问题 数学问题：直角判定问题 实际操作：测量线段长度 （2）李叔叔测得边AD长30cm,边AB长40cm,点B,D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？ 问题构建 解：因为AD=30cm，AB=40cm，BD=50cm 在△ABD中， 所以△ABD是直角三角形，BD是斜边. 所以∠DAB=90° 所以AD⊥AB. 借助勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，进而验证直角或两条直线的垂直关系. 一把卷尺定垂直 (2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线 是什么？你画对了吗？ A B A B A B 新课讲授 最短 路线 依据是什么？ (3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 新课讲授 12 cm 9 cm ∵由勾股定理得AB2=122+92=225， ∴AB=15(厘米) ∴蚂蚁从点A出发， 想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm. 思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗? 知识点2 勾股定理的应用 A E D F G B C 解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm. 因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3， 所以DF的长为3 cm. 9 例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。 知识点2 勾股定理的应用 10 问题2：试一试，你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？ 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 【练一练】1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点， 将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 探究二：勾股定理的应用 解：设DF长x cm，则EF长为(8-x) cm， ∵正方形纸片ABCD的边长为8 cm，点E为AD中点， ∴ED＝AD＝4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理， 得DE2＋DF2＝EF2， 即42＋x2＝(8-x)2， 解得x＝3. ∴DF的长为3 cm. 巩固拓展 古题新作测水深 解：设水池的深度OA为，则芦苇的长度OB为(+1)尺.由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺. 在Rt△OAC中，由勾股定理得： 解得：=12 +1=12+1=13 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 解决上述问题时使用了方程思想. 勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）阅读文本，分析已知量、未知量间的关系； （2）寻找或构造直角三角形； （3）勾股定理等列方程； （4）解决实际问题并反思结果的合理性 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 决解 模建 转化 方程 巩固拓展 当堂检测 1.若要将一块不能弯曲的正方形（厚度忽略不计）搬进室 内，需要通过一扇如图所示的高为，宽为 的门， 以下边长的木块中哪块可以通过此门( ) A. B. C. D. 以上答案都不对 C 本题比较大小需要实用线段的平方比较. 当堂检测 2.如图，在三角形纸片中， ,,, 折叠三角形纸片，使点与 的中点重合，折 痕为,求 的长. 【思路点拨】 由 的三边长满足勾股定理 可知是直角三角形， .先求得 的长， 由折叠的性质可知，设， 则，在 中， 由勾股定理列出关于 的方程求解即可. 2.如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用(　　) A.3 m B.5 m C.7 m D.9 m 学以致用 A 4.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为 . 3.如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q，那么所用细线最短需要 cm. 学以致用 13 25 例2 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 出发，沿北偏东 53° 方向走了 400 m 到达点 B，然后再沿北偏西 37° 方向走了 300 m 到达目的地 C. 求 A，C 两点之间的距离. 解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解. 北 C B E A D 东 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 解：如图，过点 B 作 BE∥AD. ∴∠DAB = ∠ABE = 53°. ∵ 37° + ∠CBA + ∠ABE = 180°， ∴∠CBA = 90°. ∴AC² = BC² + AB² = 300² + 400² = 500². ∴AC = 500 m， 即 A、C 两点间的距离为 500 m. 方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题. 北 C B E A D 东 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为，，，则的长为___ 。 9 返回 23 5.小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的 高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出 ，然后 把风筝线沿直线向后拉开 ，发现风筝线末端刚好接触到地面 （如图）。求风筝距离地面的高度 。 24 $