第7章《相交线与平行线》暑假复习与巩固练习 2025-2026学年人教版数学七年级下册

人教版七年级下册复习巩固 第7章 相交线与平行线 本章复习目标 理解对顶角、邻补角、垂线、平行线等核心概念，掌握对顶角相等、垂线段最短等基本性质，能准确识别三线八角中的各类角，构建完整的平面几何基础概念体系，发展几何直观核心素养。 熟练掌握平行线的判定定理与性质定理，能完成规范的几何推理与角度计算，理解命题、定理、证明的逻辑关系，提升逻辑推理与严谨表达的能力。 掌握平移的特征与作图方法，能运用相交线、平行线知识解决道路规划、距离测量、图案设计等生活实际问题，体会几何知识的应用价值，建立空间观念与应用意识。 本章知识框架 知识点复习 7.1 相交线 知识点 1：邻补角与对顶角 两条直线相交会形成 4 个角，按照位置关系分为两类： 邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。邻补角的数量关系：__互为补角（和为180∘）____。 对顶角：两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。对顶角的核心性质：___对顶角相等___。 注意：邻补角、对顶角都是成对出现的，前提是两条直线相交；邻补角既满足位置相邻，又满足数量互补。 知识点 2：垂线及其性质 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是__直角（90∘）____时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 基本性质： 性质 1：在同一平面内，过一点___有且只有一条___直线与已知直线垂直； 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，___垂线段___最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的___垂线段___的长度，叫做点到直线的距离。 易错提醒：距离是 “长度”，是一个数值，不是垂线段本身。 知识点 3：同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，按位置关系分为三类： 同位角：在截线的__同侧____，被截两直线的__同一方____，形如 “F” 型； 内错角：在截线的___两侧___，被截两直线__之间____，形如 “Z” 型； 同旁内角：在截线的____同侧__，被截两直线___之间___，形如 “U” 型。 识别关键：先找准截线（公共边所在直线），再看两个角相对于截线和被截线的位置。 7.2 平行线及其判定 知识点 1：平行线的定义与平行公理 定义：在同一平面内，___不相交___的两条直线叫做平行线，记作 “a∥b”。 注意：“同一平面内” 是前提，空间内不相交的直线不一定平行。 平行公理：经过直线外一点，___有且只有一条___直线与这条直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也___互相平行___。（即：平行于同一条直线的两条直线互相平行） 知识点 2：平行线的判定定理 判定两直线平行共有 5 种常用方法： 定义法：同一平面内，不相交的两条直线平行； 平行公理推论：平行于同一直线的两直线互相平行； 同位角___相等___，两直线平行； 内错角___相等___，两直线平行； 同旁内角___互补___，两直线平行。 补充：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 7.3 平行线的性质 知识点 1：平行线的性质 平行线的性质是由 “线的平行关系” 推导 “角的数量关系”，与判定互为逆过程： 两直线平行，同位角___相等___； 两直线平行，内错角__相等____； 两直线平行，同旁内角___互补___。 逻辑辨析：判定是 “由角定线”（知角的关系证平行），性质是 “由线定角”（知平行推角的关系），解题时需明确因果方向。 知识点 2：命题、定理与证明 命题：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由___题设___和___结论___两部分组成，常写成 “如果…… 那么……” 的形式。 命题分类：题设成立，结论一定成立的命题叫做___真命题___；题设成立，结论不一定成立的命题叫做___假命题___。 定理：经过推理证实的、可以作为继续推理依据的___真___命题叫做定理。 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。证明的每一步都要有依据（定义、公理、定理、性质等）。 7.4 平移 知识点 1：平移的定义与性质 定义：把一个图形整体沿某一___方向___移动一定的__距离____，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 平移的两大要素：平移的方向、平移的距离。 核心性质： 平移前后，图形的__形状____和___大小___完全相同，位置发生改变； 各组对应点所连的线段___平行___（或在同一条直线上）且__相等____； 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 知识点 2：平移作图的基本步骤 平移作图的本质是确定关键点的对应点，步骤为： 定：确定平移的___方向___和___距离___； 找：找出原图形的关键点（如顶点、端点）； 移：按平移方向和距离，作出各个关键点的对应点； 连：按原图形的顺序依次连接对应点，得到平移后的图形。 本章核心数学思想 转化思想：利用平行线的性质，将未知角转化为已知角，将分散的条件集中到同一个图形中，是几何计算与证明的核心思路。 数形结合思想：将图形的位置关系（平行、垂直）与角的数量关系（相等、互补）相互转化，实现形与数的结合。 分类讨论思想：当点、线的位置不唯一时，分情况讨论所有可能，避免漏解，如过直线上 / 外一点作垂线、多解的角度计算。 公理化思想：从基本事实（公理）出发，通过严谨推理得到定理，逐步构建几何知识体系，体现公理化的逻辑思维。 本章易错点提醒 忽略前提条件：对顶角、邻补角的前提是 “两条直线相交”；平行线、垂线的很多性质限定 “在同一平面内”，缺少前提结论不成立。 三线八角识别错误：找不准截线和被截线，混淆同位角、内错角、同旁内角的位置特征。 判定与性质混淆：证明平行用判定，已知平行求角度用性质，因果关系颠倒会导致逻辑错误。 距离概念误解：误将 “垂线段” 等同于 “点到直线的距离”，距离是垂线段的长度，是数量，不是图形。 平移认知偏差：认为平移只能水平或竖直移动，实际上只要沿直线方向移动都属于平移；平移距离是对应点连线的长度，不是点移动的曲线路径。 假命题判断失误：判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，无需全部证明。 知识点练习 一、 选择题 1.如图，下列说法不正确的是（       ） A.与互为内错角 B.与互为同旁内角 C.和互为补角 D.与互为对顶角 【答案】 C 【解析】 根据内错角，同旁内角，补角和对顶角的定义逐一判断即可. 【解答】 解：A、与互为内错角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、与互为同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； C、和互为同旁内角，不一定互为补角，原说法错误，故此选项符合题意； D、与互为对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意. 故选：C. 2.下列命题中，是真命题的是（ ） A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B.互补的两个角是邻补角 C.在同一平面内，如果，，那么 D.在同一平面内，如果，，那么A，B，C 三点在同一条直线上 【答案】 D 【解析】 根据相关知识，判断解答即可. 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识是解题的关键. 【解答】 解：A. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，错误，不符合题意； B. 互补的两个角不一定是邻补角，错误，不符合题意； C. 在同一平面内，如果 ， ，那么 ，错误，不符合题意； D. 在同一平面内，如果 ， ，那么A，B，C三点在同一条直线上，正确，符合题意； 故选：D. 3.如图，直线，相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 首先根据角平分线的定义可得 ，根据对顶角的性质可得 ，即可求得 ，再由垂直的定义即可求解． 【解答】 解： OF平分 ， ， ， ， 又 OE AB， ， ， 故选：A. 4.如图于点，，，，点是线段上的一个动点，则线段的长度不可能是（        ） A. B. C.7 D. 【答案】 A 【解析】 根据垂线段最短即可判断. 【解答】 解：根据垂线段最短的性质： ， ， 点A到直线BC的最短距离为5，即AP的长度最小值为5， , ，点P在线段BC上， 的长度最大不超过AC=9， 线段AP的长度不可能是4.8. 故选：A.  5.如图所示，以下条件中能判断的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据平行线的判定定理逐项判断即可. 【解答】 解：A、 ， （同位角相等，两直线平行），故该选项符合题意； B、 ，不能证明 ，故该选项不符合题意； C、 ，不能证明 ，故该选项不符合题意； D、 ，不能证明 ，故该选项不符合题意. 故选：A. 6.如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（     ） A.①②③ B.①③④ C.①④ D.①③ 【答案】 B 【解析】 本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，平行线的性质，角平分线的定义结合平角的定义，求出 ，判断①，三角形的外角的性质，结合角平分线的定义推出 ，判断②，平行线的性质结合三角形的外角的性质，判断③，平行线的性质，等量代换判断④. 【解答】 解：分别平分 ；故①正确； ；故②错误； ；故③正确； ；故④正确； 故选B. 7.如图，将沿所在直线向右平移，得到，其中点的对应点为，点的对应点为．若，则的长为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据平移的性质得出，再求出结果即可. 【解答】 解：将 沿 所在直线向右平移2cm，得到 ， ， ， .  故选：B. 8.如图，的角平分线、相交于，，且于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（     ） A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】 A 【解析】 先根据平行线性质、角平分线定义、直角三角形性质、三角形内角和定理及外角性质，对四个结论逐一分析验证，判断其正确性，最终确定正确结论的组合. 【解答】 解：， . 平分， , ，故①正确. ， ， , . , . 平分， , ，故②正确. 是 的外角， . , . , , . ，故③错误. 、分别平分、， . , , , , ，故④正确. 综上，正确的结论是①②④， 故选：A. 二、 填空题 9.将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果___两个角为对顶角_____，那么____两个角相等____． 【答案】 两个角是对顶角,这两个角相等 【解析】 把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可. 【解答】 解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等. 故答案为：两个角为对顶角；两个角相等． 10.如图，直线、相交于点，于点．若，则__40°______． 【答案】 40° 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：， ， ， 故答案为：40°． 11.如图，在中，，，垂足为D，，，，那么点C到的距离为___4.8_____． 【答案】 4.8 【解析】 依据点到直线的距离解答。 【解答】 解：点到直线的距离就是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，，垂足为D，点C到AB的距离为CD， 故答案为：4.8．  12.如图，在中，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．则阴影部分的两个三角形周长之和为____12____． 【答案】 12 【解析】 由平移的性质可得 ，再根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可. 【解答】 解：由平移的性质可得 阴影部分的两个三角形周长之和 故答案为：12． 13.如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为____130°____． 【答案】 【解析】 本题主要考查平行线的性质以及垂直的定义，根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等），由 ，得 .同理，由DF//AE，得 .由DH AB，得 ，故 .那么，可得 【解答】 如图，延长CD至M. 又 ，即CM 又 故答案为： 三、 解答题  14.如图，在边长为的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将使点变换为点，点、分别是、的对应点． （1）请在图中画出平移后的； （2）求的面积． 【答案】 见解答 【解析】 （1）根据平移的性质找出点、的位置，然后顺次连接即可； （2）用割补法求解即可． 【解答】 （1）解：如图： （2）解：的面积．   15.如图，直线，交于点，于点，平分，若，求的度数． 【答案】 【解析】 利用垂直关系求出 ，再由对顶角相等得到 ，最后利用角平分线定义求出 【解答】 解： 直线 与直线 相交于点 平分 ， 16.如图，直线、交于点，平分，． （1）求的度数； （2）画射线，使，求的度数． 【答案】 或 【解析】 （1）先利用对顶角相等可得 ，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分OF在直线CD的上方和OF在直线CD的下方两种情况，然后分别进行计算即可解答. 【解答】 （1）解： 平分 （2）①如图，当 在直线CD的上方时， ②如图，当OF在直线CD的下方时， 综上所述： 的度数为 57°或123°  17.如图，，点E，F在直线上，点G在直线上，与交于点H，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】 ，理由见解析 【解析】 （1）利用平行线的性质可得 ，继而可得 ，从而可得结论； （2）由 结合已知可得 ；再由两直线平行，同旁内角互补可得 ，结合已知即可求得答案。 【解答】 （1）解： ，理由如下： ， ， ， ， . （2）解： ， ， ， ， ； ， ， ， 又 ， ， .  18.已知直线与直线相交于两点，，点是直线上一定点，点是射线上一动点（点不与点，点重合），连接，作，交直线于点（点不与点重合）． （1）直线与的位置关系是_____平行______； （2）如图，若点在线段上，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （3）若点在线段的延长线上，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】 平行 ，证明见解析 或 【解析】 （1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可； （2）过点作 HG AB，根据平行公理可得HG AB CD，进而得到 ， ，然后根据角的和差解答即可； （3）画出图形，分两种情况仿照（2）的解答过程得到结论即可. 【解答】 （1）解： 故答案为：平行； （2）解： 过点H作 HG （3）解： 或 理由为： 当点F在CD上靠近N左侧时， 过点H作 当点F在CD上靠近N右侧时， 过点H作 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级下册复习巩固 第7章 相交线与平行线 本章复习目标 理解对顶角、邻补角、垂线、平行线等核心概念，掌握对顶角相等、垂线段最短等基本性质，能准确识别三线八角中的各类角，构建完整的平面几何基础概念体系，发展几何直观核心素养。 熟练掌握平行线的判定定理与性质定理，能完成规范的几何推理与角度计算，理解命题、定理、证明的逻辑关系，提升逻辑推理与严谨表达的能力。 掌握平移的特征与作图方法，能运用相交线、平行线知识解决道路规划、距离测量、图案设计等生活实际问题，体会几何知识的应用价值，建立空间观念与应用意识。 本章知识框架 知识点复习 7.1 相交线 知识点 1：邻补角与对顶角 两条直线相交会形成 4 个角，按照位置关系分为两类： 邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。邻补角的数量关系：______。 对顶角：两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。对顶角的核心性质：______。 注意：邻补角、对顶角都是成对出现的，前提是两条直线相交；邻补角既满足位置相邻，又满足数量互补。 知识点 2：垂线及其性质 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是______时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 基本性质： 性质 1：在同一平面内，过一点______直线与已知直线垂直； 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，______最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的______的长度，叫做点到直线的距离。 易错提醒：距离是 “长度”，是一个数值，不是垂线段本身。 知识点 3：同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，按位置关系分为三类： 同位角：在截线的______，被截两直线的______，形如 “F” 型； 内错角：在截线的______，被截两直线______，形如 “Z” 型； 同旁内角：在截线的______，被截两直线______，形如 “U” 型。 识别关键：先找准截线（公共边所在直线），再看两个角相对于截线和被截线的位置。 7.2 平行线及其判定 知识点 1：平行线的定义与平行公理 定义：在同一平面内，______的两条直线叫做平行线，记作 “a∥b”。 注意：“同一平面内” 是前提，空间内不相交的直线不一定平行。 平行公理：经过直线外一点，______直线与这条直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也______。（即：平行于同一条直线的两条直线互相平行） 知识点 2：平行线的判定定理 判定两直线平行共有 5 种常用方法： 定义法：同一平面内，不相交的两条直线平行； 平行公理推论：平行于同一直线的两直线互相平行； 同位角______，两直线平行； 内错角______，两直线平行； 同旁内角______，两直线平行。 补充：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 7.3 平行线的性质 知识点 1：平行线的性质 平行线的性质是由 “线的平行关系” 推导 “角的数量关系”，与判定互为逆过程： 两直线平行，同位角______； 两直线平行，内错角______； 两直线平行，同旁内角______。 逻辑辨析：判定是 “由角定线”（知角的关系证平行），性质是 “由线定角”（知平行推角的关系），解题时需明确因果方向。 知识点 2：命题、定理与证明 命题：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由______和______两部分组成，常写成 “如果…… 那么……” 的形式。 命题分类：题设成立，结论一定成立的命题叫做______；题设成立，结论不一定成立的命题叫做______。 定理：经过推理证实的、可以作为继续推理依据的______命题叫做定理。 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。证明的每一步都要有依据（定义、公理、定理、性质等）。 7.4 平移 知识点 1：平移的定义与性质 定义：把一个图形整体沿某一______移动一定的______，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 平移的两大要素：平移的方向、平移的距离。 核心性质： 平移前后，图形的______和______完全相同，位置发生改变； 各组对应点所连的线段______（或在同一条直线上）且______； 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 知识点 2：平移作图的基本步骤 平移作图的本质是确定关键点的对应点，步骤为： 定：确定平移的______和______； 找：找出原图形的关键点（如顶点、端点）； 移：按平移方向和距离，作出各个关键点的对应点； 连：按原图形的顺序依次连接对应点，得到平移后的图形。 本章核心数学思想 转化思想：利用平行线的性质，将未知角转化为已知角，将分散的条件集中到同一个图形中，是几何计算与证明的核心思路。 数形结合思想：将图形的位置关系（平行、垂直）与角的数量关系（相等、互补）相互转化，实现形与数的结合。 分类讨论思想：当点、线的位置不唯一时，分情况讨论所有可能，避免漏解，如过直线上 / 外一点作垂线、多解的角度计算。 公理化思想：从基本事实（公理）出发，通过严谨推理得到定理，逐步构建几何知识体系，体现公理化的逻辑思维。 本章易错点提醒 忽略前提条件：对顶角、邻补角的前提是 “两条直线相交”；平行线、垂线的很多性质限定 “在同一平面内”，缺少前提结论不成立。 三线八角识别错误：找不准截线和被截线，混淆同位角、内错角、同旁内角的位置特征。 判定与性质混淆：证明平行用判定，已知平行求角度用性质，因果关系颠倒会导致逻辑错误。 距离概念误解：误将 “垂线段” 等同于 “点到直线的距离”，距离是垂线段的长度，是数量，不是图形。 平移认知偏差：认为平移只能水平或竖直移动，实际上只要沿直线方向移动都属于平移；平移距离是对应点连线的长度，不是点移动的曲线路径。 假命题判断失误：判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，无需全部证明。 知识点练习 一、 选择题 1.如图，下列说法不正确的是（       ） A.与互为内错角 B.与互为同旁内角 C.和互为补角 D.与互为对顶角 2.下列命题中，是真命题的是（ ） A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B.互补的两个角是邻补角 C.在同一平面内，如果，，那么 D.在同一平面内，如果，，那么A，B，C 三点在同一条直线上 3.如图，直线，相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（       ） A. B. C. D. 4.如图于点，，，，点是线段上的一个动点，则线段的长度不可能是（        ） A. B. C.7 D. 5.如图所示，以下条件中能判断的是（        ） A. B. C. D. 6.如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（     ） A.①②③ B.①③④ C.①④ D.①③ 7.如图，将沿所在直线向右平移，得到，其中点的对应点为，点的对应点为．若，则的长为（        ） A. B. C. D. 8.如图，的角平分线、相交于，，且于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（     ） A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 二、 填空题 9.将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果________，那么_______． 10.如图，直线、相交于点，于点．若，则________． 11.如图，在中，，，垂足为D，，，，那么点C到的距离为_______． 12.如图，在中，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．则阴影部分的两个三角形周长之和为________． 13.如图，已知点D为内一点，，，交于点H，若，则的度数为________． 三、 解答题  14.如图，在边长为的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将使点变换为点，点、分别是、的对应点． （1）请在图中画出平移后的； （2）求的面积． 15.如图，直线，交于点，于点，平分，若，求的度数． 16.如图，直线、交于点，平分，． （1）求的度数； （2）画射线，使，求的度数． 17.如图，，点E，F在直线上，点G在直线上，与交于点H，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，，求的度数． 18.已知直线与直线相交于两点，，点是直线上一定点，点是射线上一动点（点不与点，点重合），连接，作，交直线于点（点不与点重合）． （1）直线与的位置关系是___________； （2）如图，若点在线段上，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （3）若点在线段的延长线上，用等式表示与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $