5.4三角函数的图像与性质----2026年新高一数学人教A版必修一暑假预习成果检测

**基本信息** 聚焦三角函数图像与性质，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一概念到复杂问题的递进，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|图像识别、值域、单调性等单一概念|单选1-6题，直接应用定义与公式，如由图像求参数| |提升层|对称中心、零点、图像判断等综合应用|单选7-8题、多选题、填空题，需结合图像与性质推理，如零点个数讨论| |综合层|作图、性质整合、方程求解等复杂问题|解答题15-19题，通过五点作图、含参问题等，培养数学表达与问题解决能力|

2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----5.4三角函数的图像与性质 一、单选题 1．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）    A． B． C． D． 2．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．在下列区间中是函数的一个递增区间的是（   ） A． B． C． D． 4．要得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 5．已知点是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则=（   ） A． B． C．1 D．2 7．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知函数，则（   ） A．的一个周期为 B．的定义域为 C．是增函数 D． 10．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D． 11．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．函数的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．点是图象的一个对称中心 D．点是图象的一个对称中心 三、填空题 12．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则_______________．    13．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是______． 14．若函数的单调递减区间是__________. 四、解答题 15．已知函数． (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； (2)若，求． (3)若，求的单调递减区间和对称轴． 16．已知函数，且． (1)求的最小正周期和的值； (2)求在区间上的最大值和最小值； 17．已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 18．已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)函数，求在区间上的值域． 19．已知函数. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程 (2)求函数在的单调递增区间； (3)当时，求函数的最大值与最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----5.4三角函数的图像与性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A C B C A AD BCD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】利用三角函数的图像性质求出，从而得出结论. 【详解】由图知的最小正周期，所以. 又，所以. 因为，所以，所以. 故选：D. 2．C 【分析】令，结合二次函数的性质求函数的值域. 【详解】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C 3．B 【分析】利用余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】依题意，函数； 由，，得，， 所以函数的单调递增区间是； 当时，，又，所以函数在单调递增，故B正确； 函数在，上单调递减，在上不单调，故ACD均错误. 故选：B. 4．A 【分析】先把目标函数变形为与原函数结构相似的形式，再利用三角函数图象平移规律确定平移方向和单位． 【详解】， 由到，需要向右平移个单位， 故选：A． 5．C 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：C. 6．B 【分析】求出的值即可求解. 【详解】由题可得：, 所以， 故选：B 7．C 【分析】利用余弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】当时，， 由题意函数在区间上恰好有3个零点， 则根据余弦函数的图象与性质知，结合解得， 即的取值范围是. 故选：C 8．A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数在时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数，令，解得且， 所以的定义域为， 又， 所以为奇函数，则函数图像关于原点对称，故排除B、D； 当时，，，，所以，故排除C. 故选：A 9．AD 【分析】利用周期的定义可判断A，由正切函数的定义域可判断B，由正切函数的单调性可判断C，结合单调性可判断D. 【详解】因为，所以的一个周期为，A正确； 由，解得，所以的定义域为，B错误； 不能说正切函数在定义域内是增函数，C错误； 由，解得，当时，可得在上单调递增，所以，D正确． 故选：AD 10．BCD 【分析】利用偶函数的定义即可判断A；证明即可判断B；利用复合函数的单调性和单调性的性质即可判断C；求出即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，， ， 所以是偶函数，故A错误； 对于B，， 所以函数图象关于直线对称，故B正确； 对于C， 函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递减， 函数在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递减，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11．AC 【分析】对于A，由图可得，从而可求出周期，对于B，由周期求出，将代入解析式中可求出，从而可求出，然后将代入验证即可，对于C，将代入验证，对于D，将代入验证即可. 【详解】设的最小正周期为，由题中图象可知，解得，故A正确． 因为，所以，解得．由题图可知，故． 将点的坐标代入解析式化简得， 因为，所以，解得，故． 当时，，则点是函数图象的对称中心， 则直线不是图象的对称轴，故B错误． 当时，，则点是函数图象的对称中心，故C正确． 当时，，则点不是函数图象的对称中心，故D错误． 故选：AC． 12． 【分析】根据点为零点，点为函数的最小值点，依图可得两点横坐标之差为个周期，据此可求周期及，再利用最小值点坐标代入可求. 【详解】由图象可知：，解得， 所以，解得. 将代入得， 所以，即， 因为，所以，． 故答案为：． 13． 【分析】由题意得到，求解不等式即可. 【详解】当时，， 当时，， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 所以， 解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 14．. 【分析】根据正弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数，令， 要求的单调递减区间，则是求的单调递增区间. 那么有，解得. 所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 15．(1)填表见解析；作图见解析； (2)或； (3)单调递减区间为，；对称轴为，. 【分析】（1）根据函数解析式，完善题干的表格，应用五点法画出函数图象； （2）由已知，可得，再根据同角三角函数的平方关系，即可求解； （3）根据题意，先求得函数的解析式，再由正弦型函数的性质及整体法求得函数的单调递减区间和对称轴． 【详解】（1）根据题意，列表得       再描点，得图象如下， （2）根据题意，，且， 解得， 又， 解得或 . （3）根据题意，，且， 则， 根据正弦函数的图像性质，令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. 16．(1)； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，求得，由，得到，结合，求得的值； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 因为，可得，即， 又因为，可得，所以. （2）解：由（1）得，函数， 当，可得， 由正弦函数的性质得，当时，即时，取得最大值，最大值为； 当时，即时，取得最小值，最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为. 17．(1)图象见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象； （2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可. 【详解】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图：    （2）其图象如图：    观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数对称轴的性质求出的值，进而确定的解析式； （2）根据正弦函数的取值范围求解不等式； （3）通过换元法将函数转化为二次函数，再结合二次函数的性质和的取值范围求出函数的值域. 【详解】（1）由题可知， 因此， ，，； （2）由，得， ， ； （3） ， 令，则． ，，， 当时，取最大值，为， 当或时，取最小值，为1， 所以函数的值域为． 19．(1)最小正周期为，对称轴方程为 (2) (3)的最大值为2，最小值为 【分析】（1）根据最小正周期公式，代入即可求得答案，令，化简计算，即可得对称轴方程. （2）先求出单调递增区间，结合条件，可得在条件内的单调增区间. （3）根据x的范围，可得的范围，根据正弦型函数的图象与性质，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）因为函数，所以最小正周期， 令，解得， 所以的对称轴方程为. （2）令，解得， 令得一个单调递增区间为， 由，取交集得， 无论k取其他任何整数，所得区间均与无交集， 所以函数在的单调递增区间为. （3）当时，， 所以当时，有最小值，且为， 当时，有最大值，且为2， 所以函数的最大值为2，最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $