第8章 实数 单元复习（10大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

第8章 实数 知识点1：算术平方根 1.定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根，记为，读作“根号”； 2.特殊值：0的算术平方根是0，即； 3.双重非负性：且被开方数，二者缺一不可。 知识点2：平方根 1.定义：若一个数的平方等于，即，则这个数叫做的平方根（二次方根），记为； 2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根； 3.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点3：算术平方根与平方根的对比 项目 算术平方根 平方根 表示方法 取值范围 非负数 一正一负（正数）、0（0） 个数 1个 2个（正数）、1个（0）、0个（负数） 包含关系 是平方根中正的那个 包含算术平方根 知识点4：立方根 1.定义：若一个数的立方等于，即，则这个数叫做的立方根（三次方根），记为； 2.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；任何实数都有且只有一个立方根； 3.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点5：平方根与立方根的对比 项目 平方根 立方根 被开方数范围 全体实数 表示方法 个数 正数2个、01个、负数0个 全体实数均1个 符号规律 正数的平方根互为相反数 被开方数与立方根同号 知识点6：实数的概念与分类 1.概念：有理数和无理数统称为实数； 2.有理数：有限小数和无限循环小数（可以化成分数形式）； 3.无理数：无限不循环小数，常见形式：①开方开不尽的数（如、）；②含的数（如、）；③有规律但不循环的无限小数（如）； 4.实数分类： 按定义： 按正负： 知识点7：实数的相关性质 1.实数范围内，有理数的相反数、倒数、绝对值的性质仍然适用： 2.相反数：实数的相反数是，0的相反数是0；若与互为相反数，则； 3.倒数：非零实数的倒数是；若与互为倒数，则；0没有倒数； 4.绝对值：，绝对值的非负性：。 知识点8：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数； 2.大小规律：数轴上的两个点表示的实数，右边的点表示的数总比左边的大。 知识点9：实数的运算与大小比较 1.运算规则：有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用；运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的； 2.大小比较方法： 正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小； 数轴比较法：右边的数>左边的数； 平方比较法：正实数中，被开方数越大，算术平方根越大； 估算法：估算无理数的近似值，再比较。 知识点10：非负数的性质 1.常见的非负数形式：、、； 2.性质：若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0，即若，则、、。 【基础必考题型】 【题型1】算术平方根、平方根的基础求解与判断 1.核心知识点： 算术平方根的定义、平方根的定义与性质、算术平方根的双重非负性。 2.解题方法技巧： 求一个数的算术平方根，直接找正的平方等于该数的数；求平方根则需考虑正负两个值； 判断一个数是否有平方根/算术平方根，先看被开方数是否非负； 注意表示算术平方根，结果一定非负，避免与平方根混淆。 【例题1】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）下列判断不正确的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．6是的算术平方根 C．是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 【变式题1-2】.（25-26七年级上·浙江金华·月考）的平方根是（    ）． A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【题型2】立方根的基础求解与判断 1.核心知识点： 立方根的定义与性质、开立方与立方的逆运算。 2.解题方法技巧： 求立方根直接找立方等于该数的数，注意被开方数与立方根同号； 利用立方根的唯一性，直接判断立方根的符号和数值； 开立方运算可通过立方验证结果，如验证，只需计算。 【例题2】.（25-26七年级上·山东泰安·期末）下列说法不正确的是（   ） A．4的平方根是 B．的立方根是 C．5没有算术平方根 D．0的平方根和立方根都是0 【变式题2-1】.（24-25七年级下·全国·周测）下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南驻马店·期末）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【题型3】实数的分类判断 1.核心知识点： 实数的分类、有理数与无理数的定义。 2.解题方法技巧： 先化简数（如、），再根据定义分类； 紧扣无理数“无限不循环”的核心特征，排除有限小数、无限循环小数； 注意含的数除等化简后为有理数的情况，均为无理数。 【例题3】.（24-25八年级上·四川眉山·期末）下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东清远·期末）在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-3】.（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在实数，（每两个1之间依次多一个0）中，是有理数的是（     ） A． B． C． D．（每两个1之间依次多一个0） 【培优高频题型】 【题型4】利用平方根、立方根解方程 1.核心知识点： 平方根、立方根的定义、开方与乘方的逆运算、整体思想。 2.解题方法技巧： 先将方程变形为或的形式，再开方求解； 含括号的方程（如、），将括号内的式子看成整体，先开方再解一元一次方程； 解平方根方程时，注意正数有两个解，避免遗漏负根。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏淮安·月考）求下列各式中的 (1)； (2)． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【题型5】无理数的估算（确定整数范围/整数部分） 1.核心知识点： 算术平方根的性质、实数的大小比较。 2.解题方法技巧： 找与被开方数相邻的两个完全平方数，如估算，因，故； 确定无理数的整数部分：直接取估算的较小整数，如的整数部分是4； 多步估算（如）先估算无理数，再进行加减运算确定范围。 【例题5】.（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）满足的整数的值可以是_____．（写出一个即可） 【变式题5-1】.（25-26九年级下·北京大兴·开学考试）已知，其中为正整数，则的值为______． 【变式题5-2】.（2026·安徽·一模）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且最小，则用该方法计算的值约为____． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日  星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是________； (2)的二级近似值是________； (3)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【题型6】实数的大小比较 1.核心知识点： 实数的大小比较方法、算术平方根与立方根的性质。 2.解题方法技巧： 正数与负数比较：直接用“正数>负数”；两个负数比较：先求绝对值，再比较绝对值大小； 正无理数与有理数比较：用平方比较法（如比较和3，因，故）； 两个无理数比较：被开方数大的正无理数更大（如），立方根与被开方数同号且被开方数越大值越大。 【例题6】.（25-26九年级上·福建莆田·期末）下列各数中最大的是（    ）． A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·周测），，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与－3.4． (2)与． 【题型7】非负数性质的简单应用 1.核心知识点： 非负数的形式（、、）、非负数的和为0的性质。 2.解题方法技巧： 识别题目中的非负数形式，确认和为0的条件； 根据性质列方程，令每个非负数分别为0，求解未知数； 将求出的未知数代入代数式，计算最终结果。 【例题7】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知，求a，b，c的值． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·山东东营·期末）已知，则_____． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为_____． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·单元测试）已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 【压轴素养题型】 【题型8】求无理数的整数部分与小数部分 1.核心知识点： 无理数的估算、实数的加减运算。 2.解题方法技巧： 步骤：①估算无理数的范围，确定其整数部分（）；②小数部分（小数部分一定大于0且小于1）； 含加减的无理数（如），先估算无理数部分，再整体判断范围，如，则，整数部分为3，小数部分为； 代入求值时，将整数部分和小数部分作为整体代入，简化计算。 【例题8】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）(1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值． (2)已知是的小数部分，求的算术平方根． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）（1）计算： （2）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．求的平方根． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·周测）已知的小数部分，用表示它的整数部分．求的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东聊城·月考）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知，小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【题型9】实数运算的实际情境应用 1.核心知识点： 实数的运算、平方根与立方根的求解、数学建模思想。 2.解题方法技巧： 从实际情境（如正方形面积、正方体体积、容器容积、几何图形边长）中提取数学信息，建立方程模型； 面积问题：正方形边长；体积问题：正方体棱长； 计算结果结合实际情境取舍，如边长、棱长为正数，舍去负根。 【例题9】.（25-26八年级上·广西贵港·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）项目式学习 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为． 素材2 为了美观，小志特设计一个底面积为，长，宽，高的比为的长方体纸盒进行包装． 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长； （3）如果只考虑团扇的面宽，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·河南开封·期中）综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【题型10】与实数有关的探究式问题 1.核心知识点： 平方根、立方根的性质、实数的运算、从特殊到一般的思想。 2.解题方法技巧： 观察已知等式/数据的规律，从特殊值入手，分析被开方数、根的值之间的数量关系； 总结规律时，用含自然数的式子表示； 验证规律：将取具体值，代入规律式验证是否与已知一致。 【例题10】.（24-25八年级上·江西九江·月考）在数学实践活动课上，指导老师准备了一块面积为的正方形纸片（如图所示），准备给数学实践小组用来对教室重新进行装饰，现需要一块面积为的长方形纸片，数学实践小组设计如下两种方案： 方案一：沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料． 方案二：沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长与宽的比为． 请你判断实践小组设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．（参考数据：） 【变式题10-1】.（24-25八年级上·江西鹰潭·月考）在南昌某中学科技节活动中爱探究思考的小亮，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察，可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ①________；②________； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则________． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·河北邢台·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 易错点 混淆算术平方根与平方根的表示和结果，如误将写成，或求的平方根时只写； 忽略算术平方根的双重非负性，如直接求解，未发现被开方数无意义； 开方运算时符号错误，如误将计算为，或解时只写； 化简时直接写成，忽略，未判断的正负； 无理数分类时，将化简后为有理数的数归为无理数，如误将、判断为无理数； 比较实数大小时，负数的算术平方根比较出错，如误认为。 重点 1.算术平方根、平方根、立方根的定义与性质，能熟练求解任意非负数的平方根、算术平方根和任意实数的立方根； 2.实数的分类，能准确区分有理数和无理数，掌握无理数的三种常见形式； 3.实数的相关性质，能熟练求解实数的相反数、倒数、绝对值，尤其是含无理数的情况； 4.非负数的性质，能利用、、的非负性求解未知数； 5.实数的混合运算，掌握运算顺序和法则，能准确进行开方、乘方、加减乘除混合运算； 6.平方根、立方根的实际应用，能从生活情境中建立数学模型，求解几何图形的边长、棱长等。 难点 1.算术平方根的双重非负性的综合应用，尤其是含双重根号的非负性判断； 2.无理数的估算与整数部分、小数部分的求解，含加减运算的无理数整体范围判断； 3.实数与数轴的综合化简，结合数轴判断实数正负，化简含绝对值、平方根的代数式； 4.平方根的分类讨论问题，能根据正数平方根的性质，分情况求解含参数的平方根问题； 5.实数的规律探究与定义新运算，能从特殊情况总结一般规律，将新运算转化为常规运算； 6.无理数在实际情境中的应用，能将跨学科、生活中的实际问题转化为实数的开方和运算问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根 2．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 5．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 二、填空题 6．计算：_____． 7．已知a是的整数部分，则___ 8．竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 9．已知，且m为整数，则m的值为____． 10．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似的，对只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是___________． 三、解答题 11．求下列各式中x的值： (1) (2) 12．已知的平方根是，的立方根是2．求的算术平方根． 13．已知有一个平方根是3，的立方根是，求的值． 14．在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 15．先阅读理解： （1）； （2）； （3）； （4）． 根据你找到的规律，解决问题： (1)________； (2)________．（用含n的式子表示） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 实数 知识点1：算术平方根 1.定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根，记为，读作“根号”； 2.特殊值：0的算术平方根是0，即； 3.双重非负性：且被开方数，二者缺一不可。 知识点2：平方根 1.定义：若一个数的平方等于，即，则这个数叫做的平方根（二次方根），记为； 2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根； 3.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点3：算术平方根与平方根的对比 项目 算术平方根 平方根 表示方法 取值范围 非负数 一正一负（正数）、0（0） 个数 1个 2个（正数）、1个（0）、0个（负数） 包含关系 是平方根中正的那个 包含算术平方根 知识点4：立方根 1.定义：若一个数的立方等于，即，则这个数叫做的立方根（三次方根），记为； 2.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；任何实数都有且只有一个立方根； 3.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点5：平方根与立方根的对比 项目 平方根 立方根 被开方数范围 全体实数 表示方法 个数 正数2个、01个、负数0个 全体实数均1个 符号规律 正数的平方根互为相反数 被开方数与立方根同号 知识点6：实数的概念与分类 1.概念：有理数和无理数统称为实数； 2.有理数：有限小数和无限循环小数（可以化成分数形式）； 3.无理数：无限不循环小数，常见形式：①开方开不尽的数（如、）；②含的数（如、）；③有规律但不循环的无限小数（如）； 4.实数分类： 按定义： 按正负： 知识点7：实数的相关性质 1.实数范围内，有理数的相反数、倒数、绝对值的性质仍然适用： 2.相反数：实数的相反数是，0的相反数是0；若与互为相反数，则； 3.倒数：非零实数的倒数是；若与互为倒数，则；0没有倒数； 4.绝对值：，绝对值的非负性：。 知识点8：实数与数轴的关系 1.一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数； 2.大小规律：数轴上的两个点表示的实数，右边的点表示的数总比左边的大。 知识点9：实数的运算与大小比较 1.运算规则：有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用；运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的； 2.大小比较方法： 正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小； 数轴比较法：右边的数>左边的数； 平方比较法：正实数中，被开方数越大，算术平方根越大； 估算法：估算无理数的近似值，再比较。 知识点10：非负数的性质 1.常见的非负数形式：、、； 2.性质：若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0，即若，则、、。 【基础必考题型】 【题型1】算术平方根、平方根的基础求解与判断 1.核心知识点： 算术平方根的定义、平方根的定义与性质、算术平方根的双重非负性。 2.解题方法技巧： 求一个数的算术平方根，直接找正的平方等于该数的数；求平方根则需考虑正负两个值； 判断一个数是否有平方根/算术平方根，先看被开方数是否非负； 注意表示算术平方根，结果一定非负，避免与平方根混淆。 【例题1】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根的定义，在实数范围内，只有非负数才有平方根，负数没有平方根，因此，只需识别选项中的负数即可，正确理解平方根定义是解题的关键． 【详解】解：∵平方根在实数范围内仅对非负数有定义， ∴负数没有平方根， ∴选项符合题意， 故选：． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）下列判断不正确的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．6是的算术平方根 C．是25的算术平方根 D．19的算术平方根是 【答案】C 【详解】解：A、∵，， ∴9的算术平方根是3，A判断正确； B、∵，，， ∴6是的算术平方根，B判断正确； C、∵，不符合算术平方根为非负数的要求， ∴不是25的算术平方根，C判断不正确； D、∵，， ∴19的算术平方根是，D判断正确． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·浙江金华·月考）的平方根是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根的定义，掌握平方根、算术平方根的定义并认真审题是解题关键，先计算的值，再根据平方根的定义求解该结果的平方根即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴9的平方根是，即的平方根是． 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·河北沧州·期末）下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数， ∴10的平方根是，①说法正确； ∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误； ∵互为相反数的两个数和为0，， ∴的相反数是，③说法正确． ∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，， ∴16的算术平方根是4，④说法正确． ∵， ∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑤，共4个． 故选：A． 【题型2】立方根的基础求解与判断 1.核心知识点： 立方根的定义与性质、开立方与立方的逆运算。 2.解题方法技巧： 求立方根直接找立方等于该数的数，注意被开方数与立方根同号； 利用立方根的唯一性，直接判断立方根的符号和数值； 开立方运算可通过立方验证结果，如验证，只需计算。 【例题2】.（25-26七年级上·山东泰安·期末）下列说法不正确的是（   ） A．4的平方根是 B．的立方根是 C．5没有算术平方根 D．0的平方根和立方根都是0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的基本概念，解题的关键是掌握以上概念． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A. 4的平方根是，该选项正确，不符合题意； B. 的立方根是，该选项正确，不符合题意； C. 5的算术平方根是，该选项错误，符合题意； D. 0的平方根和立方根都是0，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·全国·周测）下列结论正确的是（    ） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．－1的立方根为±1 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义和性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，任何实数都有立方根，依次判断即可. 【详解】解：A、的立方根是，不是，所以 A错误； B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误； C、 的立方根是，不是，所以 C错误； D、 =， = ，∴ = ，故D正确. 【点睛】本题主要考查的是立方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南驻马店·期末）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根，由算术平方根的定义可知，由立方根的定义可知，所以的立方根是. 【详解】解：，， 的立方根是. 故选：A． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建三明·期末）一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 【题型3】实数的分类判断 1.核心知识点： 实数的分类、有理数与无理数的定义。 2.解题方法技巧： 先化简数（如、），再根据定义分类； 紧扣无理数“无限不循环”的核心特征，排除有限小数、无限循环小数； 注意含的数除等化简后为有理数的情况，均为无理数。 【例题3】.（24-25八年级上·四川眉山·期末）下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，需先排除实数范围内无意义的数，再根据无理数（无限不循环小数）的定义逐一判断即可． 识别无理数时，需先排除非实数，再紧扣“无限不循环小数”的定义判断，注意分数和有限小数都属于有理数． 【详解】解：∵的被开方数为负数，在实数范围内无意义，不属于实数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是分数、是有限小数，均为有理数； ∴无理数共有3个， 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【答案】A 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，根据定义逐一判断每个选项的正误即可得到答案． 【详解】解：A选项，∵，2是整数，整数属于有理数， ∴该判断正确． B选项，∵是分数，分数属于有理数， ∴该判断错误． C选项，∵是无理数， ∴仍是无理数，不是有理数， ∴该判断错误． D选项，∵3.1415926是有限小数，有限小数属于有理数， ∴该判断错误． 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东清远·期末）在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，核心是明确有理数与无理数的区别：有理数包含整数、分数(有限小数、无限循环小数)，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：是分数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是无限循环小数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；(相邻两个3之间1的个数逐次加)是无限不循环小数，属于无理数； 无理数共有2个， 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·浙江湖州·期末）在实数，（每两个1之间依次多一个0）中，是有理数的是（     ） A． B． C． D．（每两个1之间依次多一个0） 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，依据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，包含有限小数、无限循环小数，或可化为整数/分数的数），逐一判断各选项中的数是否为有理数． 【详解】解：∵，是整数，整数属于有理数． 又∵是含π的无限不循环小数，属于无理数；是开方开不尽的数，属于无理数；（每两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数． ∴只有是有理数， 故选：C． 【培优高频题型】 【题型4】利用平方根、立方根解方程 1.核心知识点： 平方根、立方根的定义、开方与乘方的逆运算、整体思想。 2.解题方法技巧： 先将方程变形为或的形式，再开方求解； 含括号的方程（如、），将括号内的式子看成整体，先开方再解一元一次方程； 解平方根方程时，注意正数有两个解，避免遗漏负根。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏淮安·月考）求下列各式中的 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】平方根的定义：若，则；立方根的定义:若，则． 【详解】（1）解： ， ∴或 ； （2）解：， ， ， ∴． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． （1）直接开平方，即可得出答案； （2）直接开立方得出，再求出x的值即可． 【详解】（1）解：， 开平方得：； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）解：， ， 解得：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是掌握利用平方根和立方根求方程的解． （1）利用开平方求方程的根即可； （2）利用立方根求方程的根即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5】无理数的估算（确定整数范围/整数部分） 1.核心知识点： 算术平方根的性质、实数的大小比较。 2.解题方法技巧： 找与被开方数相邻的两个完全平方数，如估算，因，故； 确定无理数的整数部分：直接取估算的较小整数，如的整数部分是4； 多步估算（如）先估算无理数，再进行加减运算确定范围。 【例题5】.（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）满足的整数的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】先估算出无理数的大致取值范围，再找出落在给定范围内的整数，任选一个作答即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． ∵，且为整数， ∴满足条件的整数为，，，，． 【变式题5-1】.（25-26九年级下·北京大兴·开学考试）已知，其中为正整数，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合已知条件即可求出正整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵，为正整数， ∴． 【变式题5-2】.（2026·安徽·一模）魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了开平方的方法，可以用来近似求得二次根式的值，如，其中a取正整数且最小，则用该方法计算的值约为____． 【答案】5.2 【分析】先确定与27最接近的完全平方数，从而得出a和r的值，再代入给定的近似公式计算即可． 【详解】解：因为，且， 所以取正整数，此时， 根据题目中的近似公式， 将，代入得：（或）． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日  星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是________； (2)的二级近似值是________； (3)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）根据新定义得到，求出的值，再根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：，3与5最接近， 的最初近似值为；故答案为：4； （2）解：，6和8最接近， 的最初近似值， 的二级近似值是； （3）解：设， 的最初近似值， ∴， 的二级近似值，解得． 【题型6】实数的大小比较 1.核心知识点： 实数的大小比较方法、算术平方根与立方根的性质。 2.解题方法技巧： 正数与负数比较：直接用“正数>负数”；两个负数比较：先求绝对值，再比较绝对值大小； 正无理数与有理数比较：用平方比较法（如比较和3，因，故）； 两个无理数比较：被开方数大的正无理数更大（如），立方根与被开方数同号且被开方数越大值越大。 【例题6】.（25-26九年级上·福建莆田·期末）下列各数中最大的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘方、绝对值、算术平方根的运算，以及实数的比较大小．先分别计算各选项的数值，再依据有理数大小比较规则找出最大的数即可． 【详解】解：∵，，，为负数， ∴， ∴最大的数是，对应选项． 故选：． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·周测），，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与－3.4． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键； （1）根据“正数大的反而小”进行比较两个负数的大小； （2）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ． （2）解：∵，且， ， ， ． 【题型7】非负数性质的简单应用 1.核心知识点： 非负数的形式（、、）、非负数的和为0的性质。 2.解题方法技巧： 识别题目中的非负数形式，确认和为0的条件； 根据性质列方程，令每个非负数分别为0，求解未知数； 将求出的未知数代入代数式，计算最终结果。 【例题7】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知，求a，b，c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质．根据非负数的性质，令每个非负项分别为零，得到方程组，再求解方程组得出a，b，c的值． 【详解】解：由题意得， 解得． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·山东东营·期末）已知，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，根据非负数的性质可得 且 ，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， 解得 ，， ∴ ． 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）若、为实数，且满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，由列方程求出、的值，代入代数式，由乘方运算计算即可得到答案． 【详解】解： ，且， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值非负性、算术平方根非负性、非负数和为零的条件、解方程、代数式求值、乘方运算等知识，熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·单元测试）已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及平方根的计算，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式组，通过解不等式组求出的值； （2）将（1）中求出的值代入原式，求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根． 【详解】（1）解：∵二次根式的被开方数需非负， ∴​， 解得． （2）解：把，代入原式得， 即， 解得 ∴， 的平方根是， 即的平方根是． 【压轴素养题型】 【题型8】求无理数的整数部分与小数部分 1.核心知识点： 无理数的估算、实数的加减运算。 2.解题方法技巧： 步骤：①估算无理数的范围，确定其整数部分（）；②小数部分（小数部分一定大于0且小于1）； 含加减的无理数（如），先估算无理数部分，再整体判断范围，如，则，整数部分为3，小数部分为； 代入求值时，将整数部分和小数部分作为整体代入，简化计算。 【例题8】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）(1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值． (2)已知是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)2 【分析】（1）根据平方根的性质以及立方根的概念，列出方程即可求解； （2）利用平方根、立方根的概念求出a、b的值，通过估算无理数，可得x的值，进而即可求解 【详解】解：（1）某正数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∵的立方根为2， ∴，解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分为， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵4的算术平方根为2，即的算术平方根为2． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）（1）计算： （2）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的运算、平方根、立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先计算乘方、立方根、算术平方根，再计算乘法运算，最后计算加减法运算； （2）根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据无理数的估算确定c的值，据此解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意得：， 则， 解得， ， ， ． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·全国·周测）已知的小数部分，用表示它的整数部分．求的值． 【答案】 【分析】先估算的大小，确定的整数部分．已知小数部分，将和的值代入代数式．对代数式进行因式分解，简化计算过程，最后代入求值． 【详解】解：， ，即． 的整数部分． ． 将，代入，得 ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小、代数式求值以及平方差公式的应用．解题关键是正确估算出无理数的整数部分，并利用因式分解简化计算． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·山东聊城·月考）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知，小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3，； (2)满足条件的x的值是． 【分析】本题主要考查的是估算无理数大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键； （1）先估算出的大小，然后确定整数部分，小数部分即可； （2）根据的整数部分可求出和的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入求x的值即可． 【详解】（1）解：，即， ∴的整数部分为3，小数部分为； （2）解：∵， ∴，， ∴的整数部分为11，的整数部分为4， ∴小数部分是，的小数部分， ， ∴， ∴满足条件的x的值是． 【题型9】实数运算的实际情境应用 1.核心知识点： 实数的运算、平方根与立方根的求解、数学建模思想。 2.解题方法技巧： 从实际情境（如正方形面积、正方体体积、容器容积、几何图形边长）中提取数学信息，建立方程模型； 面积问题：正方形边长；体积问题：正方体棱长； 计算结果结合实际情境取舍，如边长、棱长为正数，舍去负根。 【例题9】.（25-26八年级上·广西贵港·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值． 【答案】此时的值为． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的应用．根据，，，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 答：此时的值为． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，七巧板是我国传统的智力玩具、七巧板虽然只有七块，但用它们可以拼出不同的图案．如图，小海和小曙利用的方格图（每个小正方形的边长均为），制作了一副七巧板、然后，将其中的块摆放成我们熟悉的几何图形（如图），它们分别是等腰直角三角形，平行四边形，等腰梯形． (1)直接写出④号正方形的面积和边长； (2)不求可以发现图中等腰直角三角形的周长为，请用含的代数式分别表示图中平行四边形、等腰梯形的周长，并判断小曙的发现是否正确． 【答案】(1)； (2)小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等 【分析】本题是考查代数式的表达及化简，以及代数式与几何图形的面积和周长结合的综合问题．根据等腰直角三角形、正方形面积计算公式，利用等量代换思想，用代数式表示出面积，是解题的关键． （1）根据图中图形的面积关系，得到④号正方形的面积和①号三角形的面积的关系，计算出④号正方形的面积和边长． （2）根据图中边长的关系，用含的代数式表达图中平行四边形的周长和等腰梯形的周长，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵③④⑤号图形的面积的和与①号三角形的面积相等，③⑤号三角形的面积和与④号正方形的面积相等， ∴④号正方形的面积 ①号三角形的面积， ∵①号三角形的面积为：， ∴④号正方形的面积， ∵④号正方形的面积， ∴边长； （2）解：图中平行四边形的周长为：， 图中等腰梯形的周长为：， ∴小曙的发现是正确的，图中等腰直角三角形、平行四边形、等腰梯形的周长相等. 【变式题9-2】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）项目式学习 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为． 素材2 为了美观，小志特设计一个底面积为，长，宽，高的比为的长方体纸盒进行包装． 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长； （3）如果只考虑团扇的面宽，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 【答案】（1）10 （2） （3）能，见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由团扇面积为，则，从而计算即可求解； （2）依据题意，设长方体盒子的长为，宽为则，由边长的实际意义，得，进而计算可以求解； （3）依据题意，由（1）知该团扇的半径为，则团扇的直径为，又，则，从而，进而可以判断求解． 【详解】解：（1）团扇面积为， ，． ，． 故答案为：10． （2）设长方体盒子的长为，则宽为， ，． ，． ． 长方体盒子的长为． （3）这个长方体盒子能装得下这面团扇．理由如下： 由（1）知该团扇的半径为， 团扇的直径为， ， ． 这个长方体盒子能装得下这面团扇． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·河南开封·期中）综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片不能直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用，设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程， 解得， ， ， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 故正方形卡片不能直接装进长方形封皮中． 【题型10】与实数有关的探究式问题 1.核心知识点： 平方根、立方根的性质、实数的运算、从特殊到一般的思想。 2.解题方法技巧： 观察已知等式/数据的规律，从特殊值入手，分析被开方数、根的值之间的数量关系； 总结规律时，用含自然数的式子表示； 验证规律：将取具体值，代入规律式验证是否与已知一致。 【例题10】.（24-25八年级上·江西九江·月考）在数学实践活动课上，指导老师准备了一块面积为的正方形纸片（如图所示），准备给数学实践小组用来对教室重新进行装饰，现需要一块面积为的长方形纸片，数学实践小组设计如下两种方案： 方案一：沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料． 方案二：沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长与宽的比为． 请你判断实践小组设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．（参考数据：） 【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据题意分别求得两个方案中长方形的长和宽，和正方形的边长比较大小，进而即可求解． 【详解】解：给定正方形纸片的面积为，因此其边长为（因为正方形的面积等于边长的平方，即）． 对于方案一： 设裁出的长方形的长为，宽为，满足条件，同时和都必须小于等于正方形的边长． 若，则， 因此，方案一可行．此时，长方形的长为，宽为． 对于方案二： 设长方形的长为，宽为，其中．根据题目，有，解得．因为，所以． 根据题目给的参考数据， ∴，． 然而，长方形的长已经大于正方形的边长，因此方案二不可行． 【变式题10-1】.（24-25八年级上·江西鹰潭·月考）在南昌某中学科技节活动中爱探究思考的小亮，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察，可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大________倍； (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ①________；②________； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则________． 【答案】(1)10 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键． （1）根据表中的数据找出变化规律； （2）①②利用（1）中的规律进行求解； （3）类比（1）的规律，求解即可． 【详解】（1）解：被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍， 故答案为10； （2）解：由题意得，被开方数扩大或缩小100倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则算术平方根的小数点就向左或向右移动n位．即有： ， ，； （3）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小1000倍，立方根就相应的扩大或缩小10倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动n位．即有： ， ． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程 ，解得 （保留到0.001），即 ． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． 【答案】(1)，， (2)见解析， 【分析】本题考查无理数的估算，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）根据图形中大正方形的面积列方程求解即可； （2）画一个面积为的正方形，类比（1），根据图形中大正方形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，由图形面积可得， ． 因为x值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 故答案为：，，； （2）解：如图，设， 由图形面积可得，． 因为y值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得，即． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·河北邢台·期中）如何快速求解四位数的算术平方根呢？已知1764的算术平方根是一个整数，下面是嘉嘉同学求解的探究过程： ①由，，可以确定是一个_________位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是_________或_________； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则_________． (1)补全上述探究过程． (2)已知3249的算术平方根也是一个整数，仿照上述探究方法计算． (3)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，参照求解算术平方根的过程，计算59319的立方根为_________． 【答案】(1)两；2；8；42 (2) (3)39 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，理解题意，能够仿照题意的方法求算术平方根和立方根是解题的关键． （1）根据题意提供的思路和方法，进行推理验证得出答案即可； （2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可； （3）参照（1）的方法、步骤，计算立方根即可． 【详解】（1）解：①由，，可以确定是一个两位数； ②由1764的个位上的数是4，可以确定的个位上的数是2或8； ③如果划去1764后面的两位64得到数17，而，，可以确定的十位上的数是4，因为，而，所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：两；2；8；42． （2）①由，，可以确定是一个两位数； ②由3249的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去3249后面的两位49得到数32，而，，可以确定的十位上的数是5，因为，而，所以选择较大的个位数字，则． 综上所述，． （3）①由，，可以确定是一个两位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是3，则． 故答案为：39． 易错点 混淆算术平方根与平方根的表示和结果，如误将写成，或求的平方根时只写； 忽略算术平方根的双重非负性，如直接求解，未发现被开方数无意义； 开方运算时符号错误，如误将计算为，或解时只写； 化简时直接写成，忽略，未判断的正负； 无理数分类时，将化简后为有理数的数归为无理数，如误将、判断为无理数； 比较实数大小时，负数的算术平方根比较出错，如误认为。 重点 1.算术平方根、平方根、立方根的定义与性质，能熟练求解任意非负数的平方根、算术平方根和任意实数的立方根； 2.实数的分类，能准确区分有理数和无理数，掌握无理数的三种常见形式； 3.实数的相关性质，能熟练求解实数的相反数、倒数、绝对值，尤其是含无理数的情况； 4.非负数的性质，能利用、、的非负性求解未知数； 5.实数的混合运算，掌握运算顺序和法则，能准确进行开方、乘方、加减乘除混合运算； 6.平方根、立方根的实际应用，能从生活情境中建立数学模型，求解几何图形的边长、棱长等。 难点 1.算术平方根的双重非负性的综合应用，尤其是含双重根号的非负性判断； 2.无理数的估算与整数部分、小数部分的求解，含加减运算的无理数整体范围判断； 3.实数与数轴的综合化简，结合数轴判断实数正负，化简含绝对值、平方根的代数式； 4.平方根的分类讨论问题，能根据正数平方根的性质，分情况求解含参数的平方根问题； 5.实数的规律探究与定义新运算，能从特殊情况总结一般规律，将新运算转化为常规运算； 6.无理数在实际情境中的应用，能将跨学科、生活中的实际问题转化为实数的开方和运算问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根 【答案】D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是，故A选项错误； ∵ 表示的算术平方根， ∴ ，故B选项错误； ∵ 正数的平方等于时，是的算术平方根， ∴ 的算术平方根是，故C选项错误； ∵ ， ∴ 是的一个平方根，故D选项说法正确． 2．如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 3．如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数值转换机示意图，结合算术平方根定义，进行运算求值即可． 【详解】解：， ， ∴输出结果为3． 4．如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用平方根的定义分情况列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设第四个数为， ∵ 四个有理数之和的平方是， ∴ 四个有理数之和为或， ① 当四个数之和为时，，解得； ② 当四个数之和为时，，解得； ∴ 第四个数是11或7． 5．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（   ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先估算和的取值范围，确定符合条件的正整数的最小值与的取值，再计算的最小值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴的最小值为3， ∵，，且， ∴， 又∵为正整数且， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题 6．计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式． 7．已知a是的整数部分，则___ 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算．利用夹逼法求出的取值范围即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴的整数部分是7，即， 故答案为：7． 8．竖直向上抛出的物体上升的最大高度计算公式为：，其中为重力加速度，为物体抛出时的初始速度，当，时，__________米/秒． 【答案】10 【分析】根据题意，将已知条件代入计算公式，求解算术平方根即可． 【详解】解：把，代入公式中，得 解得：米/秒，（负值舍去）． 9．已知，且m为整数，则m的值为____． 【答案】4 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且为整数， ∴． 故答案为：． 10．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似的，对只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是___________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的估算，核心是理解“表示不超过的最大整数”的含义，思路为逆推法：从第三次操作的结果1出发，依次确定第二次操作、第一次操作的输入范围，最终找到满足条件的最大正整数．关键在于每次逆推时，根据取整的定义确定数的取值区间，再通过平方得到对应的整数范围． 【详解】解：设第三次操作的输入为，由，根据定义可知，两边平方得，因此的最大正整数值为3； 设第二次操作的输入为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为； 设原正整数为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为． 验证：对进行操作：，符合题意；而需4次操作变为1，不符合． 故答案为：． 三、解答题 11．求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ （2）解： ∴． 12．已知的平方根是，的立方根是2．求的算术平方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，求一个数的算术平方根，根据立方根和平方根的定义求出m、n的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∴， ∵9的算术平方根是3， ∴的算术平方根是3． 13．已知有一个平方根是3，的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，代数式的求值，掌握相关知识点是解题的关键． 根据平方根，立方根的定义列式，求出的值，代入所求的式子，即可求解． 【详解】解：有一个平方根是3，的立方根是， ，， ，， ． 14．在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)正方形区域的边长为，铁丝的总长度为 (2)铁丝不够用 【分析】本题考查算术平方根，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）求出长方形的长、宽，周长，再比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴边长为， ∴周长为，即铁丝总长度； （2）解：设长方形长为，宽为，则面积为， 解得， ∴长为，宽为， ∴周长为，铁丝总长度为， ∵，，， ∴，故铁丝不够用 15．先阅读理解： （1）； （2）； （3）； （4）． 根据你找到的规律，解决问题： (1)________； (2)________．（用含n的式子表示） 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了通过观察算式规律来解决问题． （1）先观察已知算式分析出每个算式的结果都是等于从1加到算式中最后一个数的和，根据上述规律可计算出对应的结果； （2）根据（1）中总结的规律，可推导出从1加到n的和用（首项+末项）×项数÷2可得出结论． 【详解】（1）解：中，， 中，， 中，， 中，， …… ∵， ∴． 故答案为：15． （2）解：由（1）中发现的规律可得 ． 故答案为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $