第8章《实数》（知识框架+知识点复习+易错点提醒+知识点练习）2026年人教版数学七升八暑假复习与巩固练习

人教版七年级下册复习巩固 第8章 实数 本章复习目标 理解算术平方根、平方根、立方根的核心概念，掌握开方与乘方的互逆关系，能熟练求解非负数的平方根与实数的立方根，发展数感与数学抽象核心素养。 理解无理数与实数的意义，掌握实数的分类方法，明确实数与数轴的一一对应关系，能运用相反数、绝对值、运算法则完成实数运算，提升运算能力。 能结合正方形面积、正方体体积、生活测量等真实场景建立开方运算模型，掌握无理数估算方法，体会实数在现实生活中的应用价值，建立严谨的数系认知。 本章知识框架 知识点复习 8.1 平方根 知识点 1：算术平方根 一般地，如果一个___正___数x的平方等于a，即x2=a，那么这个___正___数x叫做a的算术平方根。 a的算术平方根记作______，读作 “根号a”，a叫做___被开方数___。 规定：0 的算术平方根是__0____。 知识点 2：算术平方根的双重非负性 在中，存在两层非负约束： ① 被开方数 a≥0 ；② 算术平方根的结果 ≥0​ 。 这是初中阶段重要的非负数学模型，常与绝对值、偶次方结合考查。 知识点 3：平方根的定义 一般地，如果一个数的__平方____等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 求一个数a的平方根的运算，叫做___开平方___。 平方运算与开平方运算互为___逆运算___，可利用乘方运算验证开方结果。 知识点 4：平方根的性质 正数有___两___个平方根，它们互为__相反数____； 0 的平方根是__0____； 负数___没有___平方根。 正数a的正平方根为算术平方根​，负平方根为−​，合起来记作__±a____。 8.2 立方根 知识点 1：立方根的定义 一般地，如果一个数的__立方____等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。 求一个数的立方根的运算，叫做___开立方___。立方运算与开立方运算互为逆运算。 一个数a的立方根记作______，读作 “三次根号a”，其中a是被开方数，3 是根指数。 知识点 2：立方根的性质 正数的立方根是___正___数； 负数的立方根是___负___数； 0 的立方根是___0___。 重要性质：，即互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 8.3 实数及其简单运算 知识点 1：无理数与实数的定义 ___无限不循环___小数叫做无理数。 ___有理数___和___无理数___统称为实数。 常见无理数类型： ① 开方开不尽的数，如​、​； ② 含π的数； ③ 有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001⋯。 知识点 2：实数的分类 按定义分类： 实数分为有理数（整数、分数，本质是有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）。 按正负分类： 实数分为正实数、__0____、负实数；正实数又分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数。 知识点 3：实数与数轴的关系 实数与数轴上的点是__一一____对应的：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的实数。 借助数轴可以直观比较实数大小、理解相反数与绝对值的几何意义。 知识点 4：实数的性质 相反数：实数a的相反数是___−a___； 绝对值： 正实数的绝对值是__它本身____； 负实数的绝对值是___它的相反数___； 0 的绝对值是___0___。 倒数：非零实数a的倒数是______，0 没有倒数。 知识点 5：实数的运算 有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用。 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号时先算括号内的运算。 知识点 6：实数的大小比较 数轴比较法：数轴上右边的点表示的数总比左边的__大____； 性质比较法：正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小； 平方法：比较两个正数的算术平方根时，平方大的原数更大。 本章核心数学思想 类比思想：类比平方根的研究方法学习立方根，类比有理数的性质与运算研究实数，实现知识的正向迁移。 分类讨论思想：对实数按定义、按正负分类，讨论平方根的正负情况，体现数学分类的严谨性与完整性。 数形结合思想：实数与数轴上的点一一对应，借助数轴直观理解数的大小、绝对值与相反数的几何意义。 转化思想：将开方运算转化为乘方的逆运算，将无理数估算转化为有理数比较，实现未知向已知的转化。 本章易错点提醒 混淆算术平方根与平方根：算术平方根只有一个非负值，平方根有两个互为相反数的值；符号仅表示算术平方根，±才表示平方根。 无理数概念误解：带根号的数不一定是无理数（如是有理数），无理数也不一定都带根号（如π）。 忽略被开方数非负性：求含二次根式的自变量取值范围时，必须保证被开方数大于或等于 0。 立方根与平方根性质混淆：负数没有平方根，但有一个负的立方根，二者的取值限制不可混淆。 多层开方漏算：如 “的平方根”，需先算出，再求 4的平方根，不可直接对16开方。 估算能力不足：不会通过相邻平方数估算无理数的整数部分，需熟记 1-20 的平方数、1-10 的立方数。 知识点练习 一、 选择题 1.有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（        ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 根据若 ，则 是 的平方根，其中非负的平方根是 的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论. 【解答】 解：① ，， 是 的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是7， 不是 的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是 ，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是0，错误； ⑥ ，，的平方根为 ，⑥正确； ⑦ 的平方根是 ，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个. 故选：C. 2.下列结论中，正确的是（        ） A.的立方根是 B.没有平方根 C.算术平方根等于它本身的数是0，1， D. 【答案】 D 【解析】 本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果. 【解答】 选项A： 64的立方根是4， 选项A错误，不符合题意； 选项B： 正数都有平方根， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C： 负数没有算术平方根， 是负数， 算术平方根等于它本身的数只有0和1， 选项C错误，不符合题意； 选项D： 选项D正确，符合题意. 故选：D. 3.已知，则的值是（       ） A.6 B.4 C. D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了绝对值，平方和二次根式的非负性，解题的关键是掌握. 根据非负数的性质，绝对值、平方和平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出a、b、c的值. 【解答】 ， ，且 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B. 4.已知，则实数的值应在（        ）． A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间 【答案】 D 【解析】 先将m化简为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小估算m的取值范围，即可得到结果。 【解答】 又， 即， 实数m的值在4和5之间。 故选：D.  5.如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了实数与数轴，根据实数与数轴上的点一一对应，先求出 ，再根据半径相等得到 ，即可求出与点C对应的实数. 【解答】 解： 数轴上的点A，B分别与实数 ，2对应， 与点C对应的实数是： 故选：A. 6.计算的结果是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 此题考查了平方根、立方根及绝对值的值，解题的关键是掌握以上运算法则． 分别计算平方根、立方根及绝对值的值，再合并结果． 【解答】 ． 故选：． 7.如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当为时，的值是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了实数与流程图计算，根据流程图计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【解答】 解：当x为4时，，， ∵ 3不是无理数， ∴ 输入x=3，， ∵ 7的算术平方根是，是无理数， ∴ y的值是， 故选：A. 8.已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到a,b的值，由此可得到x与a和y与b的关系 【解答】 解：的算术平方根是12.3，b的立方根是-45.6，x的平方根是，y的立方根是456， 故选：C. 二、 填空题 9.的平方根是________；的立方根是________． 【答案】 , 【解析】 根据正数的平方根有两个，且互为相反数，负数的立方根是负数，即可求解. 【解答】 解： 的平方根是 的立方根是 故答案为：,. 10.已知：一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是___2_____． 【答案】 2 【解析】 根据正数有两个平方根，它们互为相反数即可得出. 【解答】 解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得. 故答案为：2. 11.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简___3b____． 【答案】 3b 【解析】 根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再进行化简，计算即可. 【解答】 解：由数轴可知， 原式 故答案为：3b.  12.若为正整数，且满足，则___6_____． 【答案】 6 【解析】 找出与38相邻的两个完全平方数，确定 的取值范围，进而得到符合条件的正整数m. 【解答】 解： 为正整数，且满足 故答案为：6.  13.若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为________． 【答案】 【解析】 先估算得到 的整数部分a和小数部分b，再代入式子计算即可. 【解答】 解： ， ， . . 故答案为：. 三、 解答题 14.计算： （1）； （2）． 【答案】 5 【解析】 （1）先求算术平方根和立方根，再把所得结果相加即可； （2）先根据绝对值性质去绝对值，再化简算术平方根、计算乘方，最后进行加减运算即可. 【解答】 （1）解：原式 （2）解：原式 15.利用平方根和立方根概念求下列各式中x的值． （1）； （2） 【答案】 ； ； 【解析】 （1）本题考查平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义直接求解即可得到答案； 【解答】 （1）解：原方程变形得， ， ， ； （2）解：原方程变形得， ，   16.已知一个正数m的两个平方根分别是和，且的立方根是． （1）求m的值； （2）求的平方根． 【答案】 4 ±3 【解析】 （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出a的值，进而求出m的值即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义，先求出c的值，再求出m+4c的值，然后求出其平方根即可. 【解答】 （1）解：一个正数m的两个平方根分别是2a-8和a-1，正数的两个不相等的平方根互为相反数， ， 解得a=3， ， . （2）解：， ， 解得b=13. 的立方根是-2， ， 解得， ， 的平方根为±3.  17.已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： （1）请直接写出、、的值：___-1_____；___1_____；____5____； （2）若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时(点不与点、重合)，请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 【答案】 -1；1；5 5，该式子的值不随点P的运动而改变. 【解析】 （1）利用非负数的性质计算; （2）利用数轴知识绝对值的定义计算. 【解答】 （1）解：是最小的正整数，且a、b满足， ，，， 则，， 故答案为：-1；1；5; （2）点P在B、C两点之间运动(点P不与点B、C重合)， ，，，， ， 该式子的值不随点P的运动而改变.  18.【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 （1）的整数部分是__________，小数部分是__________； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． （3）已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】 【解析】 （1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. 【解答】 （1）解：， ， 的整数部分是6，小数部分是； （2）解：， ， 的整数部分，小数部分， ； （3）解：， ， ， 即， ，其中是整数，， ，， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级下册复习巩固 第8章 实数 本章复习目标 理解算术平方根、平方根、立方根的核心概念，掌握开方与乘方的互逆关系，能熟练求解非负数的平方根与实数的立方根，发展数感与数学抽象核心素养。 理解无理数与实数的意义，掌握实数的分类方法，明确实数与数轴的一一对应关系，能运用相反数、绝对值、运算法则完成实数运算，提升运算能力。 能结合正方形面积、正方体体积、生活测量等真实场景建立开方运算模型，掌握无理数估算方法，体会实数在现实生活中的应用价值，建立严谨的数系认知。 本章知识框架 知识点复习 8.1 平方根 知识点 1：算术平方根 一般地，如果一个______数x的平方等于a，即x2=a，那么这个______数x叫做a的算术平方根。 a的算术平方根记作______，读作 “根号a”，a叫做______。 规定：0 的算术平方根是______。 知识点 2：算术平方根的双重非负性 在中，存在两层非负约束： ① 被开方数 ；② 算术平方根的结果 ​ 。 这是初中阶段重要的非负数学模型，常与绝对值、偶次方结合考查。 知识点 3：平方根的定义 一般地，如果一个数的______等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。 求一个数a的平方根的运算，叫做______。 平方运算与开平方运算互为______，可利用乘方运算验证开方结果。 知识点 4：平方根的性质 正数有______个平方根，它们互为______； 0 的平方根是__0____； 负数______平方根。 正数a的正平方根为算术平方根​，负平方根为−​，合起来记作______。 8.2 立方根 知识点 1：立方根的定义 一般地，如果一个数的______等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。 求一个数的立方根的运算，叫做______。立方运算与开立方运算互为逆运算。 一个数a的立方根记作______，读作 “三次根号a”，其中a是被开方数，3 是根指数。 知识点 2：立方根的性质 正数的立方根是______数； 负数的立方根是______数； 0 的立方根是______。 重要性质：，即互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数。 8.3 实数及其简单运算 知识点 1：无理数与实数的定义 ______小数叫做无理数。 ______和______统称为实数。 常见无理数类型： ① 开方开不尽的数，如​、​； ② 含π的数； ③ 有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001⋯。 知识点 2：实数的分类 按定义分类： 实数分为有理数（整数、分数，本质是有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）。 按正负分类： 实数分为正实数、______、负实数；正实数又分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数。 知识点 3：实数与数轴的关系 实数与数轴上的点是______对应的：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的实数。 借助数轴可以直观比较实数大小、理解相反数与绝对值的几何意义。 知识点 4：实数的性质 相反数：实数a的相反数是______； 绝对值： 正实数的绝对值是______； 负实数的绝对值是______； 0 的绝对值是______。 倒数：非零实数a的倒数是______，0 没有倒数。 知识点 5：实数的运算 有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用。 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号时先算括号内的运算。 知识点 6：实数的大小比较 数轴比较法：数轴上右边的点表示的数总比左边的______； 性质比较法：正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小； 平方法：比较两个正数的算术平方根时，平方大的原数更大。 本章核心数学思想 类比思想：类比平方根的研究方法学习立方根，类比有理数的性质与运算研究实数，实现知识的正向迁移。 分类讨论思想：对实数按定义、按正负分类，讨论平方根的正负情况，体现数学分类的严谨性与完整性。 数形结合思想：实数与数轴上的点一一对应，借助数轴直观理解数的大小、绝对值与相反数的几何意义。 转化思想：将开方运算转化为乘方的逆运算，将无理数估算转化为有理数比较，实现未知向已知的转化。 本章易错点提醒 混淆算术平方根与平方根：算术平方根只有一个非负值，平方根有两个互为相反数的值；符号仅表示算术平方根，±才表示平方根。 无理数概念误解：带根号的数不一定是无理数（如是有理数），无理数也不一定都带根号（如π）。 忽略被开方数非负性：求含二次根式的自变量取值范围时，必须保证被开方数大于或等于 0。 立方根与平方根性质混淆：负数没有平方根，但有一个负的立方根，二者的取值限制不可混淆。 多层开方漏算：如 “的平方根”，需先算出，再求 4的平方根，不可直接对16开方。 估算能力不足：不会通过相邻平方数估算无理数的整数部分，需熟记 1-20 的平方数、1-10 的立方数。 知识点练习 一、 选择题 1.有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（        ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列结论中，正确的是（        ） A.的立方根是 B.没有平方根 C.算术平方根等于它本身的数是0，1， D. 3.已知，则的值是（       ） A.6 B.4 C. D. 4.已知，则实数的值应在（        ）． A.和之间 B.和之间 C.和之间 D.和之间  5.如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（       ） A. B. C. D. 6.计算的结果是（       ） A. B. C. D. 7.如图，是一个数值转换器示意图，根据图示工作原理解决：当为时，的值是（       ） A. B. C. D. 8.已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（     ） A. B. C. D. 二、 填空题 9.的平方根是________；的立方根是________． 10.已知：一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是________． 11.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简_______． 12.若为正整数，且满足，则________． 13.若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为________． 三、 解答题 14.计算： （1）； （2）． 15.利用平方根和立方根概念求下列各式中x的值． （1）； （2） 16.已知一个正数m的两个平方根分别是和，且的立方根是． （1）求m的值； （2）求的平方根． 17.已知：是最小的正整数，且、满足，请回答： （1）请直接写出、、的值：________；________；________； （2）若、、所对应的点分别为、、，点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在、两点之间运动时(点不与点、重合)，请化简下列式子并判断该式子的值是否随点的运动而改变？若不变，请求出该式子的值，若改变，请说明理由． 化简：． 18.【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 （1）的整数部分是__________，小数部分是__________； （2）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． （3）已知，其中是整数，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $