1.3 勾股定理的应用（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及其逆定理的应用，通过“引葭赴岸”古算题导入，衔接旧识回顾勾股定理与逆定理，以解题步骤（构造直角三角形、列方程）、例题解析（折叠、立体最短路径）及跟踪训练（“折竹抵地”）为学习支架，构建知识脉络。 其亮点在于融合古算文化与生活实例（如梯子、蚂蚁爬行），培养数学建模与几何直观。采用问题导入、分层练习及易错总结，助力学生发展空间观念与运算能力，教师可借此系统教学，提升课堂效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 北师大版八年级上册1.3 勾股定理的应用 练习题 ### 核心知识点回顾 本节主要利用勾股定理及其逆定理解决实际生活与几何综合问题。解题核心思想是：把不规则、立体、生活场景问题，转化为直角三角形模型。常见题型包括：立体图形最短路径问题、折叠问题、航海测距问题、竹竿穿墙、高度测量、四边形求边长等。若题目中无直角，需要通过作垂线构造直角三角形，再利用$$a^2+b^2=c^2$$列式求解。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一架梯子长13米，斜靠在墙上，梯子底端离墙5米，则梯子顶端离地高度为（） A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 2. 一只蚂蚁从棱长为2的正方体底面一角爬到顶面对角一角，最短路径长度为（） A. $$2\sqrt{2}$$ B. $$2\sqrt{5}$$ C. 4 D. 6 3. 小河宽度未知，岸边一点正对对岸树底，沿河岸走8米，此时距离树顶10米，树高忽略不计，则河宽为（） A. 4米 B. 6米 C. 8米 D. 10米 4. 长方形纸片长8、宽6，沿对角线折叠后，重合部分三角形的斜边长为（） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 下列实际问题，不能用勾股定理直接求解的是（） A. 求斜坡竖直高度 B. 求任意三角形周长 C. 求立体最短路径 D. 求航海直线距离 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 解决立体图形最短路径问题的方法是________，将立体图形转化为平面图形。 2. 一棵树在离地面3米处折断，树顶落地距离树根4米，则树原高为________米。 3. 圆柱高12，底面半径$$\frac{5}{\pi}$$，侧面展开后最短路径长为________。 4. 轮船先向东航行9km，再向北航行12km，此时距离出发点________km。 5. 直角三角形门框高4m、宽3m，能通过的最长直竹竿长度为________m。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）台风过后，一棵竖直的大树折断，折断处距地面5米，树尖落地后距树根12米，求这棵大树折断前的总高度。 2.（20分）有一个无盖长方体木箱，长6cm、宽4cm、高3cm，一只蚂蚁在木箱外底面顶点，想爬到对面顶面顶点，求最短爬行距离。 3.（20分）如图，一艘船从A港出发，向正北方向航行16km到达B点，发现偏向，随即向正东方向航行12km到达C点，求C点距离A港的直线距离。 ### 参考答案与简要解析 选择题：1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 填空题：1.侧面展开（展平） 2.8 3.13 4.15 5.5 解答题：1. 折断部分为斜边：$$\sqrt{5^2+12^2}=13$$米，原高=5+13=18米。 2. 长方体展平有三种情况，计算得最短路径为$$\sqrt{(6+4)^2+3^2}=\sqrt{109}$$cm（或对比其余展平方式，取最小值）。 3. 构建Rt△ABC，∠B=90°，$$AC=\sqrt{16^2+12^2}=20$$km，即C点距A港20km。 ### 易错总结 勾股定理应用的核心是构造直角三角形；立体最短路径必须展平为平面，切勿直接用空间边长计算；大树折断、梯子滑动问题中，斜边为变化的倾斜边长，需区分固定边长与变动边长；做题优先找直角、定斜边，再代入公式计算。 通过将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题 通过观察图形、探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题 渗透数学建模的思想．教学重难点教学重点,立体图形、平面图形中的最短路径问题 旧识回顾 1．勾股定理的内容是什么？ 2．勾股定理的逆定理的内容是什么？ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋ b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形 问题导入 “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 一级标题：黑体， 4 思考 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? (1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长， 然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 5 (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗? (2)边AD垂直于边AB. 因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500， 所以AD2+AB2= BD2， 所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°， 所以AD⊥AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 6 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗? (3)他能检验边AD是否垂直于边AB. 如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度， 若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB； 否则，边AD不垂直于边 AB. 同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 B′ D′ 7 跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？ 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ， 所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形. 8 思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗? 知识点2 勾股定理的应用 A E D F G B C 解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm. 因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3， 所以DF的长为3 cm. 9 例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。 知识点2 勾股定理的应用 10 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺. 由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺. 在Rt△OAC中，由勾股定理，得 AC²+OA²=OC²， 即 5²+x²=(x+1)². 解得 x=12. 12+1=13. 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 知识点2 勾股定理的应用 11 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知间的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 知识点2 勾股定理的应用 12 跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高?则折断处离地面的高度为 尺. 知识点2 勾股定理的应用 13 解析：设折断处离地面的高度AC为x尺，则AB=(10-x)尺. 由题意可得AC⊥BC，所以∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC²+BC²=AB²， 即x²+4²=(10-x) ²，解得x=， 所以折断处离地面的高度为尺. 知识点2 勾股定理的应用 14 跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高?则折断处离地 面的高度为 尺. 知识点2 勾股定理的应用 15 知识点1 在几何中的应用 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，若△ABD的面积为10，则CD的长为(　　) A.3　　 B.4　　 C.5　　 D.4.5 返回 (第1题) A 基础提优题 【点拨】因为∠C＝90°，△ABD的面积为10，所以DA•BC＝10.因为DA＝5，所以BC＝4，所以CD2＝DB2－BC2＝9，所以CD＝3. 返回 (第1题) 基础提优题 2.如图，在长方形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则AE的长度为(　) A.3 cm　　 B.4 cm　　 C. cm　　 D. cm 返回 (第2题) C 基础提优题 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则AC 边上的高BD的长为(　　) A.8　　 B.8.8　　 C.9.6　 D.10 返回 (第3题) C 基础提优题 返回 基础提优题 知识点2 在实际问题中的应用 4.如图，这是一个装饮品的圆柱形玻璃杯，现测得其内径为 5 cm，高为12 cm，有一支长为15 cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露在杯口外的长度最少 为(　 ) A.1 cm　　 B.2 cm　　 C.3 cm　　 D.不能确定 返回 B 基础提优题 5. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地2.1米(AB＝2.1米)，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米(BC＝1.2米)的地方时，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于(　　) A.1.2米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米 返回 B 基础提优题 6.［2026深圳期中］某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20 cm，此时底部边缘A处与E处之间的距离AE为15 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时(B是D的对应点)，顶部边缘B处到桌面的距离BC为7 cm，则底部边缘A处与C处之间的距离AC为( ) A.13 cm B.15 cm C.20 cm D.24 cm 返回 D 综合应用题 7. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体 返回 C的升降.实验初始状态如图①所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) (1)求绳子的总长度； 基础提优题 【解】根据题意得AC＝8 dm，BC＝6 dm，∠ACB＝90°，所以由勾股定理得AB＝10 dm，所以AB＋AC＝10＋8＝18 (dm).所以绳子的总长度为18 dm. 返回 基础提优题 (2)如图②，若物体C升高7 dm，求滑块B向左滑动的距离. 返回 【解】如图所示. 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝(10＋7)2－82＝225，所以BD＝15 dm， 所以BE＝BD－DE＝15－6＝9(dm). 所以滑块B向左滑动的距离为9dm. 基础提优题 8. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m、长13 m、宽2 m的楼梯铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮忙计算一下，铺完这个楼梯至少需要　　　　元. 返回 (第8题) 1 020 综合应用题 勾股定理的应用 解决其他的实际问题 解决折纸问题、古文化问题 判断两直线是否垂直 勾股定理 勾股定理的逆定理 $