第三章 代数式 01讲 列代数式表示数量关系（3大知识点+7大常考考点+课后作业）2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学代数式核心知识点，系统梳理代数式的概念及书写规范、列代数式表示数量关系、正反比例关系，以及用代数式表达数与图形规律的脉络，构建从概念辨析到实际应用的学习支架。 资料通过分层设计（巩固基础+直击考点+课后作业），结合生活实例（如观光车数量、购物费用）培养模型意识，借助数与图形规律题（如五角星图案、三角形点阵）发展抽象能力和推理意识。课中辅助教师系统授课，课后多样化练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实世界的能力。

第三章 代数式 01讲 列代数式表示数量关系 目录 【知识点1. 代数式 1】 【知识点2. 列代数式 3】 【知识点3. 正反比例关系 6】 【考点1. 代数式的概念 9】 【考点2. 列代数式 10】 【考点3. 正（反）比例关系 13】 【考点4. 代数式的书写规范 15】 【考点5. 代数式的实际意义 18】 【考点6. 用列代数式表示数的规律 20】 【考点7. 用列代数式表示图形的规律 22】 【课后作业 28】 知识清单：代数式 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子就叫代数式。 单独的一个数或一个字母也是代数式。如：16n ，2a+3b ，34 ，，等。 注意：含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 巩固基础 1．在下列式子中，属于代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的定义，做题关键要掌握代数式的定义：由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母． 根据代数式的定义来判断即可． 【详解】解：A、，是等式，不是代数式，不符合题意； B、，是代数式，符合题意； C、，是不等式，不是代数式，不符合题意； D、，是等式，不是代数式，不符合题意； 故选：B． 2．下列式子中，不属于代数式的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的定义，解题的关键是熟记代数式的定义．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式，据此判断即可． 【详解】解：A．是代数式； B．是代数式； C．0是代数式； D．不是代数式． 故选：D． 3．在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查的是代数式的定义，判断每个式子是否为代数式．代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，不含等号或不等号．根据代数式的定义逐个判断即可． 【详解】解：10， 10，，，是代数式； 故选：B． 4．下列各式中，是代数式的是 __________．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 【答案】①④⑤ 【分析】本题主要考查代数式，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的概念求解即可． 【详解】解：是代数式的是①；④π；⑤． 故答案为：①④⑤． 5．下列式子：，，，，，中，是代数式的有___________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了代数式的识别，掌握代数式的定义进行判定即可求解． 代数式：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：代数式有：， 其中是等式，不是代数式， ∴代数式有5个， 故答案为：5． 知识清单：列代数式 1、列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 代数式的书写规范： 1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； 2）除法运算一般以分数的形式表示； 3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； 4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； 5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。 巩固基础 1．某校组织了师生共人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵师生共人，全部上车后还剩个位置， ∴所有租用观光车的总座位数为个， ∵每辆观光车可乘坐人， ∴租用观光车的辆数为 辆． 2．某班有女生x人，其中男生人数占全班人数的，那么全班总人数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据男生占全班的比例求出女生占全班总人数的比例，再根据女生人数计算全班总人数即可. 【详解】解：∵男生人数占全班人数的， ∴女生人数占全班总人数的比例为 ， ∵女生人数为x人，且全班总人数女生占比女生人数， ∴全班总人数为. 3．下列各选项中，能表示“x与y的和的平方增加”的结果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式． 先明确“x与y的和的平方”的表达式，再根据“增加”的含义，将原表达式乘以，根据得到的结果作答即可． 【详解】解：“x与y的和的平方”表示为， ∵“增加”即变为原数的倍，且， ∴最终结果为． 故选：D． 4．若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，用含，的式子表示这个三位数为___________ 【答案】 【分析】根据不同数位的计数单位，分别计算各数位对应的数值，再求和即可得到这个三位数。 【详解】解：已知三位数中百位数字的计数单位为，十位数字的计数单位为，个位数字的计数单位为， 故当百位数字为时，百位对应的数值为， 当十位数字为时，十位对应的数值为， 当个位数字为时，个位对应的数值为， 将三个数位的数值相加，可得这个三位数为： ． 5．如图所示，在一块长为a，宽为b的长方形草地上选取两个半径为b的扇形区域种上月季花，则剩下草地的面积为 __________ ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题关键是能够正确的表示出阴影部分的面积． 分别计算长方形的面积，扇形区域的面积，利用剩下的面积等于长方形的面积减去扇形区域的面积可得答案． 【详解】解：∵扇形的半径为b， ∴两个扇形区域的面积和为：， ∵长方形草地长为a，宽为b， ∴长方形草地的面积为：， ∴剩下草地的面积为：． 故答案为：． 知识清单：正反比例关系 1、正比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量种对应的两个数比值（商）一定，这两种量就就做正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2、反比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中对应的两个数乘积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 巩固基础 1．正方形的边长与面积（    ）． A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D.无法确定 【答案】C 【分析】本题考查正比例和反比例关系，根据两个量的乘积一定，两个量成反比例关系，两个量的比值一定，两个量成正比例关系，进行判断即可． 【详解】解：正方形的面积等于边长的平方，故正方形的面积与边长的平方成正比例，正方形的边长与面积不成比例； 故选C． 2．如表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） 7 5 14 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握反比例函数自变量、函数值的计算是关键． 反比例关系中，x与y的乘积为定值，根据已知数据求出定值，再代入求解． 【详解】解：∵ x和y成反比例， ∴ （定值）， ∴， 解得，， 故选：B． 3．下列成反比例关系的两种量（   ） A．圆柱底面积一定，体积和高 B．时间一定，路程和速度 C．长方形面积一定，长和宽 D．圆周长一定，直径和圆周率 【答案】C 【分析】本题考查了反比例关系，解题的关键是掌握反比例关系的概念． 反比例关系的概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，进行判断即可． 【详解】 解：A．圆柱体的底面积一定，体积高底面积，体积和高是正比例关系，选项说法错误，不符合题意； B． 路程公式（是时间，是速度 ），时间一定时，（比值一定），路程和速度成正比例，不是反比例，故本选项不符合题意； C． 长方形面积公式（是长，是宽 ），面积一定时，（乘积一定 ），长和宽成反比例，故本选项符合题意； D．圆周长公式（是周长，是直径 ），圆周率是定值，不是变量，所以直径和圆周率不成比例，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 4．甲地到乙地的距离为，若汽车的行驶速度为，则甲地到乙地所用时间______，甲地到乙地所用时间与汽车行驶速度成______关系．（填入正比例关系或反比例关系） 【答案】 反比例 【分析】本题考查了反比例的定义，根据，为定值，汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系， 【详解】解：甲地到乙地的距离为，若汽车的行驶速度为，则甲地到乙地所用时间，甲地到乙地所用时间与汽车行驶速度成反比例关系． 故答案为：，反比例． 5．下面各选项中，两种量成反比例关系的是__________（填序号）． ①时间一定，路程与速度；②长方体的体积一定，长方体的底面积与高； 【答案】 【分析】本题考查正（反）比例关系． 判断两种量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：：∵时间一定， ∴路程与速度的比值（即时间）为常数， ∴时间一定，路程与速度成正比例关系； ②：∵体积一定， ∴底面积与高的乘积（即体积）为常数， ∴长方体的体积一定，长方体的底面积与高成反比例关系． 故答案为：． 6．已知表格中m与n成反比例关系，则________． m 6 2 n 3 x 【答案】9 【分析】本题考查成反比例，根据两个变量的乘积为定值，两个变量成反比例关系，进行求解即可． 【详解】解：∵表格中如果与成反比例关系， ， 解得， 故答案为：9． 直击考点 【考点1：代数式的概念】 例1．下列不是代数式的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方等）把数或表示数的字母连结而成的式子，单独的一个数或字母也是代数式，根据代数式的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：、、都是代数式；不是代数式； 故选：C． 变式1．在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的定义是解题的关键； 根据代数式的定义，逐个判断即可； 【详解】解：是单独的一个数，是代数式； 是由数、字母通过运算得到的式子，是代数式； 是等式，不是代数式； 是由字母通过乘法运算得到的式子，是代数式； 是不等式，不是代数式； 0是单独的一个数，是代数式； 是由数与字母通过除法运算得到的式子，是代数式 ． ∴代数式共5个， 故选：B． 变式2．在，，2，m，，，中，代数式有___________个 【答案】5 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是关键．代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号．根据代数式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，，2，m， 是代数式，共5个；和不是代数式． 故答案为：5． 变式3.下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了代数式的，用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，据此进行判断即可求解，掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 【考点2：列代数式】 例1．某品牌电脑原价n元，降价后又降低m元，该电脑现价（单位：元）为（ ）元 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，理清降价顺序是解题关键． 根据题意，先计算降价后的价格，再减去降低的m元即可得到现价． 【详解】解：原价为n元，降价后价格为元， 又降低m元，现价为元． 故选：C． 例2. 用代数式表示“数 的与数 的差”为____________． 【答案】 【分析】根据题意确定运算顺序，先求出数 的，再计算该结果与数 的差，即可列出所求代数式． 【详解】解：由题意可知，数 的可表示为 ， ∴用代数式表示“数 的与数 的差”为． 变式1．为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，能够读懂题意是解题关键； 根据题意，逐步表示出“体音美选修课程”和“科技类选修课程”的人数． 【详解】∵参加“学科类选修课程”的人数为 人， ∴参加“体音美选修课程”的人数为 人， ∵参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的 多 5 人， ∴参加“科技类选修课程”的人数为 ． 故选：B． 变式2．如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、长方形的面积，能把阴影部分的面积用不同的代数式表示出来是解题的关键．根据图形列出代数式即可． 【详解】解：A、不能表示图中阴影部分面积，符合题意； B、阴影部分的面积等于上面两个小长方形组成的大长方形面积加上下面阴影部分的长方形面积，即，故此选项不符合题意； C、阴影部分的面积等于右边两个小长方形组成的大长方形面积加上左边阴影部分的长方形面积，即，故此选项不符合题意； D.阴影部分的面积等于大长方形的面积减去空白部分长方形的面积，即，故此选项不符合题意； 故选：A． 变式3.某校大礼堂第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多2个座位，则第n排的座位数用含有字母n的代数式表示为________． 【答案】 【分析】根据题意，每往后一排比前一排多2个座位，推导出第n排比第一排多个座位，结合第一排座位数即可得到第n排座位数的代数式． 【详解】解：由题意得， 第排比第一排多个座位， 第排比第一排多个座位， 第排比第一排多个座位，展开得， 则第排的座位数为：个． 变式4.用代数式表示 (1)a与b的和的平方； (2)x的与y的差的； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，先写出a与b的和，然后再平方即可． （2）根据题意，先写出减去，然后再乘以即可． 【详解】（1）解：a与b的和的平方，用代数式表示为：； （2）解：x的与y的差的，用代数式表示为：． 变式5.用代数式表示下列各小题． (1)边长为的正方形的周长； (2)若n表示任意一个整数，用含n的代数式表示能被5整除的整数； (3)一个两位数的个位上的数字为m，十位上的数字为n，用含m，n的代数式表示这个两位数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据正方形的周长公式即可列代数式； （2）根据能被5整除的整数特征即可列代数式； （3）根据十位上的数字乘以10，个位上数字乘以1，然后把得到的数加起来，即为所表示的是两位数． 【详解】（1）解：由题意得，边长为的正方形的周长为：； （2）解：由题意得，能被5整除的整数为：； （3）解：由题意得，这个两位数为：． 【考点3：正（反）比例关系】 例1．把一些铅笔，平均分给每个学生，每个学生分到的支数与学生人数（    ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D.无法确定 【答案】B 【分析】本题考查正比例和反比例，根据积为定值成反比例，商为定值成正比例即可解答． 【详解】解：∵铅笔总数每个学生分到的支数学生人数，其中铅笔总数为定值， ∴每个学生分到的支数与学生人数成反比例， 故选：B． 变式1．如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例，掌握相关知识是解决问题的关键．若x与y成正比例，则▲△，由此解答问题即可． 【详解】解：若x与y成正比例，则▲△， 即▲△， 故C选项不符合题意， 故选：C． 变式2．如果，x和y成________比例；如果，x和y成________比例． 【答案】 反 正 【分析】本题考查了正（反）比例关系，根据积一定成反比例关系，商一定成正比例关系，由此得解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如果，则（一定），则x和y成反比例； 如果，则（一定），x和y成正比例． 故答案为：反，正． 变式3. 判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是__________（填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 【答案】③ 【分析】本题考查反比例关系，解题的关键是掌握两个变量的乘积一定时，这两个变量成反比例关系； 根据成反比关系的定义逐项判断即可． 【详解】解：销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，故①不符合题意; 等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成反比例关系，故②不符合题意； 三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，故③符合题意； 圆的周长与它的半径成正比例关系，故④不符合题意； 故答案为：③. 【考点4：代数式的书写规范】 例1．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A、 不符合规范，应写为； 选项B、 不符合规范，应写为 ； 选项D、 不符合规范，带分数应化为假分数 ； 选项C、 符合所有书写规范， 故选C． 例2.下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 【答案】 / 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键. （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为/； 故答案为：/． （4）解：应写为； 故答案为：． 变式1．下列含有字母的式子，符合书写规范要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的书写．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A．，应该写成，故此选项错误； B．，应该写成，故此选项错误； C．符合书写规范要求，故此选项正确； D．，应该写成，故此选项错误； 故选：C． 变式2．下列四个代数式中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规范，掌握代数式的书写规范是解题的关键． 根据代数式的书写规范，数字与字母相乘时应省略乘号，除法应写成分数形式，避免使用假分数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、中乘号“×”未省略，应写为，故此选项不符合题意； B、中带分数未化为假分数，应写为，故此选项不符合题意； C、 中除号“÷”未写成分数形式，应写为，故此选项不符合题意； D、 使用指数表示，规范，此选项符合题意． 故选：D． 变式3.下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写．注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写规则，对各小题的代数式进行判断，即可求出答案． 【详解】解：（1）中分数不能为带分数，故原式书写错误； （2）数与字母相乘要数在前，字母在后并省略乘号，故原式书写错误； （3）书写正确； （4）除号应用分数线，故原式书写错误； （5）书写正确； （6）吨应加括号，故原式书写错误； 符合代数式书写要求的有2个． 故选：D． 变式4.有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有___个． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式的书写，代数式写法规则为：数字与字母相乘时，乘号省略，数字写在字母的前面，字母与字母相乘时，乘号省略，数字是带分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式含单位时要带括号； 据此解答即可． 【详解】解：①②④是符合要求的， ③应写为， ⑤应写为， ⑥应写为， 故答案为：3． 【考点5：代数式的实际意义】 例1．代数式的意义可以是（） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，掌握知识点是解题的关键． 代数式表示数字与变量x的乘法运算，即它们的乘积． 【详解】解：∵是乘法运算的简写形式，表示与x相乘， ∴的意义是与x的积． 故选C． 例2.小高去超市买学习用品，已知每支中性笔m元，每支铅笔n元，则代数式的实际意义是______________________________． 【答案】5支中性笔和3支铅笔的总钱数 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，解题的关键理解题意，根据代数式的运算关系表示实际意义． 根据代数式的运算关系，联系实际场景，表示出实际意义即可． 【详解】解：代数式的实际意义是：5支中性笔和3支铅笔的总钱数， 故答案为：5支中性笔和3支铅笔的总钱数． 变式1．甲、乙两名同学关于“代数式”意义的叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和． 乙：苹果每千克元，梨每千克元，苹果和梨各买2千克的总花费． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义，通过将叙述转化为代数式进行判断即可． 【详解】解：∵甲的叙述“x的2倍与y的和”对应代数式为，与不符， ∴甲错误； ∵乙的叙述“苹果每千克x元，梨每千克y元，苹果和梨各买2千克的总花费”对应代数式为，与给定代数式一致， ∴乙正确； ∴只有乙正确， 故选：B． 变式2．“腹有诗书气自华，最是书香能致远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（   ） A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【答案】C 【分析】本题考查代数式的含义. 根据式子得到先减去元，再打折即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 元表示：在原价的基础上减去元后再打8折， 故选：C． 变式3.代数式可以表示_______． 【答案】支单价为元的铅笔的总价（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式写出答案即可，理解代数式表示的数量关系是解题的关键． 【详解】解：代数式可以表示支单价为元的铅笔的总价， 故答案为：支单价为元的铅笔的总价．（答案不唯一） 变式4.代数式用文字语言表示为________________________． 【答案】的平方与的倒数的差 【分析】本题考查了代数式的文字语言，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据表示的平方和表示的倒数即可解答． 【详解】解：表示的平方，表示的倒数， 代数式用文字语言表示为的平方与的倒数的差， 故答案为：的平方与的倒数的差． 【考点6：用代数式表示数的规律】 例1．用你发现的规律解答下列问题：，，，探究（   ），用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，将，，，…，按照题目规律展开，最后中间全部抵消，剩首尾两项，计算可得； 【详解】解：原式 故选：B． 例2.已知一串有规律的数：，，，， 那么这串数中第8个数是______． 【答案】 【分析】解答此题的关键是根据给出的数列，找出规律，再根据规律，即可得出答案． 观察给出的数列，可得出规律：前一个分数的分子和分母的和做后一个分数的分子，前一个分数的分母和后一个分数的分子的和做后一个分数的分母；据此规律即可求出答案． 【详解】解：根据分析， 可得：，，，，，，， 所以这串数中第8个数是． 故答案为：． 变式1．已知下列一组数：1，，，，，…，则用式子表示第个数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据已知分别得出分子与分母的变化规律是解题关键．根据数字规律，分母是连续数字平方，分子是连续奇数，进而得出答案． 【详解】解：∵ ∴分母是： 分子是：   第n个数为：， 故选：B． 变式2．按一定规律排列的式子：，，，，……第n个式子是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的数字规律变化， 根据分母中a的指数变化规律，及分子中b的系数变化规律，即可得出答案． 【详解】第一个式子； 第二个式子； 第三个式子； 第四个式子， 第n个式子． 故答案为：． 变式3.观察下列式子：，，，，…根据其中的规律，第个式子是_____． 【答案】 【分析】本题考查了式子的规律探究，有理数的乘方等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键．先把前几项的形式化为一致，进而推导一般性规律即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， …， ∴第n个式子为， 故答案为：． 【考点7：用代数式表示图形的规律】 例1．如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，推算第9个图案中小五角星有（   ） A．28颗 B．27颗 C．26颗 D．25颗 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中小五角星的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知，第1个图案中小五角星的颗数为：， 第2个图案中小五角星的颗数为：， 第3个图案中小五角星的颗数为：， ， 所以第n个图案中小五角星的颗数为颗． 当时， （颗）， 故选：A． 例2.如图所示：观察下列每一组图形中点的总个数，则第个图中共有______个点． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形规律题，根据图形变化找出规律是解题的关键． 根据点的个数变化得到第个图点的个数表达式，即可解答． 【详解】解：第1个图中共有个点； 第2个图中共有个点； 第3个图中共有个点； ； ∴第个图中点的个数为：． 故答案为：． 例3.我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的小钢管的横截面图： (1)当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； (2)若按照这个规律继续堆砌小钢管，计算第25个图的钢管总数，并写出你的分析过程． 【答案】(1)3；9；18；30 (2)第25个图的钢管总数为975个，过程见解析 【分析】本题主要考查了图形规律探索，解题的关键是根据已知图形得出规律． （1）根据已知图形得出对应n的值即可； （2）根据已知图形得出一般规律，然后令，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据图形可知：当时，钢管总数为3； 当时，钢管总数为9； 当时，钢管总数为18； 当时，钢管总数为30； （2）解：设钢管总数为， 因为； ； ； ， 所以， 将代入，得， 所以第25个图的钢管总数为975个． 变式1．在日历上，某些数满足一定的规律，某年月份的日历如图所示，用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则下列说法正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中的个数相加，结果是的倍数 【答案】D 【详解】解：日历中的数字规律是：同一行中后面的数字比前面大；同一列中下面的数字比上面大． 用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则左上角数字为，故A选项错误； 左下角的数字为，故B选项错误； 右下角的数字为，故C选项错误； 综上所述方框中的四个数字和为，故D选项正确． 变式2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为 （    ） A．324 B．243 C．81 D．285 【答案】B 【分析】本题考查数字变化类规律问题，解题的关键是观察图形，找到图②和图③的关系．观察图②和图③的关系，类比可得答案． 【详解】解：观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0， ∴前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，即前8行中“1”的个数为（个）， 同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为（个）， 前32行中“1”的个数是前16行中“1“的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为（个）， 故答案为：243． 故选：B 变式3.某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为_____ 【答案】 【分析】本题主要考查图形的规律探索，掌握从前几个图形出发，仔细观察，由此得出图形的规律，然后推广到一般情况，从而求得结论，是解题的关键．观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可． 【详解】解：第1个图形有8根火柴棒，即根； 第2个图形有14根火柴棒，即根；， 第3个图形有20根火柴棒，即根 第n个图形有根火柴棒． 故答案为：． 变式4.如图，将图1中的等边三角形剪开得到图2，图2中共有4个等边三角形：将图2中的一个等边三角形剪开得到图3，图3中共有7个等边三角形；……，如此下去，则图n中共有_________个等边三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：图形的变化．根据已知图形可以发现：每次分割，都会增加3个三角形，所以可以得到此题的规律为：第n个图形中的三角形个数为：． 【详解】解：图①中共有个等边三角形， 图②中共有个等边三角形， 图③中共有个等边三角形， 故图⑤中共有个等边三角形， 图n中共有个等边三角形． 故答案为：． 变式5.如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第6行有 个点，第10行有 个点；第行有 个点； (2)猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 【答案】(1)11，19， (2) 个；不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律问题，用代数式表示， （1）根据点阵的变化特点得出规律，即可解答； （2）①根据排列得出规律，进而得出代数式；②将数值代入计算即可． 【详解】（1）第一行有1个点； 第二行有个点； 第三行有个点； 第四行有个点； 第6行有个点； 第10行有个点； 第n行有个点； 故答案为：11，19，； （2）前一行有1个点； 前二行点数和是个点； 前三行点数和是个点； 前四行点数和是个点； 前n行的点数和是； ②不能，理由如下： 根据题意可知， 解：n不是整数，所以不能． 课后作业 1．（2026·湖北·一模）为了解群众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的倍少人，若使用超市塑料袋的为人，则使用自带环保袋的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，根据题意描述的数量关系直接列出代数式即可求解． 【详解】解：∵使用超市塑料袋的人数为人，且使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的倍少人， ∴使用自带环保袋的人数为． 2．（2026·河南郑州·一模）甲种糖果每千克元，乙种糖果每千克15元，将3千克甲种糖果和千克乙种糖果混合，得到的什锦糖果的单价应为每千克（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵甲种糖果3千克，每千克元， ∴甲种糖果的总价为元 ∵乙种糖果千克，每千克元， ∴乙种糖果的总价为元 ∴混合后什锦糖果的总价格为元， 混合后什锦糖果的总质量为千克 ∴什锦糖果的单价为元每千克． 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了．如果明年还能按这个速度增长，则该企业明年的年产值能达到多少亿元？下列代数式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据去年产值和增长率求出今年产值，再按相同增长率计算明年产值，即可得到正确代数式． 【详解】解：∵去年年产值为亿元，今年比去年增长了 ∴今年的年产值为 亿元 ∵明年还按的速度增长 ∴明年的年产值为 亿元． 4．（25-26九年级下·安徽淮北·期中）下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 【答案】D 【详解】解：∵ 单独的一个数或单独的一个字母都是代数式，∴ 是代数式，A错误． ∵ 带分数与字母相乘时，应将带分数化为假分数，∴ 的书写不符合规范，应写为，B错误． ∵ 表示与的差除以的商，“与的差除”对应的代数式为，∴ C错误． ∵ 与的差可表示为，∴ D正确． 5．（25-26七年级下·广西南宁·期中）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 【答案】C 【分析】根据表格得到，根据确定两个变量成反比例，即可判断各选项． 【详解】解：由表格数据可得，， 故这个水池共有10吨水；时间t与出水速度v成反比例关系；出水速度v随着时间t的增大而减小， 故C正确，A、B、D错误． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期中）四位同学分别用四种不同的分割、剪拼方法计算下图的面积，得到以下四个代数式： Ⅰ．； Ⅱ．； Ⅲ．； Ⅳ．． 则正确的对应关系是（　　） A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B．①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ C．①-Ⅱ，②-Ⅲ，③-Ⅳ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ 【答案】C 【分析】根据图形的不同分割方式分割成几个简单图形，然后计算每个部分的面积，用代数式表示，与题目中给出的代数式进行对应，即可找出正确的匹配关系． 【详解】解：图分割成两个小长方形的面积，再求和，面积之和为，与II配对； 图分割成两个小长方形和一个小正方形的面积，再求和，面积之和为，与Ⅲ配对； 图用大长方形的面积减去左下角小长方形的面积，即，与IV配对； 图计算大长方形的面积，即，与I配对． 7．（2026·重庆大渡口·二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，．．．，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的“”个数是（    ） A．48 B．46 C．41 D．40 【答案】C 【分析】通过观察图形得出点的个数与图案序号之间的关系，归纳出通项公式，即可求解 【详解】解：第①个图案用了个“”， 第②个图案用了个“”， 第③个图案用了个“”， 第④个图案用了个“”， 第个图案用了 个“”， 则第⑧个图案用了 个“”， 8．（25-26七年级上·福建漳州·期末）数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形．他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为（    ） A． B． C．4057 D．4055 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为个，即可求解． 【详解】解：由所给图形可知， 当五边形内有1个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有2个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有3个点时，可分得的三角形的个数为：； ……； 所以当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为个， 所以当五边形内有2026个点时，可分得的三角形的个数为． 故选：D． 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）圆锥的体积一定，底面积与高成______比例关系． 【答案】反 【分析】根据圆锥体积公式推导底面积与高的关系，即可判断． 【详解】解：圆锥的体积公式为，其中为圆锥体积，为圆锥底面积，为圆锥的高， 变形可得：， 由于圆锥体积一定，则为定值，即底面积与高的乘积为定值，符合反比例的定义， 因此圆锥的体积一定，底面积与高成反比例关系． 10．（2026·河南南阳·一模）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 【答案】 【分析】分别找出系数的变化规律和的指数的变化规律，总结得到一般规律即可求解． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， ∴第个式子：． 11．（2026·山西晋中·一模）某商场销售一款运动鞋，其成本价为每双元，按成本价提高标价，然后又八折出售，则这双运动鞋的售价为________元． 【答案】 【分析】先根据成本价求出运动鞋的标价，再根据折扣规则计算实际售价，化简后得到最终结果． 【详解】解：由题意可知，成本价为元， 按成本价提高后的标价为：， 八折出售后的售价为：． 12．（2026·黑龙江佳木斯·一模）观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个部分归纳变化规律，整合后即可得到第个数的代数式． 【详解】解：符号规律：当序号为奇数时该数为正，序号为偶数时该数为负，所以符号可表示为； 分子规律：第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，所以第个数的分子为； 分母规律：第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，所以第个数的分母为； 综上，第个数为． 13．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）请用含x的式子表示图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【分析】利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图形知，图中阴影部分的面积是． 14．（25-26七年级下·山东泰安·期中）我国古代人们根据《孙子算经》“物不知数”问题改编的灯谜：大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三、大体意思是：大年三十挂彩灯，彩灯数量满足以下条件： 3个3个地数，正好数完（没有剩余）； 5个5个地数，最后剩1盏； 7个7个地数，正好数完； 8个8个地数，还差3盏（也就是数到最后一组差3盏不到8盏） 请问：这些彩灯最少有_____盏? 【答案】21 【分析】彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5．通过寻找3和7的公倍数，并结合其他条件求解． 【详解】解：由题知彩灯数量需同时满足：是3的倍数、除以5余1、是7的倍数、除以8余5． ∵彩灯数量是3和7的公倍数，即21的倍数． ∴设数量为，k为正整数．   当时，， 余1，满足题意， 余5，即缺3，满足题意， ∴这些彩灯最少有21盏． 15．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，点在边上，分别以为边作正方形和正方形．点在边上，以为边作正方形．记正方形的面积为，正方形面积为．若阴影部分的面积为，，则的值为____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了代数式，设，，先表示和的面积，再得到，结合阴影部分的面积为得出结论． 【详解】解：如图所示， 设，， 则，， ，，四边形是长方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， ， 即， ． 16．（2026·陕西西安·模拟预测）西安近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．其中偶数个苯环可视为同系物（图2），则第10个图中C原子的个数为______．（注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如图1所示） 【答案】 64 【分析】先根据前3个分子结构图中C原子的个数变化特点，可知第n个图表示的分子结构中，C原子的个数是个，再根据规律解答即可． 【详解】解：第1个图表示的分子结构中，C原子的个数是； 第2个图表示的分子结构中，C原子的个数是； 第3个图表示的分子结构中，C原子的个数是， 第n个图表示的分子结构中，C原子的个数是个， 则第10个图表示的分子结构中，C原子的个数是个． 17．（25-26七年级上·福建福州·期末）一种商品每件进价元，商家在进价的基础上增加定为售价．回答下列问题： (1)每件商品加价了多少元？售价为多少元？ (2)现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 【答案】(1)每件商品加价了元，售价为元 (2)现售价为元，每件还能盈利元 【分析】本题考查了列代数式． （1）每件商品加价了元，每件商品的售价为元； （2）由题意得：现售价为元；每件还能盈利元； 【详解】（1）解：由题意得：每件商品加价了元， 每件商品的售价为元； 答：每件商品加价了元，售价为元； （2）解：由题意得：现售价为元； 每件还能盈利元． 18．（25-26七年级上·河南商丘·期末）十一黄金周期间，郑州动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（单位：万人） (1)若9月30日的游客人数记为万人，请用含的代数式表示10月2日的游客人数； (2)请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？ (3)若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间郑州动物园门票收入是多少元，并将求得的数据用科学记数法表达出来． 【答案】(1)万人 (2)10月3日游客人数最多，是万人 (3)元 【分析】本题考查了列代数式，有理数混合运算的应用，科学记数法等知识点． （1）根据表格数据即可求解； （2）分别表示出每天的游客数量，再比较即可； （3）先求出人数，再乘以票价求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，10月1日游客人数为万人 10月2日游客人数为万人 （2）解：10月1日游客人数为万人 10月2日游客人数为万人 10月3日游客人数为万人 10月4日游客人数为万人 10月5日游客人数为万人 10月6日游客人数为万人 10月7日游客人数为万人 10月3日游客人数最多，是万人； （3）解：当时， 七天游客总人数为 （万人） 门票总收入为（元） 答：黄金周期间郑州动物园门票收入是元． 19．（2026·山东青岛·一模）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． 【探究】 (1)把分成两条相等的线段，每个小圆的周长__________； (2)把分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________； (3)把分成条相等的线段，每个小圆的周长__________； (4)当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先求出每个小圆的直径，即可解答； （2）先求出每个小圆的直径，即可解答； （3）先求出每个小圆的直径，即可解答； （4）根据大圆直径被等分，得出小圆直径为，即可解答； 【详解】（1）解：把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； （2）解：把分成三条相等的线段，每个小圆的周长； （3）解：把分成条相等的线段，每个小圆的周长； （4）解：以为直径的圆的面积为， 把分成条相等的线段，每个小圆的直径为，即每个小圆的半径为， 则每个小圆的面积， ∵ ∴． 20．（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【答案】(1) (2) (3)满足交换律，见解析 【分析】（1）观察题目给出的算式，归纳出的通用运算公式； （2）先计算括号内的，再将结果代入外层算式计算最终结果； （3）根据交换律的定义，分别计算与，验证二者是否相等． 【详解】（1）解：根据题意可知，． （2）解：， ． （3）解： ， ， ， 故满足交换律． 21．（25-26七年级上·山西长治·期末）项目学习 小明在学习了“比例的世界”之后，利用课余时间绘制自己居住房子的平面示意图如下． 主题 绘制居住房平面示意图 测量工具 卷尺、铅笔、橡皮、绘图纸 测量数据及部分测量示意图 在一个长方形图纸中绘制出自己居住房的平面示意图，图中下半部分从西向东分别是次卧、客厅、厨房，其宽度是，长分别为，，．（忽略墙体占地面积） 请根据以上测量数据，回答下列问题： (1)计算比例尺，补全示意图； (2)测量图纸得到，，计算房屋的面积． 【答案】(1)，图见详解； (2)． 【分析】此题主要考查了比例尺，列代数式，代数式求值，准确识图，熟练掌握比例尺的定义，有理数的运算，列代数式，求代数式的值是解决问题的关键． （1）根据次卧的实际宽度是，图纸上的宽度是得比例尺为，再根据次卧，客厅，厨房的实际长度计算出次卧，客厅，厨房在图纸上的长度，然后补全图形即可； （2）先求出图纸上房屋的面积为，将，代入计算出该房屋图纸上的面积，由此即可得出该房屋的实际面积． 【详解】（1）解：次卧的实际宽度是，图纸上的宽度是， 比例尺为：； 次卧的实际长度为， 次卧的在图纸上的长度为：， 客厅的实际长度为， 客厅的在图纸上的长度为：， 厨房的实际长度为， 厨房的在图纸上的长度为：， 依据上述数据补全图形如图所示： （2）依题意得：图纸上房屋的面积为：， ，， ， 该房屋的实际面积为：， 答：该房屋的实际面积为． 22．（25-26六年级上·山东济宁·期末）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务． 揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠 素材1 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完． 活动二：所有商品打8折． 注：两种活动不能同时参加．    素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．1袋清风牌纸巾共12包，超市标价40元/袋 1箱4D溶纸巾共12包，超市标价60元/箱    素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚． 问题解决 任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？ 任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为多少元？（用含x的代数式表示）． 任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程． 【答案】任务1：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱 任务2： 任务3：选择活动二更加优惠，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，方案选择，解题的关键是理解题意． 任务1：根据题意，列出算式进行计算即可； 任务2：根据题意，列出代数式即可； 任务3：根据题意，算出两种活动价格，最后进行比较即可． 【详解】解：（1）任务1 解：（包）， （袋）； （包）， （箱）， 答：需要消耗清风牌纸巾5袋，消耗4D溶纸巾3箱； （2）任务2 清风纸巾（元）， 4D纸巾，元， 故答案为：； （3）任务3 ∵清风牌纸巾已有存货1袋， ∴半年所需量要再购进4袋清风牌纸巾和3箱4D溶纸巾． 参加活动一：返券情况， ①满200元送60元券：（元）， 还需支付（元）， 实付（元）． ②满300元送90元券：（元），，无需再支付，实付300（元）． 参加活动二：当时，（元）． ∵， ∴选择活动二更加优惠． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 01讲 列代数式表示数量关系 目录 【知识点1. 代数式 1】 【知识点2. 列代数式 2】 【知识点3. 正反比例关系 3】 【考点1. 代数式的概念 4】 【考点2. 列代数式 4】 【考点3. 正（反）比例关系 6】 【考点4. 代数式的书写规范 6】 【考点5. 代数式的实际意义 7】 【考点6. 用列代数式表示数的规律 7】 【考点7. 用列代数式表示图形的规律 8】 【课后作业 10】 知识清单：代数式 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子就叫代数式。 单独的一个数或一个字母也是代数式。如：16n ，2a+3b ，34 ，，等。 注意：含有等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式． 巩固基础 1．在下列式子中，属于代数式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，不属于代数式的是（   ） A． B． C．0 D． 3．在式子：10，中，代数式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．下列各式中，是代数式的是 __________．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 5．下列式子：，，，，，中，是代数式的有___________个． 知识清单：列代数式 1、列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性。 代数式的书写规范： 1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； 2）除法运算一般以分数的形式表示； 3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； 4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式； 5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。 巩固基础 1．某校组织了师生共人来到荷花荡景区游玩，已知租用的每辆观光车可乘坐人，师生全部上车后还剩一个位置，由此可知租用的观光车的辆数为（    ）． A． B． C． D． 2．某班有女生x人，其中男生人数占全班人数的，那么全班总人数是（    ） A． B． C． D． 3．下列各选项中，能表示“x与y的和的平方增加”的结果的是（    ） A． B． C． D． 4．若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为，用含，的式子表示这个三位数为___________ 5．如图所示，在一块长为a，宽为b的长方形草地上选取两个半径为b的扇形区域种上月季花，则剩下草地的面积为 __________ ．（结果保留π） 知识清单：正反比例关系 1、正比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量种对应的两个数比值（商）一定，这两种量就就做正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2、反比例关系 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中对应的两个数乘积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 巩固基础 1．正方形的边长与面积（    ）． A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D.无法确定 2．如表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） 7 5 14 A． B． C． D． 3．下列成反比例关系的两种量（   ） A．圆柱底面积一定，体积和高 B．时间一定，路程和速度 C．长方形面积一定，长和宽 D．圆周长一定，直径和圆周率 4．甲地到乙地的距离为，若汽车的行驶速度为，则甲地到乙地所用时间______，甲地到乙地所用时间与汽车行驶速度成______关系．（填入正比例关系或反比例关系） 5．下面各选项中，两种量成反比例关系的是__________（填序号）． ①时间一定，路程与速度；②长方体的体积一定，长方体的底面积与高； 6．已知表格中m与n成反比例关系，则________． m 6 2 n 3 x 直击考点 【考点1：代数式的概念】 例1．下列不是代数式的是（   ） A． B． C． D．0 变式1．在，，，，，0，中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 变式2．在，，2，m，，，中，代数式有___________个 变式3.下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 【考点2：列代数式】 例1．某品牌电脑原价n元，降价后又降低m元，该电脑现价（单位：元）为（ ）元 A． B． C． D． 例2. 用代数式表示“数 的与数 的差”为____________． 变式1．为了进一步推进“双减”政策的落实，提升学校课后服务水平，某校开设了选修课程．参加“学科类选修课程”人，参加“体音美选修课程”的人数比“学科类选修课程”的人数多9人，参加“科技类选修课程”的人数比“体音美选修课程”人数的多5人，则参加“科技类选修课程”的人数为（   ） A． B． C． D． 变式2．如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（ ） A． B． C． D． 变式3.某校大礼堂第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多2个座位，则第n排的座位数用含有字母n的代数式表示为________． 变式4.用代数式表示 (1)a与b的和的平方； (2)x的与y的差的； 变式5.用代数式表示下列各小题． (1)边长为的正方形的周长； (2)若n表示任意一个整数，用含n的代数式表示能被5整除的整数； (3)一个两位数的个位上的数字为m，十位上的数字为n，用含m，n的代数式表示这个两位数． 【考点3：正（反）比例关系】 例1．把一些铅笔，平均分给每个学生，每个学生分到的支数与学生人数（    ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D.无法确定 变式1．如表， x与y成正比例， “△”和“▲”的组合不可能是（    ）． x 2 △ y ▲ 12 A． B． C． D． 变式2．如果，x和y成________比例；如果，x和y成________比例． 变式3. 判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是__________（填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 【考点4：代数式的书写规范】 例1．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 例2.下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）；___________ （2）；___________ （3）；___________ （4）；___________ 变式1．下列含有字母的式子，符合书写规范要求的是（　　） A． B． C． D． 变式2．下列四个代数式中，书写规范的是（   ） A． B． C． D． 变式3.下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式4.有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有___个． 【考点5：代数式的实际意义】 例1．代数式的意义可以是（） A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商 例2.小高去超市买学习用品，已知每支中性笔m元，每支铅笔n元，则代数式的实际意义是______________________________． 变式1．甲、乙两名同学关于“代数式”意义的叙述，判断正确的是（    ） 甲：的2倍与的和． 乙：苹果每千克元，梨每千克元，苹果和梨各买2千克的总花费． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 变式2．“腹有诗书气自华，最是书香能致远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（   ） A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 变式3.代数式可以表示_______． 变式4.代数式用文字语言表示为________________________． 【考点6：用代数式表示数的规律】 例1．用你发现的规律解答下列问题：，，，探究（   ），用含有的式子表示为（   ） A． B． C． D． 例2.已知一串有规律的数：，，，， 那么这串数中第8个数是______． 变式1．已知下列一组数：1，，，，，…，则用式子表示第个数（    ） A． B． C． D． 变式2．按一定规律排列的式子：，，，，……第n个式子是__________． 变式3.观察下列式子：，，，，…根据其中的规律，第个式子是_____． 【考点7：用代数式表示图形的规律】 例1．如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，推算第9个图案中小五角星有（   ） A．28颗 B．27颗 C．26颗 D．25颗 例2.如图所示：观察下列每一组图形中点的总个数，则第个图中共有______个点． 例3.我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的小钢管的横截面图： (1)当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； 当时，钢管总数为______； (2)若按照这个规律继续堆砌小钢管，计算第25个图的钢管总数，并写出你的分析过程． 变式1．在日历上，某些数满足一定的规律，某年月份的日历如图所示，用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则下列说法正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中的个数相加，结果是的倍数 变式2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为 （    ） A．324 B．243 C．81 D．285 变式3.某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为_____ 变式4.如图，将图1中的等边三角形剪开得到图2，图2中共有4个等边三角形：将图2中的一个等边三角形剪开得到图3，图3中共有7个等边三角形；……，如此下去，则图n中共有_________个等边三角形． 变式5.如图是一个三角形点阵，从上到下有无数多行，其中第一行、第二行、第三行、第四行、第五行分别有1，3，5，7，9个点，……，如此，按上述规律排列： (1)第6行有 个点，第10行有 个点；第行有 个点； (2)猜想三角形点阵前行的点数的和是多少？（用含的式子表示） 三角形点阵前行的点数的和能否为75？请简要说明理由． 课后作业 1．（2026·湖北·一模）为了解群众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的倍少人，若使用超市塑料袋的为人，则使用自带环保袋的人数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南郑州·一模）甲种糖果每千克元，乙种糖果每千克15元，将3千克甲种糖果和千克乙种糖果混合，得到的什锦糖果的单价应为每千克（） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了．如果明年还能按这个速度增长，则该企业明年的年产值能达到多少亿元？下列代数式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·安徽淮北·期中）下列说法正确的是(　　) A．是代数式，不是代数式 B．表示，，的积的代数式为 C．代数式的意义是与的差除的商 D．与的差是 5．（25-26七年级下·广西南宁·期中）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：吨 ）之间的关系如下表： 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 1.25 2 2.5 5 … A．这个水池共有20吨水 B．出水速度v随着时间t的增大而增大 C．时间t与出水速度v成反比例关系 D．时间t与出水速度v成正比例关系 6．（25-26七年级下·陕西西安·期中）四位同学分别用四种不同的分割、剪拼方法计算下图的面积，得到以下四个代数式： Ⅰ．； Ⅱ．； Ⅲ．； Ⅳ．． 则正确的对应关系是（　　） A．①-Ⅳ，②-Ⅱ，③-Ⅰ，④-Ⅲ B．①-Ⅱ，②-Ⅳ，③-Ⅲ，④-Ⅰ C．①-Ⅱ，②-Ⅲ，③-Ⅳ，④-Ⅰ D．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ 7．（2026·重庆大渡口·二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，．．．，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的“”个数是（    ） A．48 B．46 C．41 D．40 8．（25-26七年级上·福建漳州·期末）数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形．他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为（    ） A． B． C．4057 D．4055 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）圆锥的体积一定，底面积与高成______比例关系． 10．（2026·河南南阳·一模）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为___________． 11．（2026·山西晋中·一模）某商场销售一款运动鞋，其成本价为每双元，按成本价提高标价，然后又八折出售，则这双运动鞋的售价为________元． 12．（2026·黑龙江佳木斯·一模）观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 13．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）请用含x的式子表示图中阴影部分的面积是__________． 14．（25-26七年级下·山东泰安·期中）我国古代人们根据《孙子算经》“物不知数”问题改编的灯谜：大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺三、大体意思是：大年三十挂彩灯，彩灯数量满足以下条件： 3个3个地数，正好数完（没有剩余）； 5个5个地数，最后剩1盏； 7个7个地数，正好数完； 8个8个地数，还差3盏（也就是数到最后一组差3盏不到8盏） 请问：这些彩灯最少有_____盏? 15．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，点在边上，分别以为边作正方形和正方形．点在边上，以为边作正方形．记正方形的面积为，正方形面积为．若阴影部分的面积为，，则的值为____．（用含的代数式表示） 16．（2026·陕西西安·模拟预测）西安近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．其中偶数个苯环可视为同系物（图2），则第10个图中C原子的个数为______．（注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如图1所示） 17．（25-26七年级上·福建福州·期末）一种商品每件进价元，商家在进价的基础上增加定为售价．回答下列问题： (1)每件商品加价了多少元？售价为多少元？ (2)现在由于库存积压，商家按原售价的9折出售，现售价为多少元？每件还能盈利多少元？ 18．（25-26七年级上·河南商丘·期末）十一黄金周期间，郑州动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（单位：万人） (1)若9月30日的游客人数记为万人，请用含的代数式表示10月2日的游客人数； (2)请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？ (3)若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间郑州动物园门票收入是多少元，并将求得的数据用科学记数法表达出来． 19．（2026·山东青岛·一模）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长． 【探究】 (1)把分成两条相等的线段，每个小圆的周长__________； (2)把分成三条相等的线段，每个小圆的周长__________； (3)把分成条相等的线段，每个小圆的周长__________； (4)当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积与大圆的面积的关系是：__________． 20．（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… (1)请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） (2)计算：； (3)有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 21．（25-26七年级上·山西长治·期末）项目学习 小明在学习了“比例的世界”之后，利用课余时间绘制自己居住房子的平面示意图如下． 主题 绘制居住房平面示意图 测量工具 卷尺、铅笔、橡皮、绘图纸 测量数据及部分测量示意图 在一个长方形图纸中绘制出自己居住房的平面示意图，图中下半部分从西向东分别是次卧、客厅、厨房，其宽度是，长分别为，，．（忽略墙体占地面积） 请根据以上测量数据，回答下列问题： (1)计算比例尺，补全示意图； (2)测量图纸得到，，计算房屋的面积． 22．（25-26六年级上·山东济宁·期末）国庆期间，某超市各个区域都有促销活动，晓琳一家去逛该超市，准备购买纸巾，根据以下素材，探索完成任务． 揭秘超市促销：送券和打折哪个更优惠 素材1 纸巾区域推出两种活动： 活动一：购物满100元送30元券，满200元送60元券，…，上不封顶，送的券当天有效，一次性用完． 活动二：所有商品打8折． 注：两种活动不能同时参加．    素材2 晓琳家用的两种纸巾信息（超市标价）．1袋清风牌纸巾共12包，超市标价40元/袋 1箱4D溶纸巾共12包，超市标价60元/箱    素材3 晓琳家平均三天用1包清风牌纸巾，平均五天用1包4D溶纸巾；晓琳家清风牌纸巾还有1袋存货，4D溶纸巾存货不清楚． 问题解决 任务1 半年（按180天计算），试求出需要消耗清风牌纸巾多少袋？消耗4D溶纸巾多少箱？ 任务2 按存半年的量计算，还需要购买2种纸巾，其中4D溶纸巾x箱，若选择活动二，则所需的总费用为多少元？（用含x的代数式表示）． 任务3 晓琳突然想起4D溶纸巾没有存货，按半年所需量，请探索送券和打折哪个更优惠？并写出探索过程． 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $