3.4函数的应用（一）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、 理解函数模型在解决实际问题中的作用 2、 掌握一次函数、二次函数、分段函数及幂函数模型的建立方法 体会数学抽象和逻辑推理的思想方法，提升数学建模和数据分析能力 重点 一次函数、二次函数、分段函数及幂函数模型的建立方法 难点 一次函数、二次函数、分段函数及幂函数模型的建立方法 新知导入 我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系．下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法． 知识清单 知识点一：函数模型 1.几类常见的函数模型： （1）一次函数模型： . （2）反比例函数模型： . （3）二次函数模型：. （4）幂函数模型： (是常数). （5）分段函数模型：以上两种或多种模型的组合. 例题讲解 例1 个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额 应纳税所得额 税率 速算扣除数①．应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额 综合所得收入额 基本减除费用 专项扣除 专项附加扣除 依法确定的其他扣除②．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元． 假定小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 ，，专项附加扣除是9 600元，依法确定其他扣除是560元，全年综合所得收入额为 （单位：元），应缴纳综合所得个税税额为 （单位：元）． （1）求 关于 的函数解析式； （2）如果小王全年的综合所得由117 600元增加到153 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 （单位：）与时间 （单位：h）的关系如图所示， （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际 含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 （单位：km）与时间 的函数解析式，并画出相应的图象． 课堂练习 1.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是( ) A.45 B.54 C.72 D.90 2.为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为( ) A.1600元 B.1680元 C.1800元 D.2250元 3.某企业为了鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水量不超过15吨，按每吨3元收费；每个月用水量超过15吨，超过部分按每吨5元收费.职工小王10月份的水费为70元，则小王10月份的实际用水量为( ) A.18吨 B.20吨 C.22吨 D.24吨 4.（多选）“双11”购物节中，某电商对顾客开展购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠： （1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠； （2）如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券； （3）如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠； （4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠。 某人购买了部分商品，则下列说法正确的是( ) A.如果购物时一次性全部付款99元，则购物总额为104元 B.如果购物总额为228元，则应付款为205.2元 C.如果购物总额为368元，则应付款为294.4元 D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元 5.某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）之间的函数关系式. （1）写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式（每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差）. （2）商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少元？ 6.若用模型描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速率x（单位：）的关系，而某种型号的汽车在速率为时，紧急刹车后滑行的距离为.在限速为的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为，那么这辆车是否超速行驶？ 课后练习 1.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩，已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花爆裂的高度是( ) A.56.6米 B.57.6米 C.58.6米 D.59.6米 2.某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是( ) A.200台 B.150台 C.100台 D.50台 3.薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系. 在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为( ) A.2.25min B.2.75min C.3.25min D.3.75min 4.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本，若使提价后的销售总收入不低于20万元，则提价后的价格至多是( ) A.4元 B.5元 C.3元 D.6元 5.（多选）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是( ) A.此时利润率最大 B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润 C.再投入1万元研发经费时利润率最大 D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润 6.（多选）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量v（单位:）与管道的半径r（单位:cm）的四次方成正比，当气体在半径为5cm的管道中时，流量为，则( ) A.当气体在半径为3cm的管道中时，流量为 B.当气体在半径为3cm的管道中时，流量为 C.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4cm D.要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 7.2024年某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研了解到，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本500万元，每生产x百台设备，需另投入成本万元，且根据市场行情，每百台设备售价为700万元，且当年生产的设备当年能全部销售完. （1）求2024年该企业年利润Z（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式. （2）当2024年的年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额-成本） 答案以及解析 知识清单 1. 例题讲解 例题1 分析：根据公式②，可得应纳税所得额 关于综合所得收入额 的解析式，再结合的解析式即可得出 关于 的函数解析式． 解：（1）由个人应纳税所得额计算公式， 可得． 令 ，得 ． 根据个人应纳税所得额的规定可知，当 时，． 所以，个人应纳税所得额 关于综合所得收入额 的函数解析式为 结合可得： 当时，，所以 ； 当时， ， 所以 ； 当时，， 所以 ； 当时，， 所以 ； 当时，， 所以 ； 当时，， 所以 ； 当时，， 所以 ； 当 时，， 所以 ． 所以，函数解析式为 （2）根据④，当 时，． 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为2 752元． 根据个人收入情况，利用上面获得的个税和综合所得收入关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税． 例题2 分析：当时间 在 内变化时，对于任意的时刻 都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据上图，在时间段 内行驶的平均速率分别为 ，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述． 解：（1）阴影部分的面积为． 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km． （2）根据上图，有 这个函数的图象如图所示． 例2的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助．因此，我们要注意提高读图能力．另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数． 课堂练习 1.答案：B 解析：某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 2.答案：B 解析：由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为 元. 故选：B. 3.答案：B 解析：小王10月份的实际用水量为（吨）. 故选：B. 4.答案：BD 解析：设购物总额为x元，应付款为y元，则，即，对于A，若，则只能是，解得，即购物总额为110元，故A不正确；对于B，当时，，即应付款为205.2元，故B正确；对于C，当时，，即应付款为324.4元，故C不正确；对于D，若，则只能是，解得，即购物总额为516元，故D正确. 故选：BD. 5.答案：（1） （2）定价为55元时，有最大利润，最大利润是507元 解析：（1）根据题意可得. （2）根据（1）得， 当时，有最大利润，最大利润是507元. 6.答案：没有超速行驶 解析：由题意知，点在函数的图象上， ，解得，， 当时，则有， 整理得，. ， 这辆车没有超速行驶. 课后练习 1.答案：B 解析：依题意，，当且仅当时取等号， 所以烟花爆裂的高度是57.6米. 故选：B. 2.答案：B 解析：要使生产者不亏本，则应满足， 整理得， 解得或(舍去)， 故最低产量是150台． 故选：B. 3.答案：C 解析：由图2知，解得，，， 所以， 所以当时，p取得最大值. 故选：C. 4.答案：A 解析：设提价后的价格为x元，则，化简得， 解得，所以提价后的价格至多是4元. 故选：A. 5.答案：BC 解析：当时，，故当时， 获得最大利润，为，故B正确，D错误. ，当且仅当，即时取等号， 此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误. 6.答案：AC 解析：依题意可设，k为常数. 当气体在半径为5cm的管道中时，流量为，所以，解得， 则.当时，，故A正确，B错误. 由，解得，故C正确，D错误. 故选：AC. 7.解析：（1）当时，； 当时，. 所以 （2）若，则，所以当时，； 若，则， 当且仅当，即时，. 因为，所以当2024年的年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元. 学科网（北京）股份有限公司 $