第12讲 解一元一次方程 2026-2027学年人教版七年级数学上册暑假预习讲义（知识点+题型精讲）

第12讲 解一元一次方程 目录 知识点1 解一元一次方程的核心思想 2 知识点2 解一元一次方程标准五步（必考流程） 2 知识点3 移项法则 2 知识点4 含参数一元一次方程解的基础关系 2 知识点5 简单绝对值方程定义与解法原理 2 题型1 解一元一次方程——合并同类项与移项 3 题型2 解一元一次方程——去括号 3 题型3 解一元一次方程——去分母 4 题型4 已知一元一次方程的解求参数 4 题型5 一元一次方程解的关系 6 题型6 绝对值方程 6 1. 知识目标：熟练掌握解一元一次方程的完整步骤（合并同类项、移项、去括号、去分母），理解每一步变形的理论依据（等式性质）。 2. 能力目标：能规范、快速求解各类基础一元一次方程；掌握已知方程解求参数、方程解的关系类题型解法；学会基础绝对值方程的求解思路。 3. 素养目标：养成规范步骤、严谨运算的习惯，掌握化繁为简的转化思想，规避解方程常见符号、漏乘、漏项易错点。 知识点1 解一元一次方程的核心思想 核心思想：化繁为简、逐步归项，把复杂方程一步步变形为 的最简形式。所有变形均依据等式的基本性质，保证等式两边始终相等。 知识点2 解一元一次方程标准五步（必考流程） 步骤顺序不可乱：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 1. 去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母； 2. 去括号：依据去括号法则，正不变、负全变； 3. 移项：含未知数项移左边，常数项移右边，移项必变号； 4. 合并同类项：化为 最简标准式； 5. 系数化为1：两边同除以未知数系数，得 。 知识点3 移项法则 把方程中的某一项从等式一边移到另一边，符号必须改变。依据等式性质1，目的是分离未知数项与常数项。 口诀：移左移右、正负互换；同侧移动、符号不变。 知识点4 含参数一元一次方程解的基础关系 对于一元一次方程 ：有唯一解 ；题目若给出解的数值、解互为相反数、解相同等条件，均可代入构造等式求参数。 知识点5 简单绝对值方程定义与解法原理 形如 的方程为基础绝对值方程。利用绝对值定义：绝对值等于正数的数有两个，互为相反数；绝对值等于0只有一解；右边小于0则无解。 题型1 解一元一次方程——合并同类项与移项 解题技巧：1. 先归类：区分含未知数项与常数项，同侧同类项先合并；2. 规范移项：跨等号移动必须变号，杜绝漏变、错变符号；3. 合并化简：分别合并左右同类项，化为 形式；4. 系数化1：两边同除系数，算出最终解；5. 验算：简单代入检验左右是否相等。 高频易错：移项不变号、正数移项变负不彻底、合并同类项计算失误。 【典例1】．解方程： 【变式1】．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2】．解方程或解比例式 (1) (2) (3) (4) 【变式3】．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型2 解一元一次方程——去括号 解题技巧：1. 先判符号：括号前为正，内部不变号；括号前为负，内部全部变号；2. 有系数先分配：括号前有数字系数，必须逐项相乘，杜绝漏乘；3. 由内到外：多层括号先去小括号、再去中括号；4. 去完括号再移项、合并、化系数，步骤不乱；5. 负数、分数系数重点检查符号。 秒杀口诀：正去不变，负去全变，有系数全乘遍。 【典例2】．解方程： 【变式1】．解方程：． 【变式2】．解方程：． 【变式3】．解方程：． 题型3 解一元一次方程——去分母 解题技巧：1. 找公分母：求出所有分母的最小公倍数；2. 全员同乘：方程每一项都乘公分母，不含分母的常数项绝不遗漏；3. 分母全部消去，化为整数系数整式方程；4. 后续按去括号、移项、合并、化1完整步骤解题；5. 分母为负数时，统一调整符号，避免符号混乱。 最大易错点：去分母时常数项漏乘最小公倍数，是学生最易丢分点。 【典例3】．解下列方程： 【变式1】．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．解方程：． 【变式3】．计算下列各式： (1)； (2)． 题型4 已知一元一次方程的解求参数 解题技巧：1. 代入：把已知方程的解代入含参数原方程；2. 消元：原未知数替换为具体数值，只剩参数为未知量；3. 整理：整理为关于参数的新一元一次方程；4. 求解：规范解方程算出参数值；5. 校验：保证原方程仍为一元一次方程（二次项系数、参数取值合规）。 核心原理：方程的解一定满足原方程，代入即可构造等式。 【典例4】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 【变式2】．阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【变式3】．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 题型5 一元一次方程解的关系 解题技巧：1. 常见条件：两解相等、两解互为相反数、两解的和/差/积为定值；2. 先解方程：分别表示出两个含参数方程的解；3. 按条件列等式：相等直接等、相反数和为0、按题干和差关系列式；4. 求解参数并检验；5. 整体代换：无需单独求解时，可利用整体关系简化运算。 常用结论：两解互为相反数 ⇔ 解的和=0；两解相等 ⇔ 对应式子相等。 【典例5】．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2】．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【变式3】．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 题型6 绝对值方程 解题技巧（分类三情况）：针对 型方程：1. 当 ： 或 ，得到两个解；2. 当 ：，仅有一个解；3. 当 ：绝对值非负，直接判定无解；4. 解出结果后必须检验，舍去使绝对值内部无意义的增根。 易错提醒：正数右边忘记双解、负数右边强行求解、遗漏检验步骤。 【典例6】．如果，那么（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【变式2】．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【变式3】．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 1．方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 3．代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 4．已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 6．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 7．数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学：“我发现，当正整数m取最大值时， ；当正整数m取最小值时，” 给出下列三个结论：① ；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．根据甲、乙两人的对话，上述结论中，正确的是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 8．小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 9．已知单项式与是同类项，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 10．已知两个整式．将M加上N减去3后求一半得到结果，此操作记作第1次求半操作；将第1次求半操作的结果加上N减去3后求一半得到结果，记作第2次求半操作；将第2次求半操作的结果加上减去3后求一半得到结果，记作第3次求半操作；将第3次求半操作的结果加上减去3后求一半得到结果，记作第4次求半操作，，以此类推，以下三个说法中正确的个数有（　　） ①第2026次求半操作后的结果； ②若关于x的方程有无数个解，则； ③关于x的方程的整数解有1002个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．已知关于的方程的解是，则__________． 12．若有理数，同时满足，，则的值为________ 13．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 14．若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 15．根据如图所示的程序计算方程中y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是______． 16．解方程： (1) (2) 17．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 42．在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 18．定义：若有理数、满足等式，则称、是“完美有理数对”，记作．如：数对，都是“完美有理数对”． (1)通过计算判断数对，是不是“完美有理数对”； (2)若是“完美有理数对”，求的值； (3)若是“完美有理数对”，求代数式的值． 19．探索与表达规律： (1)【观察发现】 将连续奇数1，3，5，7，9，…，排成如图1所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和S与中间数a之间的关系式为______； (2)【变式探究】 如图2所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间是否还有图1中的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3所示的数表，若表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17． ①表示的数为______； ②在数表中的T字形框上下左右移动，T字形框中的四个数之和能否等于256．若能，求出四个数中的最大数；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 解一元一次方程 目录 知识点1 解一元一次方程的核心思想 2 知识点2 解一元一次方程标准五步（必考流程） 2 知识点3 移项法则 2 知识点4 含参数一元一次方程解的基础关系 2 知识点5 简单绝对值方程定义与解法原理 2 题型1 解一元一次方程——合并同类项与移项 3 题型2 解一元一次方程——去括号 6 题型3 解一元一次方程——去分母 8 题型4 已知一元一次方程的解求参数 10 题型5 一元一次方程解的关系 13 题型6 绝对值方程 16 1. 知识目标：熟练掌握解一元一次方程的完整步骤（合并同类项、移项、去括号、去分母），理解每一步变形的理论依据（等式性质）。 2. 能力目标：能规范、快速求解各类基础一元一次方程；掌握已知方程解求参数、方程解的关系类题型解法；学会基础绝对值方程的求解思路。 3. 素养目标：养成规范步骤、严谨运算的习惯，掌握化繁为简的转化思想，规避解方程常见符号、漏乘、漏项易错点。 知识点1 解一元一次方程的核心思想 核心思想：化繁为简、逐步归项，把复杂方程一步步变形为 的最简形式。所有变形均依据等式的基本性质，保证等式两边始终相等。 知识点2 解一元一次方程标准五步（必考流程） 步骤顺序不可乱：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 1. 去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母； 2. 去括号：依据去括号法则，正不变、负全变； 3. 移项：含未知数项移左边，常数项移右边，移项必变号； 4. 合并同类项：化为 最简标准式； 5. 系数化为1：两边同除以未知数系数，得 。 知识点3 移项法则 把方程中的某一项从等式一边移到另一边，符号必须改变。依据等式性质1，目的是分离未知数项与常数项。 口诀：移左移右、正负互换；同侧移动、符号不变。 知识点4 含参数一元一次方程解的基础关系 对于一元一次方程 ：有唯一解 ；题目若给出解的数值、解互为相反数、解相同等条件，均可代入构造等式求参数。 知识点5 简单绝对值方程定义与解法原理 形如 的方程为基础绝对值方程。利用绝对值定义：绝对值等于正数的数有两个，互为相反数；绝对值等于0只有一解；右边小于0则无解。 题型1 解一元一次方程——合并同类项与移项 解题技巧：1. 先归类：区分含未知数项与常数项，同侧同类项先合并；2. 规范移项：跨等号移动必须变号，杜绝漏变、错变符号；3. 合并化简：分别合并左右同类项，化为 形式；4. 系数化1：两边同除系数，算出最终解；5. 验算：简单代入检验左右是否相等。 高频易错：移项不变号、正数移项变负不彻底、合并同类项计算失误。 【典例1】．解方程： 【答案】 【详解】解：， ， 【变式1】．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：， 移项，得：， 解得：； （2）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）解：， 移项，得：， 合并同类项得：； （4）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （5）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （6）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：. 【变式2】．解方程或解比例式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1； （2）移项，合并同类项，系数化成1； （3）两内项积等于两外项积，计算化简； （4）两内项积等于两外项积，计算化简． 【详解】（1）解：， 移项得：， 化简得：， 系数化为1得：． （2）解：， 移项得：， 化简得：， 系数化为1得：​， 即． （3）解：， 由比例性质得：， 计算得：， 解得：（或写为​）． （4）解：， ​由比例性质得：， 计算得：， ​解得：． 【变式3】．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （3）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 题型2 解一元一次方程——去括号 解题技巧：1. 先判符号：括号前为正，内部不变号；括号前为负，内部全部变号；2. 有系数先分配：括号前有数字系数，必须逐项相乘，杜绝漏乘；3. 由内到外：多层括号先去小括号、再去中括号；4. 去完括号再移项、合并、化系数，步骤不乱；5. 负数、分数系数重点检查符号。 秒杀口诀：正去不变，负去全变，有系数全乘遍。 【典例2】．解方程： 【答案】 【分析】先去括号，再移项合并同类项，把x的系数化为1即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把的系数化为1，得． 【变式1】．解方程：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】．解方程：． 【答案】 【分析】按照解一元一次方程的一般步骤，本题先利用去括号法则去掉方程左侧的括号，再通过移项将含未知数的项移到方程的一侧，常数项移到另一侧，移项依据是等式的基本性质1，移项后合并同类项．最后将未知数的系数化为1，依据是等式的基本性质2，得到方程的解． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把系数化为1，得． 【变式3】．解方程：． 【答案】 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型3 解一元一次方程——去分母 解题技巧：1. 找公分母：求出所有分母的最小公倍数；2. 全员同乘：方程每一项都乘公分母，不含分母的常数项绝不遗漏；3. 分母全部消去，化为整数系数整式方程；4. 后续按去括号、移项、合并、化1完整步骤解题；5. 分母为负数时，统一调整符号，避免符号混乱。 最大易错点：去分母时常数项漏乘最小公倍数，是学生最易丢分点。 【典例3】．解下列方程： 【答案】 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 整理得，， 解得：． 【变式1】．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2】．解方程：． 【答案】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的解方程步骤即可得到结果． 【详解】解：方程两边同乘去分母，得 ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为，得 ． 【变式3】．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：整理得 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型4 已知一元一次方程的解求参数 解题技巧：1. 代入：把已知方程的解代入含参数原方程；2. 消元：原未知数替换为具体数值，只剩参数为未知量；3. 整理：整理为关于参数的新一元一次方程；4. 求解：规范解方程算出参数值；5. 校验：保证原方程仍为一元一次方程（二次项系数、参数取值合规）。 核心原理：方程的解一定满足原方程，代入即可构造等式。 【典例4】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 【变式1】．若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据“奇异方程”的定义得到方程的解，再将解代入原方程得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元一次方程是“奇异方程”， 根据定义可得方程的解， 将代入原方程得： ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【变式2】．阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①是；②6 (2)34或18 【分析】（1）①先求出各个方程的解，再根据“值1方程”的定义进行判断即可； ②先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值2方程”的定义得出，去掉绝对值符号求出a的值即可． 【详解】（1）①解：方程的解为，方程的解为， ， ∴方程和方程是 “值1方程”． ②解：方程的解为，的解为， ， ∴方程和方程是 “值6方程”． （2）解：∵， ∴． 解得． ∵，解得． ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴． ∴． 当时，． 当时，． ∴a的值为34或18． 【变式3】．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 题型5 一元一次方程解的关系 解题技巧：1. 常见条件：两解相等、两解互为相反数、两解的和/差/积为定值；2. 先解方程：分别表示出两个含参数方程的解；3. 按条件列等式：相等直接等、相反数和为0、按题干和差关系列式；4. 求解参数并检验；5. 整体代换：无需单独求解时，可利用整体关系简化运算。 常用结论：两解互为相反数 ⇔ 解的和=0；两解相等 ⇔ 对应式子相等。 【典例5】．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题中“衍生值”的定义列方程求解，再由无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，列方程组求解即可． 【详解】解：∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵二次多项式和的“衍生值”都相等， ∴，即， ∵无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等， ∴，解得， ∴． 【变式1】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 【变式2】．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【答案】22 【详解】解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． 【变式3】．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， ， ， ； （3）解：两个方程是“友好方程”，其中一个解为， 另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为或． 题型6 绝对值方程 解题技巧（分类三情况）：针对 型方程：1. 当 ： 或 ，得到两个解；2. 当 ：，仅有一个解；3. 当 ：绝对值非负，直接判定无解；4. 解出结果后必须检验，舍去使绝对值内部无意义的增根。 易错提醒：正数右边忘记双解、负数右边强行求解、遗漏检验步骤。 【典例6】．如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 【变式1】．若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】由，可知，得出，把代入得：，即，然后分两种情况求出x的值，再求出y的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴可化为， 把代入得：，即， 当时，，则即：，解得与不符，舍去； 当时，，则即：，解得，符合， 当时，则， ∴． 【变式2】．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 【变式3】．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【答案】(1)； (2)①或；②； (3)； (4)①；②，； 【分析】（1）数轴上两个点所表示的数的差的绝对值即为两点之间的距离； （2）①解绝对值方程即可；②根据题意得到，再根据与的距离是，得到在和之间，即可得解； （3）根据题意求出折叠点对应的数是，即可得解； （4）①根据题意求出折叠点对应的数是，即可得解；②设点表示的数是，则点表示的数是，根据①所得折叠的点表示的数求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； （2）解：①若，则或， 解得：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ， 与的距离是， ， 是整数， 的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为； （3）解：表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合； （4）解：①表示的点和 表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得：， 点表示的数是，点表示的数是． 1．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ． 2．解方程，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是6， ∴给方程两边同时乘以6去分母，可得：， 化简得． 3．代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到的值. 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . 4．已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先根据多项式加减法则化简和，再逐个验证三个说法的正确性，即可求解． 【详解】解：∵，， 故， ， ， ； ， ， ， ； ①若，即， 解得；故①说法正确． ②， ， ； 若的值与的值无关，则含项的系数为， 即，， 解得，， ∴，故②说法正确． ③， ， ， 整理得， 故， ∴； ∵是正整数，是整数， 故的值可以是、、， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 符合条件的整数的值有个，故③说法正确． 综上，个说法都正确． 5．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解． 【详解】解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 6．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（     ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意得出，，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∵在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026， ∴， ∴， 解得． 7．数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学：“我发现，当正整数m取最大值时， ；当正整数m取最小值时，” 给出下列三个结论：① ；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．根据甲、乙两人的对话，上述结论中，正确的是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先整理原方程，结合一元一次方程有唯一解的条件，代入已知解得到m与n的关系，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：整理原方程，移项得：， ∵ 方程有唯一解， ∴ ，即 ， 将代入化简后的方程，得 ，整理得 ， 验证结论①：若 ，代入得 ，解得，与矛盾， ∴ ，①正确； 验证结论②：根据乙的描述，正整数取最小值时，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最小值为，不是 ， ∴ ②错误； 验证结论③：根据乙的描述，正整数取最大值时 ，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最大值为 ， ∵ 是正整数，且 ， ∴ 满足条件的为 ，共个，③正确； 综上，正确结论为①③． 8．小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】解：把，代入方程，得●， ∴●. 9．已知单项式与是同类项，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据同类项的定义求出a和b的值，再代入一元一次方程求解即可，用到同类项定义和一元一次方程的解法． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴， 解得：， ∴关于x的方程， 解得：． 10．已知两个整式．将M加上N减去3后求一半得到结果，此操作记作第1次求半操作；将第1次求半操作的结果加上N减去3后求一半得到结果，记作第2次求半操作；将第2次求半操作的结果加上减去3后求一半得到结果，记作第3次求半操作；将第3次求半操作的结果加上减去3后求一半得到结果，记作第4次求半操作，，以此类推，以下三个说法中正确的个数有（　　） ①第2026次求半操作后的结果； ②若关于x的方程有无数个解，则； ③关于x的方程的整数解有1002个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】先计算前几次操作结果，归纳出的一般规律，再分别验证三个说法的正确性． 【详解】解：已知，，计算前几次结果找规律： ∵ ∴归纳得对任意正整数，． 验证①： ∵， ∴①正确． 验证②： 代入规律得， 左边， 右边， 方程有无数个解，则对应系数相等，得， ∴②正确． 验证③： 代入得原方程为， 分区间讨论得： 第1种情况：当时： 原方程可化为 ， 即，该等式不成立， ∴当时，方程无解； 第2种情况：当时： 原方程可化为 ， ∴， ∴(符合区间条件)． 第3种情况：当时： ∵， ∴（等式恒成立）． 此区间内整数解为，共1001个． 第4种情况：当时， 原方程可化为 ， ∴， ∴(不在此区间，舍去)． 第5种情况：当时： 原方程可化为 ， ∴， 即，该等式不成立， ∴当时，方程无解； 综上，整数解为，共1002个，故说法③正确． ∴正确个数为3个． 11．已知关于的方程的解是，则__________． 【答案】1 【分析】明确方程的解的定义，因为方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以可以将．代入原方程．代入后得到只含有未知数的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法求解的值． 【详解】解：∵方程的解是， ∴可以将代入原方程： ， 化简计算： ， ， ． 12．若有理数，同时满足，，则的值为________ 【答案】 【分析】根据，可知，进而消去b，得到，分情况讨论求出a的值，进而得到b的值，可知的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，， 解得：； 当时，，无解； 综上所述，， ∴， ∴． 13．定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程． 【详解】解：解方程得， 互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为， 方程的“方程”的解为， 满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）． 14．若，且，则关于x的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】先根据，判断异号，求出的值，再将代入给定的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 异号， 分两种情况讨论， 当时， ， 当时， ， 综上可得， 将代入原方程得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为得，． 15．根据如图所示的程序计算方程中y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是______． 【答案】18 【分析】将代入中求出，再将代入中即可求解． 【详解】解：当时，则， 解得， 当时，则 ∴输出y的值是18． 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 17．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) 【分析】理解“成双方程”的新定义，先求出已知方程的解，再根据定义得到待求方程的解，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据“成双方程”的定义，所求方程的解为， ∴满足条件的一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解：，解得：， ∵方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程，得， 整理得：， 解得：． 18．在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 【答案】(1) ；； (2) 【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果． （2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 变形为，是将分子分母同时扩大为原来的倍． 原方程变形为，是将等式两边同时乘或，也可同时除以得到， 因此对应结果为，或，． （2）解：选择嘉嘉的解法进行计算 原方程变形得： 两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 若选择淇淇的解法，过程如下： 原方程变形得： 两边同乘12去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得：． 19．定义：若有理数、满足等式，则称、是“完美有理数对”，记作．如：数对，都是“完美有理数对”． (1)通过计算判断数对，是不是“完美有理数对”； (2)若是“完美有理数对”，求的值； (3)若是“完美有理数对”，求代数式的值． 【答案】(1)是“完美有理数对”， 不是“完美有理数对” (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，一元一次方程，解答本题的关键是会用新定义解答问题． （1）根据“完美有理数对”定义进行判断，即可； （2）根据新定义可得关于的一元一次方程，再解方程即可； （3）根据“完美有理数对”的定义得出，再代入原式计算即可 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“完美有理数对”； ∵，，而 ∴不是“完美有理数对”； （2）解：∵是“完美有理数对” ∴， 解得：， ∴m的值为 （3）解：∵是“完美有理数对” ∴， ∴ ， ∴ ． 20．探索与表达规律： (1)【观察发现】 将连续奇数1，3，5，7，9，…，排成如图1所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和S与中间数a之间的关系式为______； (2)【变式探究】 如图2所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间是否还有图1中的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3所示的数表，若表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17． ①表示的数为______； ②在数表中的T字形框上下左右移动，T字形框中的四个数之和能否等于256．若能，求出四个数中的最大数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)还有图1中的关系，理由见解析 (3)①55 ②四个数之和不能等于256，理由见解析 【分析】（1）根据图形，表示出各数，列出关系式即可； （2）根据图形，表示出各数，列出关系式即可； （3）①根据规律找出数据； ②假设出中间数据，表示出其余数据，然后根据总数列出方程，进行验证即可． 【详解】（1）解：∵中间数a， ∴其余4个数为， ∴； （2）解：还有图1中的关系，理由如下： 令中间的数为，和为，则其余4个数为， ∴， ∴还有图1中的关系； （3）解：①表示的数为第5行第4个数是55； ②四个数之和不能等于256，理由如下： 假设T字形框中间的数为，和为，则其余3个数为， ∴， 当时， 解得， ∵，， ∴61位于第一列，无法满足T字形框，不符合题意， ∴四个数之和不能等于256． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $