2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----4.4对数函数

**基本信息** 聚焦对数函数核心概念与性质，通过基础巩固-综合应用-拓展提升三级分层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的递进，适配暑假预习成果检测需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|对数函数定义、定义域、值域等单一概念|单选题（1-8）直接考查概念辨析，如第1题定义判断，第3题定义域求解| |综合应用|函数性质（奇偶性、单调性）、图象识别|多选题（9-11）与填空题（12-13）综合性质应用，如第9题分段函数求值，第13题解对数不等式| |拓展提升|方程根、恒成立问题、复合函数综合|解答题（15-19）与填空14题，如第14题含绝对值函数根的个数，第19题单调性与值域综合探究|

2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----4.4对数函数 一、单选题 1．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知则（    ） A． B． C． D． 3．函数 的定义域是（    ） A． B．或 C． D．或 4．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数（，且）的值域为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 二、多选题 9．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 11．已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．可以是 B．是偶函数 C．在区间上的最小值为 D．不等式的解集为 三、填空题 12．函数的最小值为___________． 13．不等式的解集为________ 14．已知函数，若关于的方程有且仅有5个不同的实根，则实数的取值范围是_____． 四、解答题 15．已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 16．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值． 17．已知函数是定义在R上的偶函数，且，． (1)求k的值； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 18．已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 19．已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----4.4对数函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A D C A B AC AB 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 2．D 【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 故. 故选：D. 3．D 【分析】由题意列出不等式组解出即可. 【详解】由题意得，∴或， 故定义域为或， 故选：D. 4．A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 5．D 【分析】由题意可得是函数的值域的子集，求解即可. 【详解】令，则， 要使函数（，且）的值域为， 则是函数的值域的子集，又时，， 所以，所以的范围是. 故选：D. 6．C 【分析】根据函数奇偶性、单调性、特殊值的符号排除A、B、D，即得正确选项. 【详解】因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故排除B. 当时，在上单调递增，故排除A. 又，故排除D. 故选：C. 7．A 【分析】根据对数函数恒过定点分析得出点坐标，再设指数函数，代入点即可得出结果． 【详解】由对数函数恒过定点得函数恒过定点，设指数函数（且），则，故． 故选：A． 8．B 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 9．AC 【分析】分两种情况，得到方程，求出答案. 【详解】由，得或，解得或， 故选：AC 10．AB 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数增长的特征及数形结合，对每个选项逐个判断即可. 【详解】对于A，由对数函数的性质知，函数减小的速度越来越慢，选项A正确； 对于B，由指数函数的性质知，指数函数中，当时，底数a越大，其增长速度越快；选项B正确； 对于C，由指数函数的性质知，随的增大的增长速度是非常快的，远远超过幂函数的增长速度， 因此一定存在一个实数m，使得当时，，选项C不正确； 对于D，取，由图知， 在区间内，对任意的， 不成立，选项D不正确； 故选：AB. 11．BD 【分析】根据定义域判断A，利用赋值法结合偶函数的定义判断B正确.判断出函数的单调性后可判断C错误，根据单调性和偶函数结合对数函数的单调性求出不等式的解后判断D. 【详解】对于选项A:不满足定义域是全体实数,故A错误. 对于选项B: 令,则有，故. 令,则，故. 令,有，故是偶函数，故B正确. 对于选项C:令,则有, 当时,,所以,即在单调递增, 而为偶函数，故在上单调递增, 故当,则在单调递减,所以最小值应为.故C错误. 对于选项D:因为是偶函数,所以, 从而有或,解得或.故D正确. 故选：BD. 12．-2 【分析】先求出函数的定义域，然后求出二次函数的值域，最后根据对数函数的单调性求出最小值即可. 【详解】要使函数有意义，则，化简得， 解得. 令，根据二次函数的性质可知. 因为在上单调递减， 所以当时，取最小值，即为. 故答案为：-2. 13． 【分析】结合对数函数定义域，分类讨论解不等式即可求解. 【详解】由题意，首先， 当，即时，由，此时， 当时，由，此时， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意，画出函数的图象，令，要使得方程有5个实数根，转化为有两个实数根，满足，且，又由，结合双曲函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 当时，，可得其开口向上，对称轴为， 且， 当时，函数在上为单调递增函数，且， 画出函数的图象，如图所示， 令，方程，即为， 原方程有5个实数根，等价于方程的根，对应的实根总个数为5个， ①当时，在区间上，只有1个解，在区间上只有一个解， 共有2个不同实数根； ②当时，在区间上，有和两个解， 在区间上有一个解，共有3个不同实数根； ③当时，在区间上，有两个解， 在区间上有一个解，共有3个不同实数根； ④当时，在区间上，没有实数解， 在区间上有一个解，共有1个不同实数根； 要使得方程有5个实数根， 即关于的二次方程有两个实数根， 满足有3个根，有2个根， 即满足，且，即， 又由韦达定理得， 令，可得函数在上单调递增， 且，则， 所以，即实数的取值范围为. 15．(1) (2)为偶函数． 【分析】（1）代入点，即得答案. （2）代入，得到的解析式，由奇偶性的定义即可得到答案. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以． （2）根据（1）可得， 所以， 则． 由解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用换元法将对数函数转化为二次函数，再利用二次函数的单调性求值域即可. （2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，结合函数单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则，当时，， 所以当时，， 当时，， 所以当时，该函数的值域为. （2）当时，， 原不等式可化为，即对恒成立. 令，. 任取，则， 所以， ， 则在上单调递增， 所以. 故，即的最小值为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义结合指、对数的运算性质分析求解即可； （2）分析可知在定义域内单调递增，结合单调性可得原题意等价于对任意恒成立，再利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为， 则， 若函数是定义在R上的偶函数，则， 结合的任意性可得，解得. （2）由（1）可知：，则， 因为在定义域内单调递增， 且，在定义域内单调递增，则在定义域内单调递增， 又因为在定义域内单调递增，则在定义域内单调递增， 若，则，且，可得， 原题意等价于对任意恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数a的取值范围为. 18．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由给定条件可得不等式的解集为R，再由求解即得. （2）由函数的值域为R，结合对数函数性质可得函数的值域包含，再利用二次函数性质列式求解. （3）由函数的值域为，结合对数函数性质可得函数的值域为，再求出二次函数值域列式求解. 【详解】（1）由函数的定义域为R，得不等式的解集为R， 则，解得， 所以a的取值范围为. （2）由函数的值域为R，得函数的值域包含集合， 因此，解得：或. 所以实数a的取值范围是. （3）由函数的值域为，得函数的值域为， 而，因此，解得， 所以实数的值是. 19．(1) (2) (3) 函数的值域是；单调递增区间是，单调递减区间是. 【分析】（1）根据指对函数的运算公式，结合偶函数的定义，即可求解； （2）首先化简，再根据对数函数的单调性解不等式； （3）根据复合函数的单调性，结合二次函数和对数函数的性质，即可求解. 【详解】（1）， 若函数是偶函数，所以， 所以， 即，则， 即，得，得； （2）， 所以不等式为， 所以， ，得， ，得，即， 得，即， 综上可知； 所以不等式的解集为； （3），得，得， 函数的对称轴是，最大值为2， ，，，所以， 根据复合函数的单调性可知，单调递增区间是，单调递减区间是， 函数的值域是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $